基于綜合難度模型的中考數學試題背景分析

宋霜霜 陳建強

[摘? ?要]基于核心素養的新課改在如火如荼地進行中，中考數學試題背景具有多樣化的特點，但是這在教學中容易被師生忽視。其實，研究中考數學試題的背景很有價值。文章基于綜合難度模型，以2015—2020年大慶市中考數學試題為例，分析中考數學試題背景的變化及其趨勢，并根據其變化規律給正在備考的學生提出復習建議。

[關鍵詞]綜合難度模型;中考數學試題;背景分析

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）06-0034-03

一、引言

分析中考數學試題背景有助于培養學生的數學學科核心素養，如數學建模和數學抽象素養。在日常的學習過程中，部分學生認為能做出教師布置的練習就達到學習目的了，導致其在正式考試時遇到較難的題目就感覺無從下手，這是其平時知識掌握不牢固的后果。下面圍繞例1進行分析。

[例1]某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同，該工廠原來平均每天生產多少臺機器？

從例1涉及的知識內容和運算技巧來看，難度都不大，主要是加上背景之后，需要學生進行數學抽象和建立模型。很多學生的第一感覺是題目字數過多，題干貼近生活，看起來簡單，但又無從下手，不知怎樣思考和解答。部分學生遇見類似文字多的應用題時會直接放棄。

在學習一元一次方程時，列方程對學生來說難度較大，部分學生不能從題目中找到等量關系，不能將文字語言轉成數學符號。例如，一張桌子有一個桌面和四條桌腿，學生能掌握這一生活常識，但是要找到其中的等量關系就比較困難。學生沒有發現桌腿的數量是桌面的四倍，則難以列出方程。由此可見，數學題的背景因素實際考查的是學生將自然語言轉化成數學符號的能力和數學建模的能力，這在以后的素質教育中是重中之重。

通過對例1的分析，我們知道數學試題背景對試題難度有較大的影響，因此對中考數學試題背景因素的變化趨勢進行分析很有必要。義務教育階段的教學是為高中做準備的，所以中考也會有相應的改變，教師應及時分析中考數學試卷中試題背景因素的變化。

本文主要借用綜合難度模型對中考數學試題背景進行分析。綜合難度模型是由華東師范大學數學系教授鮑建生根據實際情況總結得出的試題難度量化模型。該模型客觀并且可量化，已經經過信度和效度的檢驗，被廣泛應用于試題難度量化中。筆者在實踐中發現，對該模型中單個因素的利用較少，所以本文不對試卷整體進行難度量化，只借助這個模型對試卷中試題的背景因素進行難度研究。筆者借助該模型，對2015—2020年大慶市中考數學試題進行背景分析，，研究大慶中考數學試題的背景變化趨勢，并為學生提出有效的復習建議。

二、綜合難度模型的應用

（一）綜合難度模型概述

筆者利用綜合難度模型對2015—2020年大慶市中考數學試題背景進行分析后，得出以下分析結果（如表1所示）。

（二）綜合難度模型的應用

大慶市每年的中考數學試題量為28道，筆者利用綜合難度模型中的背景分類對2015—2020年大慶市中考數學試題背景進行分析得到表2的數據。

為了更直觀地看出數據的變化，下面以圖1來呈現數據。

（三）數據分析與相應建議

1.背景因素占比變化及分析

我們通過表2可以發現，大慶市中考數學以無實際背景類試題為主，2015—2020年占比均較大，但是從圖1可以看出，這類試題的占比又曾有所下降。2019年，無實際背景類的試題占比降到了60.71%。有背景因素的試題占比逐步增大，這和教育改革方向相一致。實施素質教育要全面貫徹黨的教育方針，以提升國民素質為根本宗旨。教育的目的不是為了讓學生死記硬背知識，而是為了促進學生的全面發展，這就會對學生的要求有提高。因此，學生不僅要注重對知識的掌握，而且要提升人文素養，在生活情境中發現問題、提出問題、解決問題。這對部分學生來說是一個挑戰，因為他們習慣死記硬背和采用題海戰術，遇到新的問題就會感到難以解答。

