圓中求角，角弧轉化

文／陳 超 康 敏

在圓中求角的度數問題是中考考查的重要內容之一。雖然它涉及的知識點較多，題型也多樣，但是解決這類問題的主要思路就是角弧之間的轉化。

例1如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，CD=2OE，則∠BCD的度數為（ ）。

圖1

A.15° B.22.5° C.30° D.45°

【解析】由圖可知，∠BCD是圓周角，它所對的弧是弧BD，這就要在圖中找弧BD所對的其他角（圓心角或圓周角），而圖中找不到，那么連接OD，如圖2，這樣∠BOD就是弧BD所對的圓心角。由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，得CD=2DE，而CD=2OE，故DE=OE，可得△ODE是等腰直角三角形，則∠BOD=45°，所以22.5°。故選B。

圖2

【點評】要求∠BCD的度數，由角看弧，即弧BD，再由弧看角，但沒有要轉化的角。故結合已知條件，作輔助線，轉化為可求的圓心角∠BOD的度數。

例2如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，并延長交⊙O于點D，若∠C=50°，則∠BAD的度數為_____。

圖3

【解析】由∠C看它所對的弧，即弧AB，再由弧AB看它所對的其他角。

方法一（利用同弧所對圓周角相等的關系）：連接BD，如圖4，則∠ADB=∠C=50°。因為AD是⊙O的直徑，所以∠ABD=90°，所以∠BAD=90°-∠ADB=90°-50°=40°。

圖4

方法二（利用同弧所對的圓心角與圓周角的倍數關系）：連接OB，如圖5，則∠AOB=2∠C=2×50°=100°。因為OA=OB，所以100°）=40°。

圖5

【點評】本題是由已知角看它所對的弧，再由弧看它所對的角，所看角的位置不同，就有不同方法，即所添加的輔助線也就不同。但由于受到“直徑看直角”的影響，常常會用“方法一”。

例3如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AE的延長線與過點C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD=35°，連接BC。

圖6

（1）求∠B的度數；

（2）若AB=2，求弧EC的長。

【解析】（1）連接OC，如圖7，∠B所對的弧是弧AC，弧AC所對的圓心角是∠AOC，則∠B

圖7

∵CD與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠CAD=35°。

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=35°，

∴∠AOC=180°-35°-35°=110°，

∴∠B=55°。

也可以由AB為⊙O的直徑，得∠ACB=90°，則∠B=90°-∠OAC=90°-35°=55°。

（2）∵直徑AB=2，

∴⊙O的半徑r=1。

求弧EC的長，問題轉化為求弧EC所對圓心角度數，故連接OE，如圖7，則由角弧轉化可得∠COE=2∠CAD=2×35°=70°，∴弧EC的長=

【點評】在問題（1）的解決中，不論從運用切線的性質，還是從角弧轉化的需要，都要做輔助線OC，這是解決問題的關鍵所在。在問題（2）中，由于圓的直徑是已知的，即圓的半徑可知，雖然是求弧長，但本質上還是求弧所對的圓心角的度數。