"數學是系統化了的常識"的內涵及教育意義

摘要：弗賴登塔爾的《作為教育任務的數學》一書中，最有影響力的兩個觀點是：數學是系統化了的常識;學習數學的唯一正確方法是實行"再創造"。作為數學觀的前者決定作為數學教學觀的后者。縮短數學教育"無目的的用處"與"無用處的目的"間的距離是落實"數學是系統化了的常識"的前提。為此，教師要"看透"數學基本概念、技能背后蘊含的數學思想方法。建立數學內部、數學與外部的聯系是"系統化"的內核。為此，要讓學生多層次組織和提煉，而不能把體系化的知識作為"現成的數學"教給學生。

關鍵詞：弗賴登塔爾;《作為教育任務的數學》;教學目標;系統化

荷蘭數學家和數學教育家弗賴登塔爾在數學教育理論與實踐兩個方面都有廣泛而深遠的影響。有人將他與德國數學家和數學教育家F.克萊因相提并論："對于數學教育，在上半世紀是克萊因做出了不朽的功績，在下半世紀是弗賴登塔爾做出了卓越的成就。"①他的數學教育思想集中體現在《作為教育任務的數學》一書中。筆者于1995年12月在北京海淀圖書大廈購得此書的中文編譯本，如獲至寶。近30年來反復閱讀，重點章節閱讀過不下50次。閱讀時，不但揣摩深思，更以其精彩觀點、深刻思想來指導課題研究與教師培訓工作。

書中，最有影響力的兩個觀點是：數學是系統化了的常識;學習數學的唯一正確方法是實行"再創造"——又被稱為"數學化"或"做中學"②。前者是對"數學是什么"（數學觀）的基本看法，后者是對"數學怎么學"（數學教學觀）的基本看法，前者決定后者。本文重點闡述"數學是系統化了的常識，的內涵及教育意義：縮短數學教育"無目的的用處，與"無用處的目的，間的距離是落實"數學是系統化了的常識，的前提;建立聯系是"系統化，的內核;"再創造，是"系統化，的根本途徑。

由于作者在本書中經常辯證性、隱喻式地評論或批判他人觀點，以此來闡述自己的思想，所以，有必要先概要介紹本書的寫作風格與背景。如此，才能更好地"讀進去"，理解并運用作者的數學教育思想。

一、《作為教育任務的數學》的寫作風格與背景

本書是一本數學教育哲學著作，"不是一本數學方法論的書"。以下詞匯可以用來概括其特色：文筆幽默、表達坦承，思維辯證、思想深邃，案例豐富、見解獨到。例如，本書的序言中寫道："用統計數字把自己裝扮起來并不就是把自然科學的精確性引入到教育研究中來了。那種自負地宣稱小數點后面第七位數字是準確的而無視小數點左邊的數字都錯了的態度，并不是科學的態度。"①這一方面明確表明他反對實驗室里的"試驗"，尤其是著名心理學家皮亞杰關于數學教育的研究觀點，另一方面也體現了數學家獨有的、充滿數學味而又幽默的表達方式。

當然，弗賴登塔爾在本書中，不只是"有證據地，批判他不認可的觀點。在善意、幽默的批評之后，他一定會提出自己的思想和方法。例如，他緊接著就給出了數學教育應有的研究路徑、衡量數學教育研究科學性的準則："我是從自己的和別人的課堂教學經驗中，從教科書中，以及從有經驗的教師關于教材和學習表現的實事求是的分析中學到了不少的東西，而不是從一些所謂的·試驗，中學。！"真正的教育活動意味著遵循自己的真誠信念去探索正確的教育途徑。只有在健康的教育哲學的土壤上，具體的研究工作才能興旺起來。數學教育的書，其科學性不是由它有了多少腳注（指引用過別人的著作）來衡量，而是要看它對數學教育哲學這個首要問題討論的徹底性如何。"②他的這種思維方式以及不咄咄逼人的態度更值得數學教育研究者和數學教師學習。

可以說，本書中的名言警句無處不在，比如"教學與教育是實踐，把口頭的認識付之實行常常需要很長的時間，③，"并非所有的怪現象都可以用無知來解釋，④等。雖然本書寫于1970年的荷蘭，但仍能切中50多年后中國教育界的某些弊端。

本書的語言幽默風趣、觀點簡明深刻，并且結合一線教學中的"誤區，來闡釋，但中國讀者尤其是一線教師初讀本書并不容易真正讀懂。究其原因，筆者認為有如下幾方面：一是作者在書中時不時要批判"新數運動，⑤以及皮亞杰的某些觀點⑥，同時非常認可數學家和數學教育家波利亞、心理學家布魯納的觀點。他在闡述觀點時"意有所指"，卻沒有明確寫出來，讀者缺乏相應的背景知識，就難以理解其本意。二是作為數學家，作者經常在"高觀點，下闡述數學教育的原理，這就需要讀者對大學各門數學課程的相關術語及其含義有所了解。當然，作者在本書中經常用高等數學的語言、符號來表達，這也給讀者，尤其是小學教師帶來閱讀困難。此外，由于本書的中文編譯本對原著的內容有取舍，就使得個別內容讀起來不是太連貫，也導致了閱讀的困難。因此，領悟并理解弗賴登塔爾的教育思想，需要多讀幾遍本書，并且帶著問題，與其他教育理論或實踐經驗對比著閱讀——當然，本書值得如此"精讀"。

