黏性液體橫向射流破碎機理

鄧甜，李佳周，陳偉

1.中國民航大學 中歐航空工程師學院，天津 300300 2.中國空氣動力研究與發展中心 結冰與防除冰重點實驗室，綿陽 621000

航空發動機燃燒室中，燃油噴入氣場中并在氣動力和液體不穩定性雙重作用下破碎成密集的油霧。霧化效果直接影響燃燒效率和排放。但液體燃料的霧化過程，特別是霧化初始階段十分復雜，至今理論研究成果較為有限，也沒有一個公認的模型能夠較好地預測該過程。許多學者已經對理想無黏液體破碎情況進行了理論分析和建模，得到了多種半經驗半理論模型。然而當考慮液體黏性影響時，這些模型會變得十分復雜，難以得到一個精確的解析模型。因此，本文將在理想無黏液體破碎理論分析基礎上，進一步研究黏性作用下橫向射流的破碎機理，推導有黏液體射流的色散方程，分析黏性、表面張力及工況對射流不穩定性的影響。

對橫向氣流作用下射流破碎的機理分析最早起源于Rayleigh對圓柱自由射流的研究。Weber基于Rayleigh理論，添加了液體黏性，得到適用于低速射流破碎的理論。Horn和Reichenbach將氣流速度提高到馬赫數為4，發現當氣體韋伯數很大時，液體黏性和表面張力對射流破碎后的寬度影響很小。Sterling和Sleicher考慮氣動力及速度分布的影響，推導出有黏二維自由射流的色散方程。在此基礎上，Reitz和Bracco考慮徑向上具有梯度的液體速度，及速度分布對破碎的影響，提出更為通用的軸對稱二維圓柱射流色散方程。隨后Yang將模型由軸對稱拓展到非對稱形式，推導出三維無黏射流色散方程，同時提出角變量概念，很好地解釋了實驗觀察到的蛇形波。Yoshinaga、Clark以及Erneux等應用非線性理論研究了平面液膜和環液膜的破碎過程，進一步確認了非線性不穩定性會引起蛇形波出現相位差，進而掐斷液膜導致破碎。史紹熙、嚴春吉等應用線性不穩定性理論推導出三維非對稱自由射流色散方程。萬云霞等也推導了三維無黏自由射流色散方程，得到表面波增長率與波數的關系。

針對橫向氣流中液體射流破碎問題，Aalburg等發現液氣動能比對非湍流射流破碎影響很小，橫向氣流對射流破碎起主導作用。Inamura采用亞聲速液體橫向射流的半經驗模型預測了射流軌跡，相符性較好，但氣流速度較大和較小都會影響預測模型的準確性。Mashayek等在此基礎上補充了氣流作用在液柱并使之彎曲的角度，及液滴破碎帶來的液柱質量損失，提高了模型精度。Wang等建立了三維無黏的橫向射流色散方程，并推導出表面波增長率顯示表達式，討論了在不同氣體、液體韋伯數下射流破碎的情況。Liu等利用線性穩定分析法并建立半經驗模型研究亞聲速情況下橫向射流的破碎，在表面破碎區域得到較為一致的結果，但在柱破碎區由于非線性因素的影響結果產生較大的差異。

綜上所述，低速自由射流破碎過程主要由Rayleigh不穩定性及Kelvin-Helmholtz不穩定性主導，線性穩定性理論能較好地分析表面波特性，預測破碎過程。然而，對于橫向射流，由于橫向氣動力的作用，出現了Rayleigh-Taylor不穩定性，因此需要在現有穩定性理論基礎上增加R-T不穩定性分析。

本文作者團隊之前對無黏情況下橫向二維剪切氣流的射流破碎機理進行了研究。本文將在此基礎上，利用線性不穩定性分析法，對橫向氣流中的黏性液體射流破碎機理進行研究。

1 黏性液體射流在均勻氣場中的情況

1.1 條件假設

研究對象如圖1所示，首先考慮均勻的橫向氣體來流，速度為，密度為，表面張力系數為。密度為、半徑為的圓柱液體射流以速度噴入均勻氣流場中。氣體的黏性較小，對黏性射流的影響可忽略不記，因此忽略氣體的黏性，液體的動力黏性系數為。雷諾數、密度比及韋伯數定義為

忽略重力影響，并假設液體不可壓，以噴嘴出口中心為原點，建立柱坐標系。氣流穿過液體射流可以看作典型的氣體圓柱繞流。液體表面波在射流前端出口附近形成，且在射流初始段即噴嘴附近處，液柱的彎曲以及橫截面積的變化基本可以忽略。表面波隨射流傳播而發展，且波長基本保持不變。

