圓錐曲線中的直角弦問題

盧會玉

摘要：本文主要研究圓錐曲線的直角弦問題，對橢圓與雙曲線中相對于曲線中心的直角弦，相對于橢圓上點的直角弦，相對于非橢圓上點、非中心點的直角弦，以及對拋物線和雙曲線的直角弦等問題進行了分析與研究，得到相應的結論并進行了證明.

關鍵詞：直角弦;橢圓;拋物線;雙曲線

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0017-06

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：盧會玉（1981.7-），女，甘肅省天水人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

圓錐曲線中的直角弦問題是高考考查的一個重要考點，也是一類特征非常明顯的問題.可以通過探索找到涉及直角弦問題的試題特點，找到解決問題的合適方式.

1 直角弦定義

直線與曲線相交于兩點A，B，若存在點P，使得PA⊥PB，則弦AB叫做相對于點P的直角弦.

2 橢圓中的直角弦

2.1 橢圓與雙曲線中相對于曲線中心的直角弦

結論1直線l與曲線ax2+by2=1交于A，B兩點，若OA⊥OB（O為曲線中心），則中心O到直線l的距離d=1a+b為定值.

證明當直線l的斜率不存在時，容易求得中心O到直線l的距離d=1a+b.

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+m，則由y=kx+m，ax2+by2=1，得

a+bk2x2+2kmbx+bm2-1=0.

設Ax1，y1，Bx2，y2，由韋達定理，得

x1+x2=-2kmba+bk2，x1x2=bm2-1a+bk2.

因為OA⊥OB，則OA·OB=0.

即x1x2+y1y2=0.

所以x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m

=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0.

則（a+b）m2=k2+1.

即m=k2+1a+b.

所以原點O到直線l的距離為

d=mk2+1=1a+b.

所以原點O到直線l的距離d為定值.

例1在直角坐標系xOy中，橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且MF2=53.

（1）求C1的方程;

（2）平面上的點N滿足MN=MF1+MF2，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若OA·OB=0，求直線l的方程.

解析（1）由MF2=53=xM+1，得xM=23.

代入拋物線，得M23，263.

點M到（1，0），（-1，0）距離之和為2a=4.

所以C1：x24+y23=1.

（2）由MN=MF1+MF2=2MO，

所以kMN=kMO=6.

設l：y=6x+t，由y=6x+t，x24+y23=1，得

27x2+86tx+4t2-3=0.

設Ax1，y1，Bx2，y2，由韋達定理，得

x1+x2=-86t27，x1x2=-4t2-327.

因為OA·OB=0，所以x1x2+y1y2=0.

又y1y1=6x1+t6x2+t，

解得t=±23.

故直線l方程為y=6x-23，或y=6x+23.

點評例1中，由點到直線的距離t7=114+13，得t=±23.可以從另外一個角度驗證答案的正確性，或者也可以讓問題變得更直接、更簡潔一些.

2.2 相對于橢圓上點的直角弦

結論2過橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）上的一點Px0，y0作互相垂直的兩條直線PA，PB，與橢圓交于A，B兩點，則直線AB恒過定點a2-b2a2+b2x0，b2-a2a2+b2y0.

證明橢圓的參數方程為x=acosθy=bsinθ（θ為參數），則可設Pacosθ0，bsinθ0，Aacosθ1，bsinθ1，Bacosθ2，bsinθ2，則直線PA的斜率為

kPA=b（sinθ1-sinθ0）a（cosθ1-cosθ0）

=2bsinθ1-θ02cosθ1+θ02-2asinθ1-θ02sinθ1+θ02

=-bcosθ1+θ02asinθ1+θ02.

同理kPB=-bcosθ2+θ02asinθ2+θ02，

kAB=-bcosθ1+θ22asinθ1+θ22.

若PA，PB的斜率存在，則kPA·kPB=-1.

從而有b2a2·cosθ1+θ02sinθ1+θ02·cosθ2+θ02sinθ2+θ02=-1.

即b2cosθ1+θ02cosθ2+θ02+a2sinθ1+θ02·sinθ2+θ02=0.F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B

所以b2cos（θ0+θ1+θ22）+cosθ1-θ22

+a2·-cos（θ0+θ1+θ22）+cosθ1-θ22=0.

即（a2+b2）cosθ1-θ22-（a2-b2）cosθ1+θ22·cosθ0+（a2-b2）sinθ1+θ22sinθ0=0.

于是cosθ1-θ22=a2-b2a2+b2cosθ1+θ22cosθ0-a2-b2a2+b2sinθ1+θ22sinθ0.①

即為θ0，θ1，θ2之間滿足的關系式.

