基于AFC數據的地鐵車站留乘概率分布估計

陳 欣 ，羅 霞 ，朱 穎 ，毛遠思

（1. 西南交通大學交通運輸與物流學院，四川 成都 611756；2. 西南交通大學綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 611756；3. 中國中鐵股份有限公司，北京 100039）

國內大多地鐵系統面臨著擁擠問題，在高峰時段，即使使用最小的發車間隔，留乘依然頻發. 留乘現象指：由于到達列車容量限制或無法接受擁擠程度，乘客需要在站臺等候一班以上列車的現象. 留乘現象為估計和推斷乘客的時空分布帶來了挑戰，這恰是地鐵系統運營組織優化和服務水平評價的基礎. 例如，留乘增加了候車時間，降低了行程時間可靠性，繼而影響了乘客的路徑選擇行為[1-2]；在構造基于網絡均衡的客流分配方法時，需將留乘納入效用函數[3-4]. 同時，留乘增大和模糊化了同一路徑和不同路徑上乘客旅行時間的差異，在構建基于行程時間的乘客-行程匹配模型[5-6]時也需考慮留乘的影響.留乘概率分布可反映一定時間段內乘客在地鐵車站留乘不同次數的概率，能夠直觀地描述地鐵車站留乘的程度. 因此，研究地鐵車站留乘概率分布，對提升乘客時空分布推算與估計結果的準確性具有重要意義.

國內罕有研究留乘的文獻. 由于有換乘行為的乘客行程不確定因素多，研究多假設在同一車站換乘與無換乘乘客具有相同的留乘概率分布[5,7]，并使用無換乘乘客的自動售檢票（auto fare collection,AFC）數據和列車運行圖數據估計地鐵車站留乘概率分布. 無換乘乘客的出行可分為4個子過程：由進站閘機行走至站臺、在站臺上等待可提供服務的列車、乘坐列車旅行、由下車站臺行走至出站閘機. 乘客在這4個子過程所花費的時間可依次被定義為聚集、候車、車內和疏解時間. 聚集、疏解時間的不確定是估計留乘概率分布的主要難點. 按照對聚集、疏解時間的處理和獲取方式，可將現有文獻劃分為4類：1） 開展實地調查，獲取聚集、疏解時間分布參數[8]，這種方法成本高，準確性低，周期長，不適合推廣應用；2） 使用極大、極小值簡化聚集、疏解時間[5,7]，這種方法忽略了乘客間差異，會導致留乘概率估計結果產生偏差；3） 假設同一車站的聚集與疏解時間同分布[9]，乘客在疏解過程可能存在尋找最優出口的過程，這一假設有失一般性；4） 假設乘客的步行速度服從一定分布，從設計文件獲取聚集、疏解時間距離[10]或假設聚集、疏解距離服從一定分布[6]的基礎上，計算聚集、疏解時間，我國地鐵車站內部結構復雜，設施繁多，這種方法的適用性有待考量. 總結發現，以往研究在估計留乘概率時對聚集、疏解時間的處理存在一定缺陷. 同時，專門針對地鐵乘客的聚集、疏解過程的研究較少，文獻[11-12]基于AFC數據研究了城市軌道交通車站的聚集、疏解過程，但兩者皆未考慮留乘的影響.

下文將基于無換乘乘客進、出站刷卡時間與列車到、發時刻的關系，構建聚集、疏解時間分布估計方法；進一步通過研究乘客刷卡進、出站時刻概率密度函數，構建地鐵車站留乘概率分布估計方法；最后通過案例分析驗證提出方法的有效性.

1 問題描述

AFC數據包含了每個乘客刷卡進、出站時刻及對應的車站. 列車運行圖數據包含了每列列車的在各途徑車站的到、發時刻. 據統計，無換乘出行占地鐵系統出行總量的30%左右[5]，根據抽樣原則[13]，使用該部分乘客的刷卡數據為樣本，估計留乘概率分布是合理的.

