體驗隨機性　量化可能性

摘 要：基于單元整體教學理念，文章對“可能性”單元原教材內容進行調整，以求學生更好地體驗隨機性，量化可能性，進而形成數據分析觀念。第一課時是新知學習，教師組織活動，結合具體情境，讓學生感受隨機性現象;第二課時是實踐探究，匯總數據，揭示內在聯系，溝通概率與統計知識;第三課時是實踐體驗，設計轉盤，結合理論分析，引導學生量化可能性大小。

關鍵詞：隨機性;可能性;單元教學;數據分析觀念

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-9192（2022）11-0082-03

引? 言

“統計與概率”是小學數學課程學習內容之一，但一直以來有關統計的內容基本與隨機性無關，小學階段也沒有出現關于概率的定義。《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《課程標準》）將“統計觀念”表述改為“數據分析觀念”，增補了“體驗隨機性”的學習要求，并對“隨機現象發生的可能性”進行了具體的描述：在具體情境中，通過實例感受簡單的隨機現象，能列出簡單的隨機現象中所有可能發生的結果;通過試驗、游戲等活動，感受隨機現象發生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現象發生的可能性大小作出定性描述與交流[1]。關于可能性的學習，人教版數學五年級（上冊）教材中并沒有直接出現概率的定義，而是用可能性來引導學生初步學習概率的知識，概率稱為“隨機現象發生的可能性”，主要教學事件的確定性和不確定性，教學重點是讓學生通過實例感受簡單的隨機現象，能列出簡單的隨機現象中所有可能發生的結果，并對一些簡單的隨機現象發生的可能性大小作出定性描述，運用概率的思想方法來解釋日常生活中的隨機現象。五年級學生處于具體運算階段（7～12歲），能夠區分確定和不確定，知道如何量化概率，在計算復雜事件的概率時擁有一套不完整的對策[2]。

學生有足夠的生活經驗，對可能性知識的理解沒有太大的困難。如何在學生樸素的生活經驗中滲透統計與概率思想，形成數據分析觀念是本單元教學的重難點。

以單元為整體進行教學設計，是挖掘數學本質、整體把握知識結構、滲透數學價值、發展學生數學學科核心素養最有效的途徑[3]。筆者統整“可能性”單元教學目標，將單元整體分析概括為以下四點：一是生活中的現象可以用數學語言來準確描述;二是在隨機現象中感受對同樣的事件每次收集到的數據可能不同，但有足夠的數據就可能從中發現規律;三是數據分析觀念是數學學科核心素養之一，通過收集和分析數據可以對數據中所蘊含的信息做出理性判斷;四是了解“猜想—驗證”是數學研究的常用方法。基于原教材內容進行調整（見表1），筆者嘗試開展單元整體教學，并分享單元教學策略。

一、新知學習：結合具體情境，感受隨機性現象

《課程標準》明確指出關于“概率”的教學重點是學習感受隨機性。從數學的角度出發，生活和自然中的現象可以分為確定現象、隨機現象和模糊現象[4]。確定是必然，也就是結果一定。隨機現象和模糊現象都是不確定的，隨機現象是結果不確定，而模糊現象是事物本身的定義不確定，這需要教師幫助學生準確區分。

為幫助學生理解區分這三種現象，在第一課時中，筆者設計了如下兩項活動。首先是“抽牌體驗”，讓學生初步感受事件發生的確定性和不確定性。從三張卡片（1、2、3）中抽得分數高者獲勝：第一次意在熟悉規則，通過 “你想抽到什么”和“想抽到就一定能抽到嗎”兩個問題幫助學生區分主觀意愿與客觀實際;第二次重在感受隨機，通過提問“這次抽到的牌和上次一樣嗎”，把兩次抽取卡片的結果進行對比，讓學生明白相同條件下，抽取的結果也不一定相同;第三次初步體驗可能、不可能、一定，有三張牌 “可能會抽到什么”，“1”“2”“3”都有可能，初步感受簡單隨機事件中所有可能發生的結果是有限的。也就是說，抽取一張（假設1），剩下兩張，“現在可能會抽到什么？還可能抽到1嗎”？已經抽了就不可能再抽到;再抽取一張（假設2）只剩一張，“你能確定是幾嗎”？學生明確一定是3，初步感受事件發生的確定性和不確定性，確定包括一定和不可能，不確定則是可能。其次是“抽球活動”，從三個不同的裝球箱中抽到紅球者獲勝。第一個箱子中全是白球，學生多次抽取發現不管怎么抽都是白色，從而猜測箱子中全是白球，總結出“只有則一定”;第二個箱子中有各種顏色的球，但沒有紅球，學生多次抽取發現不管怎么抽都沒有抽到紅球，從而猜測箱子中沒有紅球，總結出“沒有則不可能”;第三個箱子中按照學生的要求放入紅球，總結出“有則有可能”。