圖1 均勻氣流中液體橫向射流示意圖Fig.1 Schematic diagram of liquid transverse jet in uniform airflow

1.2 模型建立

根據1.1條件假設，氣流基本流為(,)，為壓力，為速度矢量，=l, g分別代表液相和氣相。流體的連續方程和動量方程為

(1)

(2)

式中：為時間;=1，=0。

系統初始階段射流的速度=[,,]=[0,0,](、、分別為徑向速度、軸向速度和豎直方向速度)，氣流的速度=[,,]=[,,0]。此時氣體流過射流可以看作是氣體圓柱擾流，如圖2所示，速度分量和可以分別表示為

圖2 均勻氣流中液體橫向射流俯視示意圖Fig.2 Top view of liquid transverse jet in uniform airflow

(3)

(4)

式中：為繞流圓周角；為噴嘴半徑；為徑向坐標。

當射流受到微小擾動時，其邊界以正則模的形式可表示為

=+(,,)=+ei(+)+

(5)

式中：為擾動幅度；為初始擾動幅度；和分別為軸向(向)和周向(向)擾動的波數；=+i為復數，實部為擾動波的增長率，虛部為擾動波的頻率。

將射流的瞬態控制方程與時均控制方程相減，并忽略高階非線性項，得到線性化的液體擾動量′、′、′、′在圓柱坐標系下的控制方程組為

(6)

(7)

(8)

(9)

分別對式(7)～式(9)求散度并相加得到：

(10)

將正則模形式的壓力擾動量′=()·e +i(+)代入式(10)中得到

(11)

()=()+()

(12)

式中：()和()分別為第一類和第二類修正的階貝塞爾函數；與為常數，可由邊界條件確定。

對于射流，當→0時，液體擾動壓力′→0，同時由貝塞爾函數性質可以得到=0，因此式(12) 可寫為

()=()

(13)

將正則模形式的液體擾動速度′=[(),(),()]e +i(+)和式(13)代入擾動方程組式(7)～式(9)中，得到新的擾動方程組為

(14)

(15)

(16)

對式(14)～式(16)進行求解整理得到

(17)

(18)

(19)

式中：′()為()對的導數；=(+i)+；和為常數，可由邊界條件確定。

忽略氣體的黏性，則壓力的擾動量和速度的擾動量為

ei(+)+

(20)

′=′()ei(+)+

(21)

(22)

′=i()ei(+)+

(23)

式中：′()為()對的導數；為常數，可由邊界條件確定。

在射流界面處的運動邊界和動力邊界條件為

(24)

(25)

(26)

(27)

且該界面上的剪切力在法向也要平衡,即

′=′+Δ′-′-()

(28)

(29)

將擾動量代入到邊界條件中，5個方程含有、、、、這5個未知量。因為所有未知量為非零的常數，所以系數方程的行列式為0，整理得到有黏液體橫向射流的色散方程：

(30)

式中：=;=;系數～分別為

=-2(+)

其中:

1.3 方程求解與驗證

當氣流速度=0時，色散方程中有

(31)

式(31)與文獻[26]形式相似，文獻[26]的研究為空間模式分析，其正則模形式為=+ei(+-)。若將=-i代入式(31)中，則得到與文獻[26]完全相同的無旋自由射流色散關系式。

當=0，=0時，式(30)可以簡化為

(32)

當=0時，式(30)可以化簡為無黏橫向射流的色散關系式：

(33)

可見，對有黏橫向射流的色散方程簡化可以得到典型的自由射流色散方程，驗證了方程的正確性。

式(30)為復數域非線性方程，其解為=+i，無法求得擾動波增長率的解析解，所以采用Muller法進行求解。

為驗證數值求解方法的正確性，分別通過解析法與數值法對式(33)進行求解和對比，如圖3 所示，=0，=0°，=8，液體韋伯數=176，氣體韋伯數=7.5。可以看出，二者得到的解完全相同。因此，應用Muller法求解色散方程是可行的。

圖3 無黏橫向射流色散方程解析解與數值解對比Fig.3 Comparison of analytical solution and numerical solution of inviscid transverse jet dispersion equation

1.4 黏性對均勻氣流條件下橫向射流破碎的影響

文獻[28]實驗結論指出射流迎風面表面波最顯著，此時=0°,=0。由于考慮液體黏性會影響橫向射流的擾動波特性，因此下面的計算與討論均針對迎風面表面波。式(30)可化簡為

(34)

