高職高等數學中反常積分教學的思考

段佩

（商洛職業技術學院，陜西商洛 726000）

高等數學，作為高職學生必修的一門公共基礎課，而微積分則是高等數學的重要組成部分，是微分學和積分學的總稱。其中，積分學由不定積分、定積分理論組成，積分是微分的逆運算。不定積分是對已知的導數求其原函數，而定積分就是把圖像無限細分，然后利用小面積近似，進行累加。反常積分則是對普通定積分的推廣，指含有無窮區間，或者被積函數含有瑕點的積分。前者稱為無窮區間反常積分，后者稱為瑕積分（或者無界函數反常積分）[1]。

高職學生的數學基礎相對來說比較薄弱，對抽象的數學知識理解起來也較困難，他們擅長形象的數學思維，不善于抽象的數學思維，尤其是形式運算演算能力不足，純字母的形式運算演算能力較弱。而在反常積分的學習過程中，不僅僅要有扎實的不定積分方面的基礎知識，還要有靈活的積分技巧；同時還要對定積分的概念理解透徹，熟練掌握定積分的性質和計算辦法。大多數學生對反常積分的學習均感到繁瑣，學習要點的不易把握，所以對本節內容覺得學起來非常困難。其實，對于學生來說反常積分的難點主要有三個：一是反常積分的定義抽象難理解；二是計算復雜不易掌握，不僅僅要求積分，還要用極限的知識求極限，而這種運算的結合對于學生來說也不容易；三是應用難，而對于學生來說高等數學知識在實際問題解決中的應用一直不簡單，反常積分更是如此[2]。因此，在該節課的教學基礎上，提出一些自己的教學感受和技巧，希望能讓學生理解起來更輕松。

一、反常積分的計算

在實際計算中，將此類積分中上下限∞看作是一個“數”，直接用牛頓-萊布尼茨公式計算，再取極限即可。

比如例1可寫為：

其中，F (x) 為f (x) 的一個原函數。這樣的話，我們關于反常積分的計算，就可以直接用牛頓-萊布尼茨公式計算，進而再取極限即可[3]。

在判斷無窮區間反常積分斂散性時，也可采用以上辦法，先直接用牛頓-萊布尼茨公式計算，進而再取極限，然后再去判斷斂散性[4]。

瑕積分計算，首先考慮被積函數在積分區間上瑕點，再借助牛頓-萊布尼茨公式和極限去計算。

例6 計算

注意：以上積分計算先求出原函數帶積分限求值時，能直接代入積分限就代入，不能代入就取單側極限。簡而言之，就是，能代則代，不能代取極限。

注意：本例求解利用了分部積分法計算無窮區間上的反常積分。

注意：該例求解利用了換元法計算無窮區間上的反常積分。

反常積分也同樣有換元積分法和分部積分法，其思路同正常積分類似，求出被函函數f (x)的原函數后，再取極限即可。

通過以上例題可以發現，反常積分也可以采用與正常積分一樣的辦法來進行計算。只是無窮限反常積分時，最后是將原函數上下限為無窮時取極限[5]。瑕積分在計算中，先找瑕點，再積分，最后取極限。與無窮積分的情形類似，瑕積分有下列運算形式：

二、反常積分的應用

反常積分是高等數學中積分學的一個非常重要的概念，實際應用也頗為廣泛，實際中經常會遇到反常積分的問題。

例9 [不加控制下傳染病的傳染人數]

某種傳染病在流行期間被傳染患病的速度近似地可表示為r ( t ) =12000te-0.1t（人/天）， t為傳染病開始流行的天數。若不加控制，最終將會傳染多少人？

例10 [飛機潤滑油的生產]

若該公司要一次性生產這批飛機一年后所需要的全部潤滑油，共需要生產多少？

微積分的在實際問題中的應用對于學生來說一直是難點，尤其是反常積分，往往無從下手。因此，在求解反常積分時首先要熟悉知識點、各種常用的計算方法，其次，要有良好的解題習慣和方法分析，善于分析思考問題，學會積累、歸納、總結某一類問題的解法，從而提高自身解決問題的能力。

通過以上論述可以認識到，無論是無窮積分還是瑕積分，它們都是定積分的推廣。我們從定義出發，區分性質的異同，理解背后的本質，從而更加準確深刻地理解反常積分和定積分，更容易接受和把握反常積分的內容。