在S2局部坐標下的二維不可壓Naiver-Stokes方程

李小如, 王 術, 耿 范

(廣州大學 數學與信息科學學院, 廣東 廣州 510006)

0 引 言

Naiver-Stokes方程組是流體力學方程組中的典型代表, 在物理工程學、等離子物理、半導體物理、航空航天、空氣動力學、血液動力學和科學計算等諸多領域都有著廣泛的應用。它可以對氣流、大氣洋流、管道中的流體血液等各種各樣的液體流動進行建模。對簡化或者具體表達形式的Naiver-Stokes方程組的研究, 可以更好地應用于天氣預測、防止環境污染、提高各種交通工具的性能和在醫療上輔助治療心血管疾病等[1]。

在R3中有如下形式的Naiver-Stokes方程組：

(1)

式中，u(x,t)表示未知的速度場,p(x,t)表示未知的壓力,u0(x)表示給定的初始速度場, 且在分布的意義下滿足?·u0=0,μ是粘性系數。

至今, 其數學理論的研究備受關注, 它是國際數學界長期關注的焦點問題之一。迄今為止, 在三維情況下, 雖然已經有很多重要的結果, 但是方程組(1)的Leray-Hopf整體弱解的正則性仍不清楚, 目前仍然是流體力學理論中的公開問題, 美國Clay數學研究所也在2000年把三維不可壓縮Naiver-Stokes方程具有有限能量光滑初值整體正則解的存在性或在有限時間內爆破列為7個“千禧問題”之一。近些年來, 有越來越多的研究者研究曲線坐標系下的Naiver-Stokes方程組的一些性質及其弱解的估計或全局解等相關內容, 也取得了重大的進展[1-4]。

1 二維流形S2上的Naiver-Stokes方程

數學的發展促使微積分從歐氏空間到微分流形的拓展,而歐氏空間是最簡單的光滑流形, 它的微分算子在局部坐標下的表達式可適用于一般的黎曼流形。為了計算簡便, 考慮低維流形即二維流形S2在局部坐標下的微分算子。

首先在S2上建立坐標系, 即建立球面和平面或平面一部分的一個對應。由于球面具有緊致性, 而平面是非緊致的, 則這樣整體的坐標系是不存在的, 故考慮局部坐標。然后利用局部坐標分別表示出二維流形S2上的梯度算子、散度算子以及拉普拉斯算子, 進而寫出Naiver-Stokes方程組的具體形式。

R3中的單位曲面S2(1)={(x,y,z)∈R3|x2+y2+z2=1}是二維黎曼流形(S2,g), 則它的參數方程表示為

x=sinθcosφ,y=sinθsinφ,z=cosθ

(2)

其中,0<θ<π, 0<φ<2π,g是黎曼度量。

命題1假設u(θ,φ,t)是二維Naiver-Stokes方程未知的速度場, 則在u=uθeθ+uφeφ時, 在S2局部坐標系下的Naiver-Stokes方程可以表示成如下形式：

其中,

證明證明分3個步驟。

(1)計算黎曼度量

通過2種方法引入黎曼度量g, 一種是球極投影引入黎曼度量(或者是通過歐氏空間誘導在球面上的度量), 另一種是曲面在局部坐標系下的第一基本形式, 而這2種方法算出的黎曼度量是一致的。

(3)

不難看出

(4)

考慮變量θ,φ的一階偏導數

(5)

其中,

(6)

若在局部坐標系(U,ξi)下, 則S2(1)的黎曼度量g的表達式為

(7)

(8)

先將ξ1,ξ2代入式(8), 再結合式(6)可進一步計算出

g=dθdθ+sin2θdφdφ

(9)

則度量系數分別為

g11=1,g12=g21=0,g22=sin2θ

(10)

故有g的反變分量gij(即gij的逆)為

(11)

則度量系數的行列式為

(12)