1.4.1 黏性力對橫向射流表面的影響

考慮射流工質為水，動力黏性系數=894×10kg/(m·s)。工況如表1所示，其他參數參考表2。

將兩種工況下表面波隨波數變化規律與無黏情況的結果進行對比，得到圖4。可以看出，考慮液體黏性后，擾動波的增長率會輕微減小，且減小的程度隨著波數增大而增大。工況1中，增加液體黏性后，隨著波束的增大,擾動波增長率的減小量與增長率的比值從0.004%增大到13.8%，可見黏性對射流的破碎起抑制作用，且對小波長(大波數)的表面波而言，黏性的抑制作用更強。類似地，工況2中黏性力對表面波起抑制作用，增長率的減小量從0.02% 變化到16.7%。

橫向射流的不穩定性一般分成3種：K-H不穩定性由速度剪切誘導產生，Rayleigh不穩定性是由液體表面張力誘導產生，R-T不穩定性則是由橫向氣動力誘導產生。從文獻[22]中得到當>1時，Rayleigh不穩定性消失，此時只剩R-T和K-H兩種不穩定性。由圖4可以看出，有無黏性時，液體橫向射流的不穩定區間完全重合，說明黏性的抑制作用主要體現在對K-H和R-T不穩定性的削弱方面，這與表面張力的抑制效果不同。增大表面張力(減小液體韋伯數)，射流的擾動波增長率減小，同時射流不穩定波數的范圍也會減小，即表面張力的抑制效果更明顯。

表1 黏性力分析工況Table 1 Working conditions for viscous force analysis

表2 文獻[25]中采用液體的物性參數Table 2 Physical parameters of liquid used in Ref.[25]

同時，圖4也給出橫向射流的最佳波數，即增長率最大的波數。可見，工況1時，對于無黏情況，其最佳波數為2.14，有黏情況，最佳波數為2.13；工況2中最佳波數從8.0減小到7.87。因此可見，黏性在抑制增長率的同時也會減小最佳波數，即增大黏性力將增大表面波的最佳波長。

從圖4分析可知，當工質為水時，黏性對射流破碎起抑制作用，但影響程度較小。為進一步研究黏性力對射流不穩定性的影響，改變工質水的動力黏性系數，得到圖5 中表面波增長率隨波數變化情況。當黏性系數增大到500倍時，表面波最大增長率降低了80.37%，說明隨著黏性增大，其對射流破碎的抑制作用越來越強，且最佳波數逐漸減小。此外，改變黏性力并不影響射流不穩定波數的范圍，即低黏性工況下的不穩定波在高黏性時仍不穩定。

圖4 無黏/有黏液體橫向射流表面波增長率隨波數變化情況Fig.4 Variation of surface wave growth rate with wave number in inviscid/viscous liquid transverse jet

圖5 不同液體黏性下表面波增長率隨波數變化情況(Ul=10 m/s，Ug=15 m/s)Fig.5 Variation of surface wave growth rate with wave number in different liquid viscosities (Ul=10 m/s，Ug=15 m/s)

1.4.2 氣體和液體速度對穩定性的影響

由式(33)可以看出當不考慮射流液體黏性時，表面波的增長率受3部分誘導產生，即

(35)

式中：、、分別代表速度剪切作用(K-H不穩定性)、液體表面張力(Rayleigh不穩定性)及橫向氣動力誘導產生的不穩定性(R-T不穩定性)。當考慮液體射流的黏性時，式(35)變為

(36)

將工況分為兩組，第1組固定氣體速度為30 m/s，僅改變液體速度；第2組固定液體射流速度為10 m/s，僅改變氣流速度。從表中可以明顯看出，、的貢獻量為正，說明速度剪切作用與橫向氣動力促進液體射流表面波的增長進而產生破碎。和的貢獻量為負，說明表面張力和黏性力會抑制表面波的生成。觀察表3可知液氣動能比越大，速度剪切作用對不穩定性的貢獻量越大，同時液體射流速度越快，其貢獻量越高，此時K-H不穩定性主導射流表面波的生成。液氣動能比較小時，橫向氣動力為主要誘導因素。工質為水時，黏性力的貢獻量均小于5%，與其他3項相比幾乎忽略不計。

為確定黏性力對不穩定性的影響，將工質換為84%的甘油，此時動力黏性系數增大為0.032 3 kg/(m·s)，得到新的貢獻量見表4。與水做工質相同的是速度剪切作用與橫向氣動力的貢獻值均為正，表面張力和黏性力的貢獻均為負。