學生親身經歷概念形成的全過程，從而真正體會隨機的概念，深入理解“一定”“不可能”“可能”的含義，感受事件發生的確定性和不確定性。教師通過“生活中的數學”，讓學生進一步區分生活中的模糊現象與數學中的隨機現象，學以致用，用數學語言“可能”“一定”“不可能”描述生活中事件發生的可能性，體會數學與生活的密切聯系。

二、實驗探究：揭示內在聯系，溝通概率與統計

使用概率方法的統計學被稱為推斷統計學，統計與概率的融合有助于幫助學生認識二者的關系，將知識融會貫通，系統掌握[5]。教材中設置大量的實驗，依靠學生自己摸索，用經驗性活動得來的頻率進行驗證，而往往由于試驗的次數過少，得到的結果常與分析的可能性結果不相符，學生在試驗后反而糊涂。利用數據分析感受概率，是教學的核心，能有效解決這一問題。

為幫助學生在數據統計中加深對可能性的理解，在第二課時的教學中，筆者設計如下兩項實驗。首先是通過抽撲克進行的“等可能性”實驗，教師給每個學生準備方塊、梅花、桃心和黑桃四種花色的撲克牌各一張，反面朝上，打亂順序，讓學生任意抽出一張。以舉手方式統計抽到各種花色的次數，教師在電腦上進行記錄。再把牌放回去，洗牌抽下一張，連續抽10次。每填入一次數據，電腦自動統計抽到不同花色撲克的總次數。在這一過程中，學生直觀感受自己每次抽到的花色不一定相同，體驗隨機性;同時在多次的數據匯總中，驚奇地發現隨著數據的累加，四張花色卡片抽到的總次數呈現接近的趨勢，體會到有足夠的數據就可能從中發現規律。教師追問：“如果抽取的次數更多，你猜結果會如何？”學生回答：“越來越接近，但不一定相等。”從而理清理論概率和實驗頻率的區別。其次是進行數量不等的“分組抽球”實驗。箱子中放有紅、黃兩種顏色的球若干個（如紅球1個，黃球4個），每次抽取一個再放回，連續抽取20次并記錄產生的數據，小組內明確分工，誰負責摸球、誰負責記錄、誰負責監督等，以保證數據的有效性。小組實驗后，教師對各組數據進行收集匯總，并引導學生對結果進行觀察：“每一個小組的統計結果都一樣嗎？”學生可以看出每個小組抽球的結果有的相同，有的不相同，甚至可能出現抽到紅球的次數比黃球多的情況。學生根據統計結果推斷箱子中紅球的數量比黃球少。教師提問：“箱子里一共有5個球，猜一猜紅球和黃球各有多少個？”引導學生根據匯總結果進一步猜測。教師要鼓勵學生得出多種答案，只要能根據數據進行合理推斷即可。最后，教師開箱驗證，并回顧特殊數據，引導學生認識不確定性的普遍存在，用數據分析可能性的同時承認例外，發生的可能性再小也依然有可能發生。

通過兩項實驗，學生知道事件發生的可能性大小與物體的數量有關，初步感受隨機現象的統計規律性。根據實際情況合理推測可能性大小，根據試驗的數據推測產生結果的原因，幫助學生認識到足夠多的數據中蘊含著統計規律，逐步形成統計觀念，進而形成尊重事實、用數據說話的態度和科學的世界觀與方法論。

