基于雙峰對數正態分布模型的DED-TA15鈦合金DFR值估計方法

王天帥，賀小帆，王金宇，李玉海

北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100083

鈦合金具有低密度、高強度和耐腐蝕性等優點，在飛機主承力結構上得到了廣泛應用。目前，鈦合金結構質量占飛機結構總質量的百分數已經成為衡量航空飛行器先進性的一個重要指標，在第三代戰斗機中，F/A-18、Su-27等型號中，鈦合金的使用量達到了15%左右，而在美國空軍第四代戰斗機中，該指標達到了41%以上。

TA15鈦合金，名義化學成分為Ti-6.5Al-2Zr-Mo-V，是一種高鋁當量的近α鈦合金。TA15鈦合金具有α型鈦合金所固有的可焊性和熱強性，同時也具備可以與α-β型鈦合金相媲美的工藝塑性，因此在航空領域得到了廣泛的應用和重視。TA15鈦合金綜合性能優異，但傳統的鍛造、機加工工藝在制備TA15鈦合金零件時，其材料利用率往往只有15%左右，導致其制造成本過高，成為限制其應用的主要因素。而增材制造技術(Additive Manufacturing, AM)技術作為一種綜合了計算機設計、熱源、材料和控制等多個領域先進技術的快速成型技術則迎合了現代飛機零部件對于制造工藝的要求。與傳統工藝相比，AM具有以下優點：工藝流程大大縮短，無需額外模具，材料利用率高，適合復雜零件的成型。同時，諸如激光和電子束等高功率能量源不受所處理材料的性能影響，因此非常適合于制造鈦合金這一類難以用傳統方法難以處理的材料。金屬AM工藝按照熔融狀態、原材料種類和送給方式以及能量源類型等方面，主要可以分為以下2類：直接能量沉積(Directed Energy Deposition, DED)和粉末床熔融(Powder Bed Fusion, PBF)。在DED技術中，以激光為能源的激光沉積成形技術，因在大型結構制造中的優勢，受到了廣泛關注。

新工藝、新材料在進行大規模工程化應用之前，需要對其力學和材料學特性進行深入研究，以確保其性能可以代替現有較為成熟的工藝及對應的材料。為此，許多學者都開展了對于AM成型鈦合金的組織和力學性能的研究。

航空結構在服役期會承受交變載荷的作用，因而疲勞破壞是航空金屬結構的主要失效形式之一。目前制約包括DED-TA15鈦合金在內的AM鈦合金應用于飛行器主承力結構的關鍵問題是其疲勞問題。許多學者對AM成型鈦合金材料的疲勞行為進行了研究，并且認為其獨特的微觀組織結構，包括相對較大的柱狀晶、熔池之間的熔覆層、柱狀晶內部的網籃組織以及氣孔、粉末融合不良等內部缺陷，可能是AM成型鈦合金的疲勞性能有別于傳統材料的主要原因。Brandl等對AM工藝，包括鋪粉工藝和送絲工藝制備的TC4鈦合金顯微組織和力學性能的研究表明，兩種工藝制備的TC4鈦合金的疲勞極限與鍛件相近。Wycisk等對激光選區融化工藝制備的TC4鈦合金的高周疲勞行為的研究中發現，疲勞裂紋可以從試件的表面萌生，也可以從內部空隙處萌生。?kerfeldt等認為內部缺陷是影響AM制備TC4鈦合金疲勞性能的主要因素。Greitemeier等認為，內部缺陷的位置、形狀和尺寸是影響材料疲勞性能的主要因素。Edward和Ramulu發現，內部氣孔缺陷的形狀對于材料的疲勞壽命有著顯著的影響。Sterling等的試驗結果表明內部缺陷的尺寸對于疲勞性能有顯著的影響，而當材料內部存在多個缺陷時，缺陷之間的距離對于疲勞壽命也有顯著的影響。而Liu等的研究表明缺陷尺寸較大或缺陷距離試件表面較近時，會顯著降低材料的疲勞壽命。

疲勞損傷是航空結構最重要的失效模式之一，疲勞強度必須在飛機設計階段進行評估。細節疲勞額定值(Detail Fatigue Rating，DFR)方法是一種基于概率理論的疲勞評估方法，最早由波音公司在1980年提出，并且被廣泛應用于設計階段航空結構的疲勞可靠性評估。

