基于FSK-PSK復合調制的彈載雷達抗轉發干擾波形優化技術

費智婷, 趙民, 張勁東, 李晨, 朱曉華

電子對抗技術的迅速發展對末制導的探測能力提出了更高的要求[1]。目前彈載雷達的探測波形普遍較為簡單，極易受到敵方的偵收和轉發。因此，提高彈載雷達的波形復雜度，使其具備良好的低截獲和抗干擾性能，具有重要的實際應用價值。

頻移鍵控(FSK)和相移鍵控(PSK)的調制形式[2]目前普遍運用于各類雷達系統中，FSK-PSK的復合調制形式具有更高的復雜度，增加了干擾機截獲的難度，具有更高的抗干擾能力。文獻[3-4]從模糊函數、自相關函數等角度對FSK、PSK以及FSK-PSK復合調制信號進行了分析和比較，FSK-PSK信號的自相關函數主副瓣比優于FSK信號，并且編碼序列長度越長，信號性能越優異。文獻[5-7]從模糊函數、低截獲性能等方面進行了分析。FSK-PSK信號比FSK和PSK信號具有更大的時寬帶寬積和更佳的低截獲性能。文獻[8]利用Frank碼調制相位編碼信號、Costas碼調制跳頻編碼信號，得到了一種新型FSK-PSK信號并對其進行較為細致的研究。文獻[9-10]研究了混沌碼與線性調頻復合調制信號抗轉發干擾的性能。

轉發干擾，尤其是脈沖轉發干擾[11]，使得導引頭無法利用脈間的正交性進行干擾對抗。本文從轉發干擾波形優化角度對FSK-PSK復合調制信號進行研究，在轉發干擾模型基礎上構建了脈內切片轉發式干擾抑制模型，基于子脈沖正交性設計了基于交替方向乘子法(ADMM)的脈內PSK調制優化算法。

FSK-PSK復合調制信號是一種硬件上比較好實現的典型信號形式。相比線性調頻信號，彈載雷達能夠利用優化FSK-PSK波形進一步提升對轉發干擾的抑制能力，因此具有重要的工程應用前景。

1 FSK-PSK復合調制雷達信號分析

1.1 FSK-PSK復合調制信號模型

FSK-PSK復合調制信號是通過脈內相位編碼、脈間捷變頻的方式進行調制的，即將一個寬脈沖分割為若干個彼此相接的子脈沖，利用跳頻編碼序列對子脈沖進行調制。然后利用相位編碼序列對每個子脈沖進行調制，傳統方法中每個子脈沖的相位編碼序列是相同的，這樣簡單形式的信號已不足以應對現代日益發展的雷達電子對抗技術，因此，為了提高信號的復雜程度和信號脈內的隔離度，本文利用不同的相位編碼序列對子脈沖進行調制。圖 1顯示了FSK-PSK信號的部分形式。

圖1 FSK-PSK信號波形示意圖

設FSK-PSK復合調制信號的總脈沖寬度為T,共有M個子脈沖,那么子脈沖寬度Tc=T/M,這樣FSK-PSK復合調制信號可用(1)式表示

(1)

式中，vm(t)為第m個子脈沖信號,可寫為

(2)

相位編碼信號的頻譜表達式,推導可得到[11]

(3)

因此,FSK-PSK信號的頻譜表達式可寫為

(4)

FSK-PSK信號帶寬BFSK-PSK與FSK信號帶寬BPSK相近,即

(5)

若FSK-PSK信號中的跳頻系數σm是一串可連續的正整數,則

(6)

可得到FSK-PSK信號的模糊函數表達式

(7)

式中:m,l表示頻點對應的子脈沖；(l-m-1)Tc≤τ≤(l-m+1)Tc,且有

(8)

式中,n,r表示相位編碼的對應序號

χm,n,l,r(τ,ζ)=

(9)

當|τ+(n-r)TP+(m-l)Tc|≤TP時,(9)式化簡可得

(10)

1.2 FSK-PSK復合調制信號仿真分析

取脈沖寬度T=2 μs,碼元寬度TP=0.1 μs,采用跳頻系數σm={1,3,2,4}編碼跳頻編碼序列,相位編碼序列等同于跳頻編碼序列 ，則FSK-PSK信號模糊函數如圖2所示。

圖2 FSK-PSK信號模糊函數圖

令時延τ=0,FSK-PSK信號模糊函數可轉換為距離模糊函數;令多普勒頻移ζ=0,FSK-PSK信號模糊函數轉換為其速度模糊函數。圖3所示為圖2切割之后的距離、速度模糊函數圖。

圖3 FSK-PSK信號距離與速度模糊函數圖

FSK-PSK信號在速度維的主峰幅度同樣可直接利用速度模糊函數表示,即

|χFSK-PSK(0,ζ)|=|sinc(ζT)|

(11)