二、縮短數學教育"無目的的用處，與"無用處的目的，間的距離

數學產生于現實，也應用于現實，以解決實際問題。因此，"解決實際問題，可謂數學教育的"用處"。但是，越高深的數學，和現實的關系越不明顯。因此，某些數學內容的"目的，不容易說清楚。正如弗賴登塔爾所說："算術的最基本目的是完全確定的：解決日常生活中的數值計算問題。但是水平愈高，目的就愈是不明確。"①

因此，弗賴登塔爾指出："數學教育最大的問題就是用處與目的之間的分歧，任何一個其他的教育領域都不像數學教育那樣，在無用處的目的與無目的的用處之間有著如此之大的距離。"②這里的"用處，可以說是顯性的，容易落實、容易測評的短期教育目標;而"目的，則是隱性的，難以落實、難以測評的長遠教育目標。數學教育中，這兩者存在分歧，因此，"用處，容易成為"無目的的用處"，"目的，容易成為"無用處的目的"。

如何辯證地處理"無目的的用處，與"無用處的目的，？對這一問題的清醒認識直接影響數學課程內容、教學方式等一系列現實問題，處理好這對"矛盾，更能增強學生數學學習的動力。

弗賴登塔爾認為，數學教育就是要縮小這個"距離，（或者說讓兩者得到統一），這是落實"數學是系統化了的常識，的基礎。對此，他還給出了明確的指導思想：教師要"看透，數學基本概念、技能背后蘊含的數學思想方法。也就是，以數學基本概念、技能為載體，讓學生在理解、運用這些知識的過程中體驗、感悟，逐步掌握數學思想方法，形成良好的數學思維方式與積極的情感態度，即當下所言的"三會，數學核心素養：會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界。由此可見他思想的深刻性、前瞻性與指導性。

他舉例說明了小學算術的目的絕不僅是"熟練正確計算"，而蘊含著最重要的數學思想，但這需要教師懂得"什么是數學"。"信奉會算術才是最有才能的，這是因為教師所教的算術是自身能力的頂點和極限。如果一個教育工作者只知道所教的那些，并不知道更多，那他總是錯誤的，會把僅有的一點知識捧上了天，當作不可侵犯的信條。不少國家在低年級教·數學，的人甚至不懂得什么是數學。"③

例如，如何看待1+1？有多少教師只是在教數學事實"1+1的和是（等于）2，（并強調算得又快又對），而不會讓學生從整體角度認識1+1？這里的"整體，是指有意識地滲透代數思維、模型思想。傳統的算術教學中，除了純計算問題之外，也有構造問題（如分數、括號等）和應用問題，都能夠很好地滲透數學思想，培養學生的"三會，素養。

又如，比較兩個異分母分數的大小，如果定位在"先通分，再比較分子的大小，上，則只是技能層面的要求，體現的就是"無目的的用處"。如果不僅讓學生"比較兩個分數的大小"，而且讓學生在數軸上尋找兩個分數（例如一之）之間的其他分數，學生就會經歷不斷"擴分，的過程，發現兩個分數之間存在無數個分數（例如，、先"擴分，為、，發現找不到;再"擴分，為4（6）、4（8），找到4（7）;接著不斷"擴分"，找到333435……），進而感悟到分數"太神奇了"。后一個活動充分體現了數學教育"無用處的目的"。

但同時，弗賴登塔爾也指出："為學校設計數學教學計劃而又不了解學校的數學家，從來沒有想到學校中還有什么事情比學校數學更重要，這些人當然也像那些計算迷一樣，陷人了狹隘的觀念之中。"①該觀點也一針見血地揭示出，當下的數學教育改革中，專家、學者們需要深入一線了解中小學教育現實，而不要以"我認為應該……"，提出不切實際的觀點和理論，從而影響政策制訂和教育實踐，讓一線教師無所適從。

三、"建立聯系，不是教"現成的體系"，而是讓學生多層次組織和提煉

弗賴登塔爾認為，落實"數學是系統化了的常識，是有層次的：常識要成為數學，必須經過組織和提煉而凝聚成一定的法則;這些法則在高一層次里又成為常識，再一次被組織和提煉……如此不斷螺旋上升，以至無窮。這個"提煉、組織，的過程就是"數學化"，這是數學學習的唯一正確方法。學生在此過程中則是主動的"再創造，者。因此，數學內部、數學與外部的聯系非常重要，建立聯系是"系統化，的核心。