無換乘乘客出行的4個子過程中，除車內時間外，其他都是隨機的. 在乘客刷卡進站時刻已知時，由乘客的聚集時間和留乘次數可推算其候車時間，進一步可確定乘客所搭乘的列車；若得知了乘客的疏解時間，便可計算乘客的出站時刻. 然而，當僅已知乘客的進、出站刷卡時刻時，由于乘客的聚集、疏解時間及留乘次數不確定，一組進、出站刷卡時刻可能對應多個可能的行程. 行程理解為乘客在地鐵網絡中的時空軌跡，可以用乘客的進站時刻、聚集時間取值范圍、留乘次數和疏解時間區分. 圖1以時空軌跡的形式表示了在時刻t+刷卡進站、時刻t?刷卡出站的乘客可能搭乘了3班列車，有6個可能行程. 圖中：A1～A3為可能的聚集時間，E1～E3為可能的疏解時間. 留乘數為0次表示乘客到達站臺后搭乘了第1班到達的列車；留乘數為1次則表示乘客到達站臺后，由于第1班到達的列車滿載或不能接受該車內的擁擠水平，而搭乘第2班到達的列車；其他留乘次數含義可依次類推. 觀察可發現：搭乘了同一班列車的乘客的行程和留乘次數有可能不同. 通過求解滿足式（1）、（2）的列車集合的交集，可推測出任意無換乘乘客可能搭乘的列車.

列車j在出發站的發車時刻T?,j晚于乘客的刷卡進站時刻t+，即

列車j在到達站的到達時刻T+,j早于乘客的刷卡出站時刻t?，即

基于乘客的進出站時刻和各班可能搭乘列車的到發時刻，可推算出各可能行程的聚集時間取值范圍、具體留乘次數和具體的疏解時間. 表1羅列了圖1所示情況下乘客所有可能行程的特征.

表1 乘客的可能行程特征列示Tab. 1 Features of feasible passenger itineraries

圖1 地鐵無換乘乘客可能搭乘列車示意Fig. 1 Feasible trains for passengers without transfer

由表1推測可知：可能行程對應的聚集、疏解時間取值越極端，該行程的發生可能性越小. 若能掌握聚集、疏解及留乘概率分布，刷卡進站時刻確定條件下，可計算任意乘客各可能行程的概率密度；將各可能行程概率密度相加，則可進一步計算乘客出站時刻的概率密度. 假設車站的留乘概率分布在一個較短的時間段內保持不變[5-7,10]，在聚集、疏解時間概率分布和乘客進出站刷卡時刻已知時，使用極大似然估計法可估計各時間段內的留乘概率分布.

2 模型構建

以下變量及其含義將貫穿下文：

t+,i、t?,i分別為乘客i進、出站刷卡時刻；

si為乘客i的目的車站；

T?,i,j、T+,i,j分別為乘客i第j班可能搭乘的列車在乘客出發站的發車時刻、目的站的到達時刻；

Fi為乘客i可能搭乘的列車數量；

HA,i、HE,i分別為乘客i在聚集和疏解時的發車間隔；

Gi為乘客i的刷卡進站時刻與最近一列已發列車發車時刻的間隔；

Ii,m,n為乘客i的某一可能出行行程，n為乘客留乘次數，m反映乘客到達站臺時刻在第m- 1 和m班可行列車發車時刻之間，且 1≤m≤Fi,0≤n≤Fi?m,m,n∈N；

Ai、Ei分別為乘客i的聚集、疏解時間；

Ai,max為乘客i聚集時間最大可能值；

d為列車運行方向或乘客出發方向，分上、下行；

Ds,d為目的站s方向d的乘客集合；

Os,d為出發站s方向d的乘客集合；

Ns,d,q為時間段q內車站s方向d上乘客的最大留乘次數，

fG,i(?)為乘客i刷卡進站時刻與其出行方向上最近一列已發列車發車時刻間隔的概率密度函數；

βs,d,q,n為時段q內在車站s前往方向d的乘客留乘n次的概率，

2.1 聚集與疏解時間分布估計

聚集、疏解時間分布是估計留乘概率的關鍵，本文提出了基于AFC數據和列車運行圖數據的聚集、疏解時間分布估計方法. 統計發現大量無換乘乘客只有一個可行行程[14]，結合AFC數據與列車運行圖數據，可以直接計算這部分乘客的聚集時間與候車時間之和以及疏解時間. 由于這部分乘客的聚集、疏解時間是小于發車時間間隔的，不能代表所有乘客的聚集、疏解時間規律，只能作為截斷樣本，因此依據文獻[15]，構造條件概率函數估計聚集時間與疏解時間分布.