方法2: 通過考慮R3中的正則曲面, 利用曲面的第一基本形式。記

r=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)

(13)

(θ,φ)是S2中的局部坐標, 由方法1中的描述可知,r是浸入R3中的二維光滑子流形。

令

E=,F=,O=

(14)

ds2=dr,dr=(dθ)2+

E(dθ)2+Fdθdφ+O(dφ)2

(15)

由于

(16)

則將式(16)代入式(15), 有

E=1,F=0,O=sin2θ, ds2=(dθ)2+sin2θ(dφ)2

(17)

由i≠j時,gij=0, 故有度量系數分別為g11=1,g12=g21=0,g22=sin2θ且

(18)

(2)計算單位正交切向量

下面是單位正交標架場的算法[7], 設(U,ξi)是M的一個局部坐標系, 黎曼度量g在該坐標系下的分量為

(19)

其中,ξ1=θ,ξ2=φ。

(20)

a1,eθ=0

(21)

由此可知

λ=-

(22)

即得

(23)

將a1單位化并記為eφ, 則

(24)

(3)考慮流形上的3個微分算子[6-9], 進而得到Naiver-Stokes方程組的具體表達式

(25)

(26)

(27)

令u=uθeθ+uφeφ, 則對應的梯度算子、拉普拉斯算子及散度算子分別為

(28)

(29)

(30)

這里應用了逆變分量uθ,uφ與物理分量uθ,uφ之間的關系。

結合式(28)～(29), 可分別計算出u·?u, Δu。

(31)

(32)

(33)

且壓力的梯度與速度場對時間的偏導數分別記為

(34)

由上述表達式(32)～(34), 可以得到在二維流形S2局部坐標系表示的Naiver-Stokes方程如下：

(35)

其中,

(36)

(37)

命題證畢。

為進一步研究二維流形S2局部坐標系表示的Naiver-Stokes方程, 需考慮邊界條件。R3中半徑為r=1的標準單位球面S2(1)是截曲率為c=1的二維空間形式。S2(1)是單連通且緊致的, 因而又是完備的。

因為球面是二維封閉的曲面, 但二維的封閉曲面是沒有邊界的，所以為了得到邊界的條件,可以考慮球面的上半球面來進行研究, 因為上半球面是一個有邊界區域。

在R3中考慮S2(1)球面的上半球面：

從而, 對于上半球面的參數方程可寫成

系統(35)的初始條件和邊界條件可分別寫成:

2 能量等式驗證

(38)

結合笛卡爾坐標下二維Naiver-Stokes方程的能量等式的計算步驟：

首先根據ut+(u·?)u+?p=μΔu, 將其與u作內積, 并進行分部積分, 可得

則對于任意的0≤t≤T, 有下述的能量等式：

其中，dτ=dθdφ,

證明先考慮式(38)中的第一個等式, 讓它與sinθuθ作內積, 并用格林公式進行分部積分, 則可得

(39)

然后再考慮式(38)中的第二個等式, 讓它與sinθuφ作內積, 并用格林公式進行分部積分, 則可得

(40)

又因為不可壓縮條件：

(41)

將式(41)與sinθuθ作內積, 則有

再用格林公式進行分部積分, 故可以得到

即有

(42)

將式(39)～(40)兩個等式相加, 并將式(41)～(42)代入其中, 可得

即

其中,

即完成能量等式的證明。

3 結束語

Naiver-Stokes方程在流體力學中具有重要的理論價值, 本文主要是對幾個微分算子從歐氏空間到流形的推廣, 并給出了詳細的計算過程, 進一步得到了Naiver-Stokes方程在S2中局部坐標下的具體表達形式, 這有利于對流體的局部形式進行了解, 并可以進一步對Naiver-Stokes方程在流形上局部坐標下解的適定性進行分析, 這對于研究方程的解具有重要的意義。因此, 可以從這樣的坐標系出發, 突破更多有關于解的問題。