但是，"聯系，不同于"體系"，尤其不是"新數運動，所倡導的體系化的知識，不是把"最高境界（層次），公理化、形式化、結構化的知識作為"現成的數學，教給學生。把"體系，作為"現成的數學，教給學生，還是作為"做的數學，（把數學作為人類的基本活動）讓學生"局部地組織，而形成體系？弗賴登塔爾對這個問題有清醒的認識——堅決反對"新數運動，"將抽象的結構、體系（強調嚴密與完整），教給學生，卻拋棄了不符合體系的全部幾何。

他指出："數學體系散發出迷人的美學魅力，但卻不能為數學知識淺薄的人所理解。以數學體系為最終目的只能是未來數學家的教育目的——還不是全部，因為相當多的人并不欣賞這個體系。有很多理由表明，這永遠不可能是普通數學教育的目的。如果以目標含糊的體系來決定題材，那就常常包含了無價值的東西，卻排斥了有意義的事物。（體系）邏輯的嚴密性具有迷惑性。如果按照這個體系來進行教學，那是違反教學法的（例如按照系統化的要求，想以仿射觀點來反對度量觀點），以致只會引起學生對數學的反感。"②強調結構性的體系，強調現成的數學結果，只會引起學生對數學的反感，是違背自然傾向的，使學生學到的是"死的數學"。

他又指出："重要的并不在于一個人所學的數學是被記住了還是被忘記了，而是在于它是否仍然具有活力，是否仍能起作用，這同樣是個人生活與人類歷史的規律（企圖三等分角的無數次失敗也是一種活力和作用的表現，為伽羅瓦理論開辟了道路）。"③要保證有活力，就必須教給學生充滿聯系的數學。其實，學習哪些數學似乎是無關緊要的，只要它充滿著聯系。

強化聯系是重要的，但關鍵是要知道從哪一方面去強化。數學應該是聯系的，但聯系不一定是直接的，也不一定在數學內部。不聯系現實的數學將成為虛無的，"但不自然地聯系現實也是庸俗的，應該從數學與它所依附的學生親身體驗的現實之間去尋找聯系。對非數學家而言，與親身經歷的現實（而不是生造的虛假的現實）的聯系將是至關重要的，才能有深度，才不會忘記"①。這些觀點為當下強調數學的綜合性、實踐性，包括項目式學習、STEAM教育等熱點話題敲響警鐘。

數學內部的聯系最完美的表現就是體系，但是學生不可能一下子掌握體系，某些聯系只有以更高的觀點、在更高的水平上才能建立。他認為，自然數的不同側面之間、代數運算的不同觀點之間，以及序概念、幾何圖形的仿射性質與度量性質之間的聯系，都必須推遲。例如，與距離、角度有關的圖形性質是度量性質，與簡單比有關的性質稱為仿射性質;仿射性質肯定是度量性質，度量性質卻不一定是仿射性質。但是不能跳過度量性質，直接教仿射性質;最初要求的是算術、幾何、集合論概念與現實的聯系，不能抽象地、高觀點地講仿射。這些觀點都是在批判"新數運動"。他一再強調"聯系必須是自然生成的"，因為學生并不欣賞教師故意制造的勉強生硬的聯系，反而欣賞自然的不聯系。

他又進一步指出："在內聯系不應局限于演繹關系，類比也是有效的聯系，類比具有很大的教育價值，有助于形成抽象的想象能力，類比是最自然、最基本的，即使在較高水平也仍然具有生命力。學生自主類比比強加于他的形式的同構語言掌握得更好、理解得更深。"②這些觀點對小學數學教育極富生命力——通過類比來理解概念本質、探索發現規律與原理等是小學生的重要學習方式。

總之，建立聯系、形成結構既是數學的重要內容，也是數學學習的重要方式，邏輯嚴謹性是其重要特征。但弗賴登塔爾又辯證地指出："在與數學相關的任何問題中，直覺比嚴密的邏輯過程起著更為重要的作用。"③設計哪些數學課程內容可以有效平衡"直覺與嚴密的邏輯"？他提出要注意兩方面："第一種約束就是學生的接受能力。但沒有那么嚴重，因為更多地依賴于如何組織題材。再說，成功也沒有真正的標準，個別內容的成功教授不能說明什么，應該看這個內容是否是教育目標中的有機組成部分。其次，某個題材能教，并不等于這個題材就應該教。數學內容的先后順序形成結構，教孤立的題材意義不大。還有一個觀點也值得商榷，即題材是有趣的。這個論點是虛偽的，因為我們并不按照學生的興趣來選擇學習內容。教育的最重要目的是·讓學生對所學內容感興趣"，這與·題材有趣，不是一回事，教師也不能濫用·有趣的活動"，否則他就變成了煽動者而不是教育工作者了。"④

如何讓學生對所學內容"真正產生興趣"，而不是通過教師的"煽動"？要讓學生習慣于質疑追問、在認知上產生沖突、在合作探究中分享成功的喜悅。這正是實現"再創造"的前提。如何通過"再創造"落實"有層次的系統化"，讓學生真正地學會數學、會學數學？這是另一個重要的話題，筆者將結合弗賴登塔爾的深邃思想另文進一步闡釋。

（劉加霞，北京教育學院數學與科學教育學院，教授。主要研究方向：小學數學教育、教師教育。）