東北師范大學的史寧中教授提出，高中數學教學中培養學生的目標可以描述為：會用數學的眼光觀察現實世界;會用數學的思維思考現實世界;會用數學的語言表達現實世界。這不僅僅適用于高中，在初中也是適用的。教師應引導學生多了解時事熱點，當學生面對同類背景的試題時就可以減少陌生感，降低解題難度。教師還要指導學生在處理事情時從數學的角度去看待和思考問題，當類似問題出現的時候，就可以更快地建立起相應的綜合難度模型。

2.中考數學試題背景考查的重點內容及分析

除了發現無實際背景類的試題占比曾下降，我們還發現在有背景內容的試題中，占比最大的為公共常識類試題，其次是個人生活類試題，科學情境類試題基本沒有，只在2019年占了3.57%。個人生活類試題和公共常識類試題，這兩類試題的背景因素也是背景類試題的主體。

個人生活類試題是最貼近學生生活的，這類題型通過背景因素既可以考查學生數學建模的能力、數據提取的能力，又可以考查學生發現問題、提出問題的能力，讓學生發現數學來自生活并且服務于生活，能夠解決日常生活中的問題，從而無形中激發學生的數學學習興趣。

公共常識類試題的背景主要是學生感覺熟悉又不太熟悉的內容，解答這類試題對學生來說比個人生活類試題難，但對學生素養的提升更有幫助。公共常識類試題的背景來自學生生活中的話題，但是其中的許多細節學生并不了解。例如，學生都知道故宮，但是對故宮的面積可能沒有清晰的認知，如果以故宮的面積為試題背景，考查科學記數法等知識點，可以加大試題的難度，也可以使試題更有趣味性，從而激發學生的好奇心。學生在解決公共常識類試題的過程中，提升了人文素養，豐富了生活閱歷。

我們經過統計發現，統計與概率類的試題都有背景支撐，這是命題規律。統計與概率類的試題主要是讓學生參與到生活中，運用數學知識解決生活問題，提升計算能力和統籌能力。這對學生人文素養的提升作用很大。

在背景因素里，我們可以看到科學情境類試題是賦值最高的，因此這類試題是所有背景類試題中最難的。對這一類問題的考查在將來的中考中可能會增多，因此學生在學習過程中可以加強對這類背景因素試題的訓練，為中考做充分的準備。例2是2019年大慶市中考數學試卷第16題，既考查了相應的知識點，又提升了學生的相關素養，這類問題有較大的研究價值。

[例2]我國古代數學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖2所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，那么[（a-b）2]的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

這種科學情境類試題在中考試卷中出現得比較少，主要是由于中考的性質，難題偏題不適用。因此，學生對這類題目不用進行太多練習，只要能掌握就好。

3.有背景的試題在中考試卷中的位置分析

有背景的試題在2015年中考數學試卷中主要以選擇題的形式呈現，在填空題中沒有出現，2016年后填空題中也有所涉獵，所以有背景的試題不僅僅局限于某一種題型。從中學生應該了解到，復習的時候不能只練習某種題型，要做全面準備，以防考試時亂了手腳。學生不能認為有背景的試題只會出現在某種題型中，復習時忽略了其他題型的練習，這樣復習會存在缺漏，不利于考試成績的提高。

三、總結

背景對于試題難度具有一定的影響，但是影響試題難度的因素是多方面的，因此試題的難易最終需要綜合來看。公共常識類試題要求學生在復習的時候不能帶有機械性，要進行有意義的復習。這樣學生遇到陌生的題時不會慌張，能運用已經學過的知識以不變應萬變，能從所給背景中找到數學的量與等式關系。

隨著新課程改革的深入，背景類試題增多是趨勢，在這種情況下，教師應引導學生重視，以免中考時措手不及。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 榮彬.新課標下數學中考命題趨勢與解題關系的研 究[D].成都：四川師范大學，2014.

[2]? 鞏天賜.2010-2019年上海中考數學發展趨勢研究? ?[D].上海：上海師范大學，2020.

[3]? 藍舒婷.基于核心素養的福建省中考數學試題研究[D].廈門：集美大學，2020.

（責任編輯? ?李琪琦）