表3 液體工質為水時4種不穩定性誘導因素對橫向射流表面波最大增長率的貢獻量對比

表4 液體工質為84%甘油時4種不穩定性誘導因素對橫向射流表面波最大增長率的貢獻量對比

不同的是，增大工質的黏性后，的貢獻量有明顯的變化，相比黏性較小時(工質水)增大約20～40倍。說明對于甘油水混合物，黏性力的影響很大，無法忽略。同時橫向氣動力的貢獻量與小黏性工質對比也有2倍左右的提升，說明增大黏性會增大橫向氣動力對射流不穩定性的影響。

由以上的分析發現，表面張力與黏性力的比值即為決定黏性力是否可以忽略的參數，=()。水射流的值為0.004 37，甘油水混合物的值為0.170 2，當達到10量級時，黏性力影響很大，不能忽略。

1.5 黏性對不同穩定性的影響

在1.4節中將橫向射流表面增長率分為4部分，其中速度剪切作用與橫向氣動力促進表面波的增長，加大射流不穩定性，即為K-H和R-T不穩定性，誘導破碎；表面張力會阻止流體表面積增大，抑制射流破碎，起穩定作用。同時液體的黏性力也會對射流擾動的發展起抑制作用。

為確定黏性對K-H不穩定性及R-T不穩定性的影響，本節將黏性納入到其他3項中考慮，重新計算3部分不穩定性的影響。式(35)可改為

=R()+R()+R()

(37)

式中：、、分別代表有黏速度剪切量、有黏表面張力量以及有黏橫向氣動力量。由于主要研究黏性對兩種不穩定性的影響，因此忽略表面張力。令=0，則式(34)變為

(38)

式(38)為不考慮表面張力的有黏液體橫向射流色散方程，方程的解變為

=R()+R()

若令=0，則式(38)變為

(39)

式(39)為不考慮表面張力的有黏自由射流色散方程，其解為=R()。對比式(38)和式(39)，當給定時，含的項為定常數，因此可以通過求解R()進而得到R()。

對于=0,=0,=0，式(33)可化簡為

(40)

式(40)為不考慮表面張力的無黏橫向氣流色散方程，其解為=R()+R()。再令=0，則式(40)變為

(41)

式(41)為不考慮表面張力的無黏自由射流色散關系式，其解為=R()。同樣地，可以通過求解R()進而得到R()。

利用上述方程求解不穩定性增長率，得到與、與的對比，如圖6(a)所示。射流為水，速度為10 m/s。當氣流速度為30 m/s時，曲線與隨波數增加差距變大，與幾乎完全重合。說明在這個條件下，黏性對K-H不穩定性和R-T不穩定性有一定影響，但影響不大。對于，考慮黏性之后，隨著波數的增大，表面波增長率的減小量從0.5%增長到4.8%，最佳波長對應的增長率則減小了2.8%；對于，表面波增長率減小量則從0到增大到0.22%，最佳波長對應的增長率減小0.07%。相比之下，黏性對的影響大于對的影響，說明該工況下，黏性對K-H不穩定性的影響更大。結合式(38)和式(39) 并分析兩種不穩定性的產生原理可知，K-H不穩定性由切線方向剪切力產生，而R-T不穩定性由自由截面垂直方向加速度以及氣流沖擊浸入液體射流產生。由于黏性對剪切力的影響，使得黏性對K-H不穩定性影響更大。

保持射流速度不變，增大氣流速度為60 m/s。與、與隨波數變化的曲線如圖6(b)所示。此時，對于來說，其增長率減小量從0.22%增大到5.36%，最佳波長增長率減小2.92%，與圖6(a)中黏性對K-H不穩定性抑制比例相近；而對于，表面波增長率的減小量從0增大到0.16%，最佳波長增長率減小1.5%。可見此時，K-H不穩定性受黏性的影響更大。

結合圖6(a)和圖6(b)可以看出，黏性對兩種不穩定性都有一定程度的削弱，對K-H不穩定性的削弱程度更大。且隨著橫向氣流速度的增加，黏性力對不穩定性的抑制作用加強。

水的黏性較小，其抑制作用較弱。為觀察黏性的影響，更換工質為黏性更大的84%甘油。與、與的對比如圖7所示，液體速度與氣流速度分別為10 m/s和30 m/s。顯然，黏性對與有很大影響。隨波數的增大，的減小量從35.2%增大至82.7%；減小量從1.39% 增大至49.1%。這表明黏性對小波長不穩定波的抑制效果要遠強于對大尺度波的抑制，因為小擾動的黏性耗散效應更強。對于和,最佳波數對應的增長率分別降低了68%和19.4%。因此對于高黏性液體，黏性同樣對K-H不穩定性的影響更大。

