數形結合 合乎情理

文／李蘊欣

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）

函數是中學階段非常重要的知識點，對我們知識的整體把握起著至關重要的作用。初中的函數主要包括：一次函數、反比例函數、二次函數。除此之外，函數思想是我們在初中提高思維能力的重要來源。函數作為歷年中考命題的重點考查內容之一，我們做題時如何做到“會而對，對而全”呢？下面，讓我們通過對一次函數和二次函數的解讀來予以說明。

一、數形結合之一次函數

例1（2021·江蘇宿遷）一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，勻速行駛，兩車在途中相遇時，快車恰巧出現故障，慢車繼續駛往甲地，快車維修好后按原速繼續駛往乙地，兩車到達各地終點后停止，兩車之間的距離s（km）與慢車行駛的時間t（h）之間的關系如圖：

（1）快車的速度為________km/h，C點的坐標為________。

（2）慢車出發多少小時后，兩車相距200km。

【考點】一次函數的應用，一次函數與一元一次方程的應用。

解：（1）100，（8，480）。

（2）設慢車出發th，兩車相距200km。

①若是相遇前兩車相距200km，

則60t+100t+200=480，

解得t=。

②若是相遇后兩車相距200km，

則60t+100（t-1）-200=480，

∴慢車出發或時，兩車相距200km。

【點評】本題是以圖像形式考查一次函數的應用，體現數形結合、分類討論等數學思想，這些思想近年來也一直是中考命題的熱點。第（1）問，由圖像信息先求出慢車的速度，再根據相遇時慢車走的路程求出快車走的路程，根據速度=路程÷時間求出快車速度，最后根據快車比慢車先到達終點可知C點是慢車到達終點時所用時間。本問解決思路重在對圖像的分析，得分的關鍵是弄清圖像拐點的意義。對于第（2）問，我們要分兩車相遇前和相遇后兩種情況討論，考慮問題不全面是造成得不到全部分數的主要原因。

二、數形結合、轉化思想之二次函數

例2（2021·安徽）已知拋物線y=ax2-2x+1（a≠0）的對稱軸為直線x=1。

（1）求a的值。

（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且-1＜x1＜0，1＜x2＜2。比較y1和y2的大小，并說明理由。

（3）設直線y=m（m＞0）與拋物線y=ax2-2x+1交于點A、B，與拋物線y=3（x-1）2交于點C、D，求線段AB與線段CD的長度之比。

【考點】二次函數的性質，二次函數圖像上點的坐標特征。

解：（1）拋物線y=ax2-2x+1（a≠0）的對稱軸為直線x=-，則a=1。

（2）由（1）可知，二次函數表達式為y=x2-2x+1。

∵a=1＞0，

∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，

當x＜1時，y隨x的增大而減小。

∵-1＜x1＜0，1＜x2＜2，

∴1＜1-x1＜2，0＜x2-1＜1。

結合函數圖像可知，當拋物線開口向上時，距離對稱軸越遠，值越大，

∴y1＞y2。

（3）聯立y=x2-2x+1與y=m（m＞0），

【點評】本題難度適中。同學們應掌握解決類似函數問題所必需的基礎能力，比如數形結合思想、如何求函數交點等，否則無法解決基礎題，得不到基礎分。第（1）問，根據公式，對稱軸為直線x=-，代入數據即可。第（2）問，結合函數的圖像，根據二次函數的增減性可得結論。第（3）問，分別聯立直線y=m（m＞0）與兩拋物線的表達式，表示出A、B、C、D的坐標，再表示出線段AB和線段CD的長度，即可得出結論。