又直線AB的方程可寫為

y-bsinθ1=-bcosθ1+θ22asinθ1+θ22（x-acosθ1）.

即cosθ1+θ22ax+sinθ1+θ22by-cosθ1-θ22=0.②

將①代入②得直線AB恒過定點a2-b2a2+b2x0，b2-a2a2+b2y0.

當PA或PB的斜率不存在時，不難證明上述結論也成立.

例2圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸、y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時切點為

P，雙曲線C1：x2a2-y2b2=1

過點P且離心率為3.

（1）求C1的方程;

（2）橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點，直線l過C2的右焦點且與C2交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓過點P，求l的方程.

解析（1）設P（x0，y0），則切線方程為x0x+y0y=4.

則S=12·4x0·4y0=8x0y0.

又x20+y20=4≥2x0y0（當且僅當x0=y0=2時等號成立），

將x0=y0=2代入雙曲線方程中，

可得a2=1，b2=2.

則C1的方程為x2-y22-1.

（2）易得橢圓方程為：x26+y23=1.

當l的斜率為0時不滿足題意，則可設l：x=ky+3，由直線與曲線聯立，得

（k2+2）y2+23ky-3=0.

設Ax1，y1，Bx2，y2，由韋達定理，得

y1+y2=-23kk2+2，y1y2=-3k2+2.

由PA·PB=0，得k=

362-1

或k=-62+1.

所以l1的方程為x-（362-1）y·3=0，

或x+（62-1）y-3=0.

點評例2中，由結論2可得直線AB恒過定點a2-b2a2+b2x0，b2-a2a2+b2y0，即23，-23，則可由直線過兩點23，-23和3，0求得直線方程.利用結論解題可以從另外一個角度驗證答案的正確性，或者也可以讓問題變得更直接、更簡潔一些.

2.3 相對于非橢圓上點、非中心點的直角弦

例3已知點O為坐標原點，橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為22，點I，J分別是橢圓C的右頂點、上頂點，△IOJ的邊IJ上的中線長為32.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）過點H-2，0的直線交橢圓C于A，B兩點，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程.

解析（1）由題意得△IOJ為直角三角形，且其斜邊上的中線長為32，所以IJ=3.

設橢圓C的半焦距為c，則ca=22，a2+b2=3，a2=b2+c2.

解得a=2，b=1.

所以橢圓C的標準方程為x22+y2=1.

（2）由題知，點F1的坐標為-1，0，顯然直線AB的斜率存在.

設直線AB的方程為y=kx+2k≠0，

由x22+y2=1，y=kx+2，

得1+2k2x2+8k2x+8k2-2=0.

則Δ=8k22-41+2k28k2-2

=81-2k2>0.

即0

設Ax1，y1，Bx2，y2，則

x1+x2=-8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2.

因為AF1⊥BF1，所以AF1·BF1=0.

則-1-x1，-y1·-1-x2，-y2=0.

即1+x1+x2+x1x2+kx1+2·kx2+2=0.

整理，得

1+2k2x1+x2+1+k2x1x2+1+4k2=0.

即1+2k2·-8k21+2k2+1+k28k2-21+2k2+1+4k2=0.

化簡，得4k2-1=0，解得k=±12.

因為k=±12都滿足③式，

所以直線AB的方程為

y=12x+2或y=-12x+2.

即直線AB的方程為

x-2y+2=0或x+2y+2=0.

點評此類題目一般利用PA·PB=0，以及根與系數的關系即可直接解決問題.F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B

3 拋物線中的直角弦

結論3拋物線相對于曲線中心的直角弦：直線l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，O為原點，若OA⊥OB，則直線l恒過定點2p，0.

證明設A（y212p，y1），B（y222p，y2），則

由OA⊥OB，可得OA·OB=0.

即y21y224p2+y1y2=0.

所以y1y2=-4p2.

設AB：x=my+n，代入拋物線y2=2px，

得y2=2p（my+n）.

即y2-2pmy+2pn=0.

故y1y2=-2pn.

所以-2pn=-4p2.

即n=2p.

所以AB：x=my+2p.

可知弦AB恒過定點2p，0.

結論4直線l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，O為原點，若OA⊥OB，且OM⊥AB，則點M的軌跡為x2+y2=2px（x≠0）.

證明因為OA⊥OB，

則可知AB恒過定點2p，0.

故可設AB所在直線的方程為y=k（x-2p）.

又因為OM⊥AB，

則可設OM的方程為y=-1kx.

由y=k（x-2p），y=-1kx，消去k可得點M的軌跡為

x2+y2=2px（x≠0）.

結論5直線l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，O為原點，若OA⊥OB，則ΔAOB面積的最小值為4p2.

證明設A（y212p，y1），B（y222p，y2），則由OA⊥OB可得OA·OB=0.

