隨機激勵作用下飛機飛行姿態動力學研究

李海泉,陳小前,張嘉圖,王亮

1. 國防科技大學 航天科學與工程學院,長沙 410073 2. 中國航空工業集團有限公司 沈陽飛機設計研究所,沈陽 110035 3. 中國人民解放軍軍事科學院 國防科技創新研究院,北京 100071 4. 西北工業大學 數學與統計學院,西安 710072

進入21世紀以來,中國的航空科技事業面臨著巨大的發展機遇與挑戰。新一代飛機設計對平臺性能和作戰效能要求越來越苛刻,總體綜合優化問題越來越突出,飛行控制系統精細化設計要求不斷提高,這都對飛行動力學模型的精準度提出了更高的要求。加強對飛行動力學建模和求解方法的研究,不僅影響著飛機飛行仿真系統的運行效率和精度,也對提高設計質量、確保飛行安全具有重要的意義。

目前的飛行器設計方法一般僅考慮確定性情況下的建模仿真,忽略了實際上廣泛存在的各類不確定性影響,如復雜的外界飛行環境干擾、飛機本體零部件質量以及加工、裝配質量等都可能存在不確定性。飛機在飛行過程中,由于飛機本體具有復雜的結構和測量控制系統,飛行環境中溫度、濕度、氣流運動等因素復雜多變,完全基于確定理論來建立飛機的飛行動力學模型無法模擬飛機的真實飛行狀態,在型號實踐中常遇到飛行動力學仿真結果與飛行實際測量數據存在較大偏差的現象。飛行動力學模型是研究飛機控制、性能、操穩、載荷等問題的基礎,由于仿真結果的精度問題,通常為了保證設計結果的可靠性,不得不在仿真數據上乘以固定的安全系數,這樣做付出了巨大的代價。

隨機噪聲廣泛存在于實際問題當中,對真實的系統具有重要的影響,這些不確定性從數學的角度可以描述為各種各樣的隨機噪聲和隨機變量。學者們往往通過在確定仿真系統中恰當地引入隨機因素,來展示一個更加準確的客觀世界,從而更好地探索問題本質。研究人員為了獲取準確的飛行仿真結果,通過引入大氣擾動等隨機模型來模擬連續紊流、陣風等飛行過程中的隨機因素,研究飛行動力學響應特性。這些研究中的隨機模型多是根據假設建模或來源于大氣觀測,或來源于結構、氣動單一學科的因素,目前還沒有采用飛行實測數據進行隨機模型的建模研究,而飛行實測數據往往包含較全面的不確定因素。隨著系統及參數識別理論的不斷完善,以及飛機飛行實驗積累了大量飛行實測數據,基于實測飛行參數統計分析來建立并修正飛行動力學模型,可以為更準確地研究飛機飛行動力學問題提供強有力的支撐。

本文基于飛行實測數據,合理引入隨機因素建立不確定性模型,通過與確定性模型和實際情況的對比,分析姿態響應的差別程度,探索這些隨機因素的概率統計特性,研究其對確定模型的影響,對于認識一個更加準確的飛機飛行動力學問題具有重要的意義和作用。

1 通用飛行姿態動力學模型

飛機姿態動力學方程是描述飛機飛行狀態的一類基本的力學方程,這些方程描述了飛機在飛行過程中在各個方向的速度、角速度及加速度。一般來說,姿態動力學方程描述如式(1)～式(3)所示。

力方程

(1)

力矩方程

(2)

其中：

(3)

另外,機體坐標系下的飛行運動學特征由式(4) 和式(5)描述。

姿態角方程

(4)

質心運動方程

(5)

其中：

式(1)～式(5)都是在理想狀況下建立的,在實際飛行過程中,飛機可能會受到諸多因素的影響,譬如氣壓、氣溫、大氣密度、湍流等,以及飛行過程中受到的載荷、復雜外界環境的干擾、飛機本體參數的不確定性等等。這些因素是物理系統及其環境中的固有可變性,都可能造成求解方程所得到的結果與真實數據產生偏差。為了使飛行運動學方程的求解結果更加符合實際情況,本文將考慮上述主要因素對方程的影響,即在一些對外界或本體因素敏感的飛行參數或變量中合理引入隨機噪聲或隨機變量,然后再對新得到的飛行運動學方程在隨機動力學理論框架下進行求解。

2 具有隨機不確定性激勵的飛機飛行姿態動力學模型

當多種復雜的隨機因素共同作用在飛機上時,飛機受到的力和力矩就會發生隨機的變化,飛機的動力學現象就會表現出不確定性,這會影響飛機的速度、姿態等動力學參數。因此,合理的分析飛機產生噪聲的機理,準確的將隨機因素引入到飛機動力學模型中進行計算,對飛機動力學特征的描述就會更加準確。通常,飛機在飛行過程中需要通過控制舵面的偏轉來改變飛機姿態,其中飛機所受到的氣動力矩是改變飛機姿態最為主要的因素。本文以式(2)為例,研究隨機因素對于飛行姿態動力學的影響。