三、實踐體驗：重視理論分析，量化可能性大小

用一個數來描述某種事件發生可能性的大小，稱這個數為該事件發生的概率。張奠宙指出：“在小學階段，必須直面‘概率’概念，把隨機性的數學直覺‘概率化’。”[6]而教材中只有“可能性”大小的討論，沒有給“可能性”賦予數值。對五年級的學生來說，用分數表示可能性的大小并不困難。

在第三課時教學中，筆者創設給商場設計“幸運大轉盤”的情境，首先出示一個平均分成8份的轉盤范例，其中1份為紅色、2份為黃色、5份為藍色，讓學生對轉盤有整體的認識。教師要引導學生運用可能性大小的知識分析“轉到哪種顏色的可能性大？哪種顏色的可能性小？”并說明理由，從而檢驗學生對可能性大小的掌握情況。然后讓學生嘗試用分數表示轉到各種顏色的可能性是多少（如紅色占了8份中的1份，可以用分數表示），初步感受可能性的大小不僅與數量有關，還可以進一步量化，用具體的數值來表示，便于比較大小并由此推測各種顏色分別表示什么獎項。其次是小組合作設計“幸運大轉盤”。教師為每個小組提供等分12份的圓形轉盤和三種不同顏色的筆，統一規定紅黃藍分別表示一二三等獎，要求各小組設計轉盤并用分數表示出各個獎項的可能性大小。任務完成后，教師組織班級進行交流分享，讓各小組展示設計的轉盤并講述設計原因。教師在判斷各量化可能性大小的分數結果是否正確后，對各小組的作品進行比較分析，引導學生圍繞“如果你是商家，你會選擇哪組設計的轉盤？”“如果你是顧客，你選擇用哪個轉盤來抽獎？”兩個角度進行思考，運用可能性大小的賦值來分析說理，做到有理有據。最后分組進行轉盤抽獎體驗，讓學生在數據的統計分析中感受量化的可能性大小只是一個理論數值，進一步理清理論概率和實驗頻率的區別。該活動中采用的轉盤呈現的是幾何概率，因其具有直觀性而容易被學生接受，使學生根據分數的定義給“可能性”賦予數值。量化可能性的大小可以幫助學生更好地理解不同事件可能性的大小會有所不同，但一定在0到1之間，學會運用概率的思想方法來解析日常生活中大量的隨機現象，為日后概率的學習做好鋪墊。

在單元學習后，教材還安排了“擲一擲”的綜合實踐活動，讓學生綜合運用所學知識解決問題，培養學生猜想、試驗、分析、驗證和解決問題的能力，進一步體會事件發生結果的可能性有大有小;透過偶然發現必然，判斷哪些結果出現的可能性大，哪些結果出現的可能性小。而學生通過量化可能性的大小，在分析中利用概率梳理說明可能性的大小，能使判斷更有依據、更為科學、更具說服力。

結? 語

文章結合筆者的教學實踐，圍繞“可能性”開展大單元教學，對單元教學內容進行整體分析和重組，落實各課時教學設計并提出相應的教學策略。在數學活動中認識和理解可能性，不能只是讓學生記住法則，更重要的是使其親身經歷法則形成的全過程，從而進行深入思考，這樣才能把體驗轉化為對可能性的理解，體驗隨機性，量化可能性，在扎實了解統計“雙基”的同時，將其升華為數據分析觀念，促進學生數學學科核心素養的形成與發展。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張增杰，劉范，趙淑文，等.5～15歲兒童掌握概率概念的實驗研究：兒童認知發展研究（Ⅱ）[J].心理科學通訊，1985（06）：3-8，66.

[3]侯學萍，陳琳.小學數學單元教學的整體設計[J].教學與管理，2018（29）：43-45.

[4]李明亮，曾鵬，楊夢霞.新課程標準下小學概率教學探究[J].湖南第一師范學院學報，2014，14（01）：27-30.

[5]蔣秋，陳朝東.小學數學教科書中“統計”與“概率”內容的融合探析[J].教育導刊，2013（10）：67-70.

[6]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學數學教材中的大道理：核心概念的理解與呈現[M].上海：上海教育出版社，2018.

作者簡介：潘錦嫦（1983.3-），女，廣東中山人，任教于中山市西區煙洲小學，中山西區中心教研組組長，小學一級教師，碩士學位，中山市小學數學骨干教師。