因此,FSK-PSK復合調制信號多普勒敏感,其多普勒容限和單一的FSK信號和PSK信號是相同的。

(12)

2 脈內切片轉發式干擾抑制模型

2.1 脈內切片轉發式模型

敵方干擾機產生脈內切片轉發式干擾的時序模型如圖4所示[11]。干擾機在時域按照采樣周期截獲部分雷達信號,生成截獲信號,可視為雷達信號與采樣周期為TP且寬度為τ0的理想矩形脈沖相乘,從而獲得脈內切片信號。切片信號經功率放大、延時轉發處理后生成脈內切片轉發式干擾信號。雷達在接收到脈內轉發切片干擾信號后,由于轉發干擾具有相參性,形成多個欺騙假目標。

圖4 切片轉發式干擾模型示意圖

對于切片信號寬度等于FSK-PSK脈內子脈沖信號寬度的特定切片轉發式干擾,可利用脈內子脈沖正交波形來抑制[12-14]。

2.2 脈內切片轉發式干擾抑制模型

設一個碼元內采樣NS點,則采樣周期為TS=TP/NS,單個子脈沖信號內總采樣點數N′=N·NS。將(2)式重寫為

(13)

將子脈沖信號表達式(13)代入相關函數定義式

(14)

(15)

將χml(kTP) 簡寫為χml(k),定義

Hml,k=ξml,k·Jk·Dml

(16)

(17)

(18)

那么FSK-PSK脈內子脈沖信號的互相關函數的離散形式可表示為

(19)

當m=l時,(19)式表示子脈沖信號的自相關函數的離散形式

-(N′-1)≤k≤N′-1

(20)

為了提高FSK-PSK脈內子脈沖信號的正交性,可將優化模型描述為:以脈內子脈沖信號的自相關函數副瓣電平、互相關函數電平加權和的最小化為準則,固定跳頻編碼序列以離散相位編碼序列為優化變量,對FSK-PSK信號進行優化設計。目標函數可表示為

式中:Ψ=[k|NS≤|k|≤N′-1]表示自相關的副瓣范圍;Φ=[k|0≤|k|≤N′-1]表示互相關函數范圍;α∈[0,1]為加權系數,當α=1時,目標函數只考慮抑制自相關函數的副瓣,而α=0時,目標函數只考慮抑制互相關函數。

3 抗轉發干擾波形優化

3.1 ADMM算法

ADMM算法解決的是2個變量下的優化問題,它的方法框架結構是可分的,通過分解原優化問題交替求解2個較易解決的子問題的方式,就可以減小問題的規模[15]。在求解過程中,將l1范數中的變量進行替換形成l1+l2的形式,然后逐次求解,使問題得到解決。文獻[16-20]體現該方法在雷達波形優化方面降低復雜度的優勢。

ADMM框架的基本模型為

(22)

將(22)式寫成增廣拉格朗日函數,ρ為懲罰項系數,有

(23)

則ADMM更新公式為

(24)

設置一個較小的正數δ作為收斂門限,當‖x(t+1)-z(t+1)‖<δ時即認為原問題收斂。

3.2 基于ADMM的抗轉發切片波形優化算法

利用ADMM架構嵌套擬牛頓法優化FSK-PSK脈內子脈沖信號的自相關函數副瓣電平、互相關函數電平,使兩者加權和最小化。優化問題為

(25)

(25)式可轉換為

(26)

在問題(26)中引入輔助變量z和約束條件c=z,即

(27)

問題(26)和問題(27)等價。根據(27)式寫出增廣拉格朗日方程

(28)

記u=(λr+jλi)/ρ,則(28)式可寫為

(29)

記c(t)為第t次ADMM迭代后的c值(z和u相應的記為z(t),u(t)),給定初值c(0),z(0),u(0)則該問題的求解可按照如下步驟進行:

1) 更新變量c,此時變量z(t),u(t)被看作已知量

(30)

該問題為無約束最優化問題,可使用擬牛頓法求解,首先需將復數形式的目標函數轉化為實數形式,設

則有

(31)

(32)

2) 更新變量z,此時變量c(t+1),u(t)被看作已知量

(33)

(33)式可轉化為

(34)

由于(34)式是一個線性問題,且z中的元素彼此獨立,則可將其分解為若干個子問題

(35)

(36)

忽略常值部分,則(35)式轉化為

(37)

(38)

則(37)式的解為

(39)

3) 更新變量u,此時其他變量被看作已知量

u(t+1)=u(t)+c(t+1)-z(t+1)

(40)