即y21y224p2+y1y2=0.

所以y1y2=-4p2.

故S△AOB=12×x21+y21×x22+y22=12×x21x22+x21y22+x22y21+y21y22

=12×32p4+4p2（y21+y22）

≥12×32p4+4p2×2y1y2=4p2，

當且僅當y1=y2時等號成立.

結論6直線l交y2=2px（p>0）于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，O為原點，若OA⊥OB，則弦AB的中點N的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

證明因為OA⊥OB，

則可知AB恒過定點2p，0.

故可設AB所在直線的方程為y=k（x-2p）.

由y=k（x-2p），y2=2px，得

k2x2-（4k2p+2p）x+4k2p2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4p+2pk2.

所以y1+y2=k（x1-2p）+k（x2-2p）

=k（x1+x2）-4kp

=2pk.

設弦AB的中點N（x0，y0），則

x0=2p+pk2，y0=pk.

消去k得中點N的軌跡方程為y2=p（x-2p）.

結論7設直線l交拋物線y2=2px（p>0）于A，B兩點，點P（x0，y0）是拋物線上不同于A，B兩點的一個定點，且MA⊥MB，則直線l過定點（2p+y202p，-y0）.

證明顯然直線AB不與x軸垂直.

故可設其方程為x=my+n.

設A（y212p，y1），B（y222p，y2），則

由x=my+n，y2=2px，

得y2-2pmy-2pn=0.

則y1+y2=2pm，y1y2=-2pn，

因為MA⊥MB，顯然MA，MB的斜率存在.

所以kMA·kMB=-1.

即kMA·kMB=y1-y0y212p-y202p·y2-y0y222p-y202p

=4p2（y1+y0）（y2+y0）

=-1.

所以y1y2+y0（y1+y2）+y20+4p2=0.

整理，得n=my0+y202p+2p.

則直線AB的方程為x=m（y+y0）+y202p+2p.

則直線AB過定點（2p+y202p，-y0）.

4 雙曲線中的直角弦

相對于雙曲線上點的直角弦

結論8設直線l交雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，a≠b）于A，B兩點，點Px0，y0是雙曲線上不同于A，B兩點的一個定點，若PA⊥PB，則直線l恒過定點a2+b2b2-a2x0，b2-a2a2+b2y0.

證明雙曲線的參數方程為x=acosθy=btanθ（θ為參數），則可設Pacosθ0，btanθ0，Aacosθ1，btanθ1，

Bacosθ2，btanθ2，則直線PA的斜率為F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B

kPA=b（tanθ1-tanθ0）a（1cosθ1-1cosθ0）

=-bsin（θ1-θ0）a（cosθ1-cosθ0）

=2bsinθ1-θ02cosθ1-θ022asinθ1-θ02sinθ1+θ02

=bcosθ1-θ02asinθ1+θ02.

同理kPB=bcosθ2-θ02asinθ2+θ02，

kAB=bcosθ1-θ22asinθ1+θ22.

若PA，PB的斜率存在，則

kPA·kPB=-1.

從而有b2a2·cosθ1-θ02sinθ1+θ02·cosθ2-θ02sinθ2+θ02=-1.

即b2cosθ1-θ02cosθ2-θ02

+a2sinθ1+θ02·sinθ2+θ02=0.

所以b2cos（θ0-θ1+θ22）+cosθ1-θ22+a2·-cos（θ0+θ1+θ22）+cosθ1-θ22=0.

即（a2+b2）cosθ1-θ22-（a2-b2）cosθ1+θ22·cosθ0+（a2+b2）sinθ1+θ22sinθ0=0.

于是cosθ1-θ22=a2-b2a2+b2cosθ1+θ22cosθ0-sinθ1+θ22sinθ0.④

即為θ0，θ1，θ2之間滿足的關系式.

又直線AB的方程可寫為

y-btanθ1=bcosθ1-θ22asinθ1+θ22（x-acosθ1）.

即cosθ1-θ22ax-sinθ1+θ22by

+sinθ1sinθ1+θ22-cosθ1-θ22cosθ1=0.⑤

將④代入⑤得直線AB恒過定點a2+b2b2-a2x0，b2-a2a2+b2y0.

當PA或PB的斜率不存在時，不難證明上述結論也成立.

參考文獻：

[1]

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 李世臣，陸楷章.圓錐曲線對定點張直角弦問題再研究[J].數學通報，2016，55（03）：60-62+66.

[3] 潘神龍.圓錐曲線對定點張直角弦的幾何性質研究[J].中學數學研究，2016（01）：21-23.

[責任編輯：李璟]F83C8DF7-CF44-4D67-87A1-AEBB7A86106B