選取合適的分布模型對疲勞壽命分布模型進行描述，是結構疲勞可靠性評估的基礎。基于大量的試驗結果和工程經驗，一般認為疲勞壽命服從Weibull分布或對數正態分布，上述兩種分布模型也是建立民機DFR方法和軍機DFR方法的理論基礎。但是，對于AM工藝制造的材料，其疲勞壽命分布形式可能與傳統工藝制造的材料有所區別。文獻[25]指出，對于AM工藝制造鈦合金，氣孔等內部缺陷可能會導致疲勞裂紋萌生和擴展行為的變化，從而導致疲勞受壽命與傳統材料產生差異。文獻[26-27]通過大量的疲勞試驗研究了DED-TA15鈦合金材料的疲勞行為和壽命分布情況。研究表明，DED-TA15鈦合金的疲勞失效呈現混合失效模式，萌生自內部缺陷和試件表面的裂紋均有可能導致樣品失效。混合失效模式導致疲勞壽命分布出現兩個峰值。劉文珽在民機方法的基礎上，繼承發展了適用于軍用飛機的軍機DFR方法。DFR分析的關鍵在于DFR基準值的計算。

在進行疲勞強度評估時，應考慮不同材料疲勞行為的差異性。為了使DFR方法能夠更好的應用于AM鈦合金的疲勞性能評估，基于DED-TA15鈦合金標準圓棒試件在3種應力水平下的成組疲勞試驗結果，基于雙峰對數正態分布發展了軍機DFR方法。

1 DFR值的測試與計算

DFR是結構細節固有的疲勞性能特征值，是一種對構件質量和耐重復載荷能力的度量。對于軍用飛機結構，DFR代表應力比=0.1時，在90%置信水平和99.9%可靠度要求下，疲勞壽命達到50 000次循環對應的最大應力。根據上述定義，DFR值可以通過90%置信水平和99.9%可靠度要求下測試計算得到的=0.1的-曲線計算得到，如圖1所示。而在工程上，由于存在大量的數據積累和經驗數據，通常只進行一組成組疲勞試驗，然后結合已有的-曲線參數計算得到DFR值。

圖1 DFR值測試與計算流程Fig.1 Steps for DFR value testing and calculation

(1)

(2)

式中：疲勞壽命用隨機變量表示；為對數期望；為對數壽命標準差。這些參數可以采用極大似然估計法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)估計得到。在軍用飛機DFR的過程中，通常認為是一個僅與材料有關的常數。

在傳統的軍機DFR分析過程中，90999可以根據對數正態分布的理論估計得到。通常認為，在疲勞壽命服從對數正態分布的假設下，不同置信水平和可靠度要求下的-曲線在對數坐標系下相互平行。因此，DFR值可以通過在特定的應力水平和應力比下的一組成組疲勞試驗結果結合標準-曲線參數計算得到。但是，對于通過特殊工藝，比如增材制造工藝制備的材料，當疲勞壽命分布發生改變時，往往需要使用新的分布模型對其疲勞壽命進行描述，此時，DFR值的計算方法也需要進行相應的改進。

2 DED-TA15鈦合金疲勞壽命數據

疲勞壽命數據大部分來自于作者課題組前期完成的試驗，詳見文獻[27]。該文獻共進行了3種應力水平下，共計54件DED-TA15鈦合金標準圓棒試件室溫大氣環境下的成組疲勞試驗，試驗載荷為應力比=0.06的等幅譜。試驗在Instron 8801-100 kN上進行，試驗頻率為10 Hz。3種應力水平的應力峰值()分別為720、760、800 MPa，考慮到文獻[27]中提供的720、760 MPa 2種應力水平下的有效數據數量相對較少，采用相同批次制備加工的試件，在相同的試驗條件下進行了補充試驗，共計獲得61件有效數據，見表1。表中右上角注有“*”的數據表示該數據是在補充試驗中得到的，其余數據均來源于文獻[27]。3種應力水平下均出現了混合失效模式，所有試件可以根據裂紋源的類型分為兩類，即內部缺陷起裂(SI)和表面起裂(SS), 如圖2所示。