通過大量飛行實測數據的統計分析之后,可以粗略估計這種隨機現象的特定屬性。首先對飛行實測數據進行預處理,即在主要的處理以前對數據進行的一些處理,例如將數據中的某些異常值除去,之后對處理過后的數據進行核密度估計,即采用平滑的峰值函數(“核”)來擬合觀察到的數據點,從而對真實的概率分布曲線進行模擬。之后將其與確定性結果進行對比分析,從而可以根據它們的統計學特征,例如某些情況下,這種隨機因素往往是具有周期性的,并有較為穩定的頻率,但是并不嚴格按照某個周期運動。某些情況下,這種隨機因素的幅度分布可以近似為高斯分布。因而這種隨機現象可以用隨機相位激勵或者高斯白噪聲來描述。

本文重點研究隨機相位激勵和高斯白噪聲對飛機姿態動力學的影響。假設姿態動力學方程的隨機作用主要體現在力矩項,將隨機噪聲引入式(2) 力矩項得到式(6)。

(6)

式中：()、()、()為隨機激勵或隨機噪聲。在對該模型進行分析求解時,發現由于式(3)力矩項中、、等操作參數會隨著時間變化而變化,因此該系統為一變參數系統。對于變參數系統,使用傳統的數值方法很難對其進行求解,文獻[19]中采用了3種傳統攝動方法對其分析求解。針對本文涉及到的變參數系統,本文對傳統的數值方法進行改進同時采用蒙特卡洛模擬法對式(6) 進行求解,進而分析隨機因素對于該系統的影響。

首先,使用蒙特卡洛模擬法,采取與文獻[20]中類似的做法對方程進行分析求解。蒙特卡洛模擬法指的通過大量產生隨機數的模擬方法來用于數值統計計算以獲得問題的近似解,其數學基礎是概率論中的大數定理,即頻率依概率收斂于概率。蒙特卡洛方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程,解決一些數值方法難以解決的問題。在具體操作過程中,只要樣本取得足夠多,可以得到任意精度的結果。在考慮加入隨機噪聲或是隨機激勵后的隨機微分方程組,可以借助蒙特卡洛模擬法的思想,利用數值方法和蒙特卡洛模擬法對所得到的隨機微分方程組進行求解。

另外,由于隨機系統的響應是一個隨機過程(或者是一隨機變量),無法與真實數據直接進行對比,故此時考慮通過提取隨機響應的數字特征,即樣本均值,通過比較樣本均值響應與確定性響應和實際數據的異同,來說明隨機的影響以及隨機系統是否能夠更好的描述實際飛行問題。

下面通過兩型飛機具體數值仿真來說明隨機因素對式(2)的影響。

3 數值仿真

3.1 確定模型與隨機模型仿真結果對比

首先以某大型運輸飛機為例,其部分參數如表1所示。

根據表1數據,設飛機以=204 m/s的飛行速度進行壓坡度轉彎機動飛行。對確定性模型式(2)以及受到隨機擾動的模型式(6)進行分析,基于一些飛行實測數據和經驗認識,發現某些隨機擾動往往是具有周期性的,并有較為穩定的頻率,但是并不嚴格按照某個周期運動,而隨機相位激勵表示的是一種具有周期性的噪聲激勵。因而可以取式(6)中()、()、()為隨機相位激勵,隨機相位激勵表達形式為：()=cos(+),=1,2,3。其中為位移幅值；為響應頻率；Φ為隨機相位角。根據經驗以及對于一些飛行實測數據的分析,取=0000 3、=0003、=0000 03,=1,為噪聲強度為0.01的高斯白噪聲。

計算得到的結果如圖1～圖3所示,其中紅線代表確定性模型式(2)的計算結果。由于隨機動力學模型式(6)的計算結果是一個隨機過程,也就是隨機變量的集合,因此無法畫出其軌跡,上圖的藍線畫出了其均值響應。通過對比圖1～圖3,可以直觀的觀察到,在隨機相位激勵的作用下,均值響應與確定性姿態動力學方程的軌跡不同。當飛機進行主動機動時,隨機因素的影響并不明顯,但對機動制動過程有特別顯著的影響,這說明隨機因素對于飛機的動力學行為有一定的影響,具體的影響將在3.2節進行描述。