1） 疏解時間

對于只有一種可能行程的乘客，其疏解時間可由其刷卡出站時刻與乘坐列車的到站時刻之差計算，如式（3）所示.

假設全天內任意車站s，任意方向d的所有乘客的疏解時間服從均值為 μE,s,d，標準差為 σE,s,d的正態分布fE,s,d(?)

[7,16]. 對于只有一種可能行程的乘客，其疏解時間是小于其出站疏解時的發車間隔的，則這部分乘客的疏解時間概率密度函數可用式（4）所示的條件概率密度表示.

式中：gE,s,d(?)表示車站s方向d上的只有一種可行行程乘客的疏解時間概率密度函數；P(Ei

假設所有乘客的疏解時間相互獨立[9]，將目的站與出行方向相同且只有一種可能行程乘客的疏解時間概率密度相乘，再取對數，得到式（5）表示的對數似然函數. 使用極大似然估計法估計該 方 向 上 該 車 站 的 疏 解 時 間 分 布 參 數 μE,s,d和σE,s,d.

式中：LE,s,d為車站s在方向d上的疏解時間似然函數.

2） 聚集時間

對于只有一種可能行程的乘客，由于候車時間的存在，只能計算其候車時間與聚集時間之和，這個和同時又是聚集時間可能取值的最大值，使用式（6）計算其刷卡進站時刻與乘坐列車的發車時刻之差得到.

為更準確地表達只有一班可行列車乘客的聚集時間最大值概率密度函數，引入Gi的概率分布，如圖2所示，假設乘客在任意發車間隔內是均勻刷卡進站的[17]，即Gi～U(0,HA,i)，滿足式（7）所示關系.

圖2 Gi含義示意Fig. 2 Sc hematic of the meaning of Gi

對于只有一種可能行程的乘客，Ai,max=HA,i?Gi，即Ai≤Hi?Gi. 假設在同一車站上車的所有乘客的聚集時間服從均值為 μA,s,d，標準差為 σA,s,d，概率密度函數為fA,s,d(?)的正態分布[7,16]，則車站s方向d上的只有一個可能行程乘客的聚集時間最大值的概率密度函數為

假設所有乘客的聚集時間相互獨立[9]，將出發站與出行方向相同，且只有一種可能行程乘客的聚集時間最大值的概率密度相乘，再取對數，得到式（9）所示的對數似然函數. 使用極大似然估計法可估計方向d車站s的聚集時間分布均值 μA,s,d和標準差 σA,s,d.

式中：LA,s,d為車站s在d方向上的聚集時間似然函數.

2.2 留乘概率

假設在一個時段q內，車站s方向d上的留乘概率服從參數為 βs,d,q,0,βs,d,q,1,···,βs,d,q,Ms,d,q的多項分布[5-7,10]，則乘客i在時刻t+,i刷卡進站的條件下，以行程Ii,m,n出行，并在t?,i出站的概率密度為

時段q內自s站出發出行方向為d的乘客i在時刻ti,刷卡進站、t?,i刷卡出站的概率密度fs,d,q(?)為乘客i所有可能行程對應的出站時刻為t?,i的概率密度之和，如式（11）所示.

假設乘客的旅行時間不受其他乘客影響[9]，將時段q內所有出發站與出行方向相同乘客的出站時刻概率密度相乘，再取對數，得到式（12）表示的似然函數. 以極大似然估計法可估計任意研究時段q車站s方向d的留乘概率分布參數.