表1 疲勞壽命數據Table 1 Fatigue life data

圖2 典型斷口圖片Fig.2 Typical fracture photographs

為了更直觀的反映疲勞壽命的分布情況，將對數疲勞壽命繪制成對數水平頻率分布直方圖(Frequency Distribution Histogram, FDH), 如圖3所示。從圖中可以看出，在對數坐標下，DED-TA15鈦合金的疲勞壽命分布具有典型的雙峰分布特征。

圖3 3種應力水平下對數疲勞壽命頻率分布直方圖Fig.3 FDHs for logarithmic fatigue life data at three stress levels

3 雙峰對數正態分布

3.1 分布模型

為了更加準確的對圖3所示的疲勞壽命分布形式進行準確的描述，文獻[26]中建立了用于描述此類分布形式的雙峰對數正態分布模型。

()=()+(1-)()

(3)

()=()+(1-)()

(4)

3.2 參數估計的EM方法

(5)

式中：為正態分布的概率密度函數，其表達式

(6)

引入潛在變量=(,,…,)，其中,,…,相互獨立，為指定應力水平下成組疲勞試驗獲得的樣本數量，有

(7)

式中：=1,2,…,。滿足如式(8)所示概率分布函數:

(8)

式中:=1,2,…,。

令=(,)，則有如式(9)所示似然函數：

(9)

式中：=(，，，，)，對式(9)取對數并去掉與所估計參數無關項，有

(10)

設在第+1次迭代中，有估計值()，由EM算法的E步和M步得到新的估計值(+1)，在E步中，令

(;())=()[ln(;)|]=

(11)

容易驗證，其中有

(12)

在M步中，解式(13)：

(13)

解得：

(14)

式(14)為雙峰對數正態分布參數估計的迭代格式。對于表1中數據進行統計分析，根據式(12) 和式(14)估計得到的雙峰對數正態分布的分布參數,見表2。

表2 雙峰對數正態分布參數估計結果

4 基于雙峰對數正態分布的DFR方法

4.1 N90/99.9估計

可靠度要求下的疲勞壽命滿足

(≥)=

(15)

且：

1-=()+(1-)()

(16)

對于指定置信水平要求下的可靠性壽命滿足

(≥)=

(17)

由于雙峰對數正態分布的形式較為復雜，無法方便地通過解析方法獲得。采用Bootstrap方法進行的估計：

當置信水平=09和可靠度=0999時,即為所求DFR計算過程中的關鍵中間量90999。根據上述方法，估計得到的3個應力水平的90999如表3所示。

表3 雙峰對數正態分布下N90/99.9估計結果

4.2 S-N曲線

由于缺少足夠的試驗數據積累，對于AM材料，還沒有建立完備的材料力學性能數據庫和材料手冊。因此，目前無法基于一組成組疲勞試驗和已有的-曲線參數來確定具有雙峰對數正態分布的材料的DFR值。所以，在計算DFR值之前，必須通過進行幾組不同應力水平下的多組疲勞試驗測試結果擬合得到DFR計算所要求的置信水平與可靠度下的-曲線參數。通常，在軍機DFR分析中，要求置信水平=0.9，可靠度=0.999。

在疲勞壽命基于雙峰對數正態分布的假設下，-曲線仍然可以采用Basquin方程進行描述。其對數形式為

90999lg+lg90999=90999

(18)

式中：90999和90999為90%置信水平和99.9可靠度要求下的-曲線的曲線參數，可以采用最小二乘法擬合得到：

(19)

其中：max,為第組成組疲勞試驗的應力水平；90999,表示估計得到的該應力水平下，90%置信水平、99.9%可靠度要求下的疲勞壽命。

4.3 DFR值

根據4.2節中方法計算得到-曲線，可以計算得到90%置信水平、99.9%可靠度要求下，指定疲勞壽命對應的疲勞應力峰值：

(20)

在軍機DFR分析中，DFR值代表應力比=0.1時，在90%置信水平和99.9%可靠度要求下，疲勞壽命達到50 000次循環對應的最大應力。因此還需要根據等壽命曲線，將=50 000次循環對應的折算為所求DFR值：