圖6 工質為水時A1與B1、A3與B3對比情況Fig.6 Comparison of A1 and B1, A3 and B3 with water as working fluid

圖7 工質為84%甘油時A1與B1、A3與B3的對比Fig.7 Comparison of A1 and B1, A3 and B3 with 84% glycerol as working fluid

2 黏性液體射流在非均勻氣場中的情況

2.1 二維剪切氣流表征

實際情況中氣流的分布是非均勻且復雜多變的，本文利用二維剪切氣流來模擬簡單非均勻氣流場情況。其速度剖面如圖8所示，為氣流場沿軸的長度。速度函數描述為

()=+

(42)

式中：和為常量。若>0，則該氣流具有正速度梯度；若<0，則該氣流具有負速度梯度。無量綱化為

(43)

其中：和為常數。

圖8 剪切速度梯度示意圖Fig.8 Schematic diagram of shear velocity gradient

2.2 黏性對二維剪切氣流條件下橫向射流破碎的影響

由第1節可知，液體黏性會對射流的破碎起抑制作用。本節討論，在二維剪切氣流作用下，黏性對射流不穩定性的影響。

設定液體韋伯數=176，保持氣體平均韋伯數=8，即氣流無量綱平均速度=62不變，不同速度梯度對應的最佳波數以及最佳增長率隨/變化如圖9所示。從圖9可以看出，考慮水的黏性后，相比于無黏情況，其最佳波數及最大增長率均有所減小，減小幅度在表5中列出。對比表5數據可以看出，相較于無黏水，考慮黏性后最佳波數和最大增長率的減小率在3%之內，整體減小率控制在5%以內。這個結果與均勻氣流場中得到的結論基本一致。

為進一步確定黏性對二維剪切流場中射流不穩定性的影響，保持氣流和液體射流工況參數不變，僅將水的黏性系數增加到原來的100倍，得到

圖9 不同速度梯度下無黏與有黏情況時最佳波數sopt和最大增長率情況(We1=176，Weg,avg=8)Fig.9 Optimal wave number sopt and maximum growth rate of inviscid and viscous cases with different velocity gradients (We1=176，Weg,avg=8)

表5 不同速度梯度下的減小率(We1=176，Weg,avg=8)

新的射流破碎表面波最大增長率和最佳波數變化，如圖10所示。減小幅度如表6所示。對比無黏情況，可以明顯看出兩者均有很大的減小量，最佳波數的減小量在30%～40%之間，表面波最大增長率減小量在60%～70%之間，且隨著液體黏性的增加，射流的穩定性大幅度提升，進一步體現了黏性對射流的破碎產生很大的抑制作用。

圖10 黏性增加到100倍時不同速度梯度下的最佳波數和最大增長率(We1=176，Weg,avg=8)Fig.10 Optimal wave number and maximum growth rate with different velocity gradients when viscosity increases to 100 times (We1=176，Weg,avg=8)

表6 不同速度梯度下的減小率(Wel=176,Weg,avg=8, 100μ)

3 結 論

本文研究黏性對均勻和剪切橫向氣流條件下液體射流破碎的影響。采用線性不穩定性理論得出考慮液體黏性時橫向射流的色散方程，通過Muller法求解方程，分析不穩定增長率、不穩定波數等的變化規律，得到以下結論：

1) Muller法求解色散方程得到的數值解與解析解在無黏的情況下完全相同，因此利用該方法求解黏性情況下的數值解是可信的。

2) 液體黏性對射流的K-H不穩定性和R-T不穩定性均起抑制作用，進而阻礙射流破碎，并且這種削弱作用隨橫向氣流速度的增大而增大，但并不影響射流的不穩定波數范圍。

3) 液體黏性會減小表面波的增長率以及最佳波數。對于黏性較小的液體(水)，射流表面波增長率幾乎不受黏性影響，射流破碎與無黏情況基本相同。而對于黏性大的液體，黏性力對表面波的抑制作用十分明顯，大大降低了射流的不穩定性，抑制射流破碎。

4) 液體黏性對剪切力的影響效果更強，因而對由剪切力產生的K-H不穩定性影響更大

5) 簡單線性二維剪切氣流中，黏性對射流破碎的影響與均勻氣流類似。速度梯度改變橫向氣流作用在液體射流上的分布形式，梯度不同，黏性對減小率的影響情況不同。梯度越大，黏性對破碎的抑制作用越強。且抑制作用隨黏性增大而增大。