表1 某型號飛機部分參數Table 1 Some parameters of a certain type of aircraft

圖1 ωx求解結果對比Fig.1 Comparison of solution results of ωx

圖2 ωy求解結果對比Fig.2 Comparison of solution results of ωy

圖3 ωz求解結果對比Fig.3 Comparison of solution results of ωz

3.2 確定性與隨機性關于飛行實測數據的比較

本節將通過一組飛行實測數據來對比分析隨機因素對確定性仿真模型所帶來的影響,表2為一型高機動飛機的典型參數。

根據表2數據,設飛機以=204 m/s的飛行速度飛行。

1) 飛行狀態1

在飛行員有較大操縱時的飛行狀態下,基于飛行實測數據,取式(6)中()為均值是零、噪聲強度是0.01的高斯白噪聲。確定性模型式(2)以及受到隨機因素影響的模型式(6)的計算結果如圖4和圖5所示。

表2 高機動飛機的部分參數Table 2 Some parameters of high mobility aircraft

圖4和圖5分別為角速度分量、的計算結果。其中紅線代表通過確定性模型式(2)求解所得到的確定性軌線；藍線代表高斯白噪聲下的姿態動力學模型式(6)的均值響應；黑線代表的是飛機飛行過程中的飛行實測數據。從圖4、圖5可以發現,飛機在急劇滾轉情況下,確定性模型和隨機模型仿真結果非常接近,由于操縱力遠大于隨機因素,不確定性因素影響不顯著；在角速度快

圖4 ωx求解結果對比(狀態1)Fig.4 Comparison of solution results of ωx (Case 1)

圖5 ωy求解結果對比(狀態1)Fig.5 Comparison of solution results of ωy (Case 1)

速變小的急劇制動過程中,飛機主動機動減弱過程中不確定性因素影響較大,并且隨機模型仿真結果與飛行實測數據非常接近(圖4中圓圈所示)。經過本狀態分析可見受高斯白噪聲作用的姿態動力學模型在一定程度上更能體現姿態動力學的特征。

為了更好地描述隨機因素帶來的影響,采用全歷程均方差定量地來分析以上數據。表3給出了飛行狀態1確定性模型及隨機模型求解結果與飛行實測數據間的均方誤差。

2) 飛行狀態2

在飛行員操縱飛機穩定飛行狀態下,同樣取式(6)中()為均值是零、噪聲強度是0.01的高斯白噪聲,確定性模型式(2)以及受到隨機因素影響的模型式(6)的計算結果如圖6、圖7所示,并且通過表4給出本飛行狀態確定性模型及隨機模型求解結果與飛行實測數據間的均方誤差。

圖6、圖7給出了飛機在穩定飛行過程中角速度分量、的計算結果。定性分析可以發現,由于主動操縱因素影響較小,飛機姿態細微變化主要是由于環境不確定性和本體不確定性,所以隨機因素影響較大。通過確定模型和隨機模型仿真結果與飛行實測數據對比可見,引入適當強度隨機白噪聲的隨機模型仿真結果非常逼近飛行實測數據,說明選取合理的噪聲對改善模型仿真結果意義重大。

表3 均方誤差對比(狀態1)Table 3 Comparison of mean square errors (Case 1)

圖6 ωx求解結果對比(狀態2)Fig.6 Comparison of solution results of ωx (Case 2)

圖7 ωy求解結果對比(狀態2)Fig.7 Comparison of solution results of ωy (Case 2)

表4 均方誤差對比(狀態2)Table 4 Comparison of mean square errors (Case 2)

通過表3和表4進行初步的定量計算之后可以發現,無論是飛行員有較大操縱時還是平穩飛行狀態下,考慮噪聲影響的姿態動力學方程的模型一定程度上都更能貼近飛行實測數據。特別是飛機在平穩飛行過程中,隨機不確定性模型更能可靠的模擬飛機的實際飛行狀態。

4 結 論

通過上面所給出的計算結果,可以發現在飛機飛行姿態動力學建模仿真過程中,在仿真模型的主要參數項考慮合適的隨機不確定性影響,對仿真結果有著顯著的影響。

1) 從飛行仿真典型參數的時間歷程曲線的定性對比和從均方誤差的定量結果兩方面來看,都發現加入隨機噪聲后的動力學方程與確定性的飛行動力學方程之間有一定差別。

2) 通過不同飛行狀態的飛行姿態仿真,加入隨機噪聲后的動力學模型仿真結果更加貼合飛行實測數據。證實了在求解飛機動力學方程時,考慮隨機噪聲或者隨機變量建模對提升仿真結果精度有很重要的意義。

3) 定量的驗證了考慮隨機因素的影響后,對大幅度機動動作影響不明顯,但在飛機不進行主動機動的平穩飛行過程中,考慮隨機因素可以有效提高飛行動力學模型的精度,繼而可以大幅提高飛機設計參數的可信性。

目前只測試了典型的高斯白噪聲對參數的影響,后續將采取參數識別的方法更好的去分析噪聲的性質,尋找更合適的隨機噪聲或是隨機激勵以及在不同參數或是變量中加入隨機因素的影響,不斷地提高模型精度,提升飛行仿真的可信性,進而達到預期的結果。