基于ADMM的抗轉發切片波形優化算法的求解步驟可總結為:初始化變量c(0),z(0),u(0),然后重復步驟1)到步驟3),當迭代次數達到設置的最大迭代次數,或者|δ(t+1)-δ(t)|≤ε時算法終止,其中ε是一個較小正數,表示目標函數變化值達到收斂門限。

3.3 計算復雜度分析

在上述ADMM過程中,(30)式占據了大部分的計算量和計算過程,由于其需要計算(30)式的梯度。考慮到FSK-PSK的優化調制序列個數為MN,因此其梯度的計算量包含復數乘法次數為

2(MN)2[8(MN)3+4(MN)2]+2MN

(41)

因此,基于ADMM的抗轉發切片波形優化算法的計算復雜度達到了Ο(M5N5)。

總體來看,雖然該算法計算復雜度優于遺傳算法等搜索類算法,但整體復雜度仍較高。該算法適合非在線計算。由于實際電子對抗環境下轉發模型參數的先驗信息可以通過雷達提前偵測或干擾分析等手段獲取,因此通過提前計算的方式可以對FSK-PSK波形進行優化。

4 仿真校驗

設計FSK-PSK信號的子脈沖數目M=4,子脈沖信號的跳頻系數分別對應了σm={1,3,2,4},子脈沖信號的相位編碼碼長N=50,離散相位數K=2。設置優化模型的加權系數分別為α={0,0.1,…,1},優化算法迭代次數上限為50次,分別用上述ADMM算法以及GA算法對相同的初始波形進行脈內子脈沖信號正交波形優化。其優化前后結果對比圖如圖5所示。

圖5 優化前后AC-ASL與CC-AL結果對比

根據基于FSK-PSK信號的脈內子脈沖正交波形設計模型,定義脈內子脈沖信號的自相關-平均副瓣電平(auto correlation-average sidelobe level,AC-ASL)、互相關-平均電平(cross correlation-average level,CC-AL)

(42)

式中,Ψ=[k|NS≤|k|≤N′-1]是自相關函數的副瓣區域,而Φ=[k|0≤|k|≤N′-1]則是信號互相關區域。

由圖5a)可知,隨著加權系數的增加,對AC-ASL的優化比重增加,經過2種算法優化后的AC-ASL值在總體趨勢上逐漸下降。GA算法相比ADMM算法對AC-ASL的抑制更加明顯,其值都在未優化波形和ADMM優化波形AC-ASL值之下。而ADMM算法優化的波形在加權系數較小時,其AC-ASL值高于未優化波形AC-ASL,在加權系數較大時,其AC-ASL值才低于未優化波形AC-ASL值。由圖5b)可知,隨著加權系數的增加,對CC-AL的優化比重逐漸減小,經過2種算法優化的CC-AL值在總體趨勢上逐漸上升。經過GA算法優化之后的CC-AL值均大于未優化前波形和ADMM算法優化波形的CC-AL值。

從圖6～7可以發現,經過ADMM算法優化之后的FSK-PSK脈內子脈沖信號自相關函數副瓣以及互相關函數均得到抑制。表1所示為經過ADMM算法優化前后的結果對比表。由表1可知,經過ADMM算法優化后,波形AC-ASL和CC-AL均得到抑制。隨著離散相位數K的增加,優化效果未必進一步提升。

表1 優化前后AC-ASL和CC-AL數據對比 dB

圖6 優化前后FSK-PSK脈內子脈沖信號自相關函數對比

對比FSK-PSK信號和PSK信號的AC-ASL與CC-AL，具體數據如表2所示。 由表2可知，FSK-PSK信號的AC-ASL值等同于PSK信號的AC-ASL值，但是FSK-PSK信號的CC-AL值明顯優于PSK信號的CC-AL值。與PSK信號相比，FSK-PSK對轉發干擾的改善接近10 dB。

圖7 優化前后FSK-PSK脈內子脈沖信號互相關函數對比

表2 FSK-PSK信號和PSK信號對比 dB

5 結 論

針對干擾機產生的特定長度脈內切片轉發式干擾，提出了基于FSK-PSK信號的脈內等長子脈沖正交波形對抗該切片轉發式干擾。通過基于ADMM的算法實現對相關函數的聯合優化，實現對FSK-PSK信號自相關函數旁瓣電平與互相關函數電平的抑制。仿真結果表明，不同于GA算法以犧牲互相關函數的代價來換取對自相關函數副瓣的抑制，此算法可在部分加權系數之下實現對FSK-PSK脈內子脈沖信號的自相關函數和互相關函數的聯合優化。優化后的FSK-PSK信號可實現子脈沖的高正交性，可有效抑制特定脈內切片轉發式干擾。與PSK信號相比，FSK-PSK對轉發干擾的改善接近10 dB。