式中：Ls,d,q,l為在時段q內自s站出發，出行方向為d的乘客進、出站刷卡時間的似然函數.

3 案例分析

如圖3，案例數據來源于某市線路Ⅰ（由21個車站組成的區段）和線路Ⅱ（由22個車站組成的區段）的某日上行方向AFC刷卡和列車運行圖數據.為驗證本文方法的有效性及一般性，下文呈現了始發站1、5，普通站2、6，換乘站3、7的上行方向聚集、疏解時間分布估計結果，與平高峰時段留乘概率分布估計結果.

圖3 區段示意Fig. 3 Schematic of sections

根據式（5）和式（9）表示的對數似然函數，使用MATLAB的fminunc函數優化對數似然函數值，估計案例網絡中除車站1、5外所有車站上行方向的疏解時間，除車站4、8外所有車站上行方向的聚集時間，并使用Kolmogorov-Smirnov檢驗驗證了估計結果，部分估計結果和檢驗結果（P值）如表2所示. 檢驗結果顯示：在顯著水平為5%的條件下（P值 >0.05），估計結果可信. 此外，對比發現：在車站2、3、6、7，其研究方向上的疏解與聚集時間分布均值近似，標準差差別較大，可能與疏解過程中存在的乘客尋找最優出口的行為有關.

表2 部分車站的聚集、疏解時間分布參數估計值Tab. 2 Estimated distribution parameters for access and egress time at stations

基于估計所得的聚集、疏解時間分布，根據式（12），使用MATLAB遺傳算法工具箱優化對數似然函數值，估計車站1～3和車站5～7上行方向的平、高峰時段的留乘概率分布參數，估計結果見表3估計值列. 以往文獻多假設留乘概率不變的時段q為1.0 h[10]，q可根據實際需求調整，q值越小，估計精度越高，本文取q為0.5 h. 于案例日期，分別使用“跟蹤法”實地調查了案例車站研究時段的真實留乘概率，調查結果見表3調查值列. 估計值與調查值對比表明，對于留乘程度不同、類型不同的車站，在平峰及高峰時段內，本文所得估計值與實地調查值基本一致.

由表3可知：在高峰時段，案例中屬于同一類別的兩車站留乘程度均不同. 因為在高峰時段，由始發站5乘車的乘客會迅速占滿列車坐席，導致因希望得到座位而等候下一班列車的留乘時有發生；而始發站1因乘客進站量較小，任意時段登車的乘客都能找到座位，而幾乎不會發生留乘，如圖4所示.

圖4 在車站1、5搭乘各班次列車的乘客數量Fig. 4 Number of passengers boarding each train at stations 1 and 5

表3 不同時間段上行方向留乘概率分布參數估計與調查結果Tab. 3 Estimated left-behind distribution parameters of delayed boarding and practical results in different periods

4 結 論

本文以無換乘乘客的刷卡數據為基礎，依據刷卡時刻與列車運行圖間的關系，分段分析了無換乘乘客的出行過程；提出了地鐵車站聚集、疏解時間分布估計方法；構造了地鐵車站留乘概率估計方法. 案例估計了留乘程度不同的分別屬于始發、換乘、普通3種類型車站的聚集、疏解時間分布及留乘概率分布.

1） 相較于聚集時間，疏解時間分布標準差可能更大，直接使用車站的疏解時間分布代替聚集時間分布會導致留乘概率估計結果偏差；

2） Kolmogorov-Smirnov檢驗表明：在顯著水平為5%的條件下，聚集、疏解時間分布估計結果可信.

3） 在不同類別、不同留乘程度車站估計出的留乘概率分布同調查值規律相符；

4） 補充了國內對于留乘研究的缺失，提出的地鐵車站聚集、疏解時間分布估計方法，解決了以往研究方法中獲取聚集、疏解時間分布難度大、準確性低的問題；

5） 分析網絡結構、客流特征、選擇偏好等因素對留乘和本文方法適用性的影響是進一步研究內容.

致謝：中鐵二院工程集團有限責任公司科研項目(KYY2019027(19-20))的支持.