(21)

式中：0為等壽命曲線與橫軸交點的橫坐標，取0=620 MPa。根據4.2節和本節方法，計算得到的90%置信水平和99.9%可靠度要求下的-曲線參數，=50 000次循環對應的和DFR值見表4。

表4 基于雙峰對數正態分布的S-N曲線參數和DFR值

5 討 論

表5列出了對數正態分布參數的估計結果。圖4根據表2和表5中的參數估計結果繪制了對數正態分布和雙峰對數正態分布的概率密度曲線。從圖4可以看出，相比于對數正態分布，雙峰對數正態分布可以更好的描述DED-TA15鈦合金的疲勞壽命分布情況。

表5 對數正態分布參數估計結果

圖4 3種應力水平下概率密度函數曲線Fig.4 PDFs at three stress levels

傳統上，基于對數正態分布進行軍機DFR分析時，通常認為同種材料不同應力水平下的對數疲勞壽命標準差相同。表6給出了3種應力水平下的對數正態分布參數估計結果，從表中可以看出，3種應力水平下，對數疲勞壽命標準差相近。因此在進行DFR分析時，3種應力水平下的對數壽命標準差統一取為

對比表3和表6中數據可以看出，在3種應力水平下，采用雙峰對數正態分布估計得到的90999均顯著高于對數正態分布下的估計結果。

表6 對數正態分布下N90/99.9估計結果

為了進一步對比兩種分布模型的異同，計算了3個應力水平，2種分布幾種典型置信度和可靠度下的壽命，見表7與表8。將表7中數據繪制成圖5，從圖中可以看出，在相同的置信度要求下(90%), 采用雙峰對數正態分布估計得到的高可靠度下(≥90%)的疲勞壽命高于對數正態分布的估計結果。圖6為根據表8繪制的相同可靠度要求下(99.9%)下，不同置信度要求的疲勞壽命估計結果數據對比圖，從圖中可以看出，在相同的可靠度要求下，采用雙峰對數正態分布估計得到的不同置信度要求下的疲勞壽命均高于對數正態分布的估計結果。上述現象說明通過選取更加合適的分布模型對疲勞壽命數據進行描述，可以顯著提高估計得到的高可靠度要求和高置信度要求下的疲勞壽命。

表7 相同置信水平(90%)不同可靠度下的疲勞壽命Table 7 Fatigue life at confidence level of 90% and several reliability levels

表8 相同可靠度(99.9%)不同置信水平下的疲勞壽命Table 8 Fatigue life at reliability level of 99.9% and several confidence levels

圖5 相同置信水平(90%)不同可靠度下的疲勞壽命Fig.5 Fatigue life at confidence level of 90% and several reliability levels

圖6 相同可靠度(99.9%)不同置信水平下的疲勞壽命Fig.6 Fatigue life at reliability level of 99.9% and several confidence levels

為了更好地對比雙峰對數正態分布和對數正態分布對于DFR分析結果的影響，基于2種分布進行DFR分析時，均根據定義進行計算，即通過3種應力水平下的成組疲勞試驗結果擬合90%置信水平和99.9%可靠度要求下的-曲線，計算得到50 000次循環對應的應力峰值，再通過等壽命曲線計算得到DFR值。基于對數正態分布計算得到的參數-曲線參數，=50 000次循環對應的和DFR值見表9。

基于雙峰對數正態分布計算得到的DFR值與基于對數正態分布的計算結果相比，提高了7 MPa。在圖7所示應力范圍內，基于雙峰對數正態分布估計得到90%置信水平和99.9%可靠度要求下的疲勞壽命均高于基于對數正態分布分布估計得到的數值。基于雙峰對數正態分布計算得到的DFR值也高于基于對數正態分布計算得到的DFR值，由于兩種分布模型估計得到的可靠性壽命不同，導致疲勞-曲線的斜率差別很大，因而兩種分布下的DFR值差別不是很明顯。

需要指出的是，大量的試驗研究表明，金屬材

表9 基于對數正態分布的S-N曲線參數和DFR值

圖7 基于2種分布模型的S-N曲線(C=90%, P=99.9%)Fig.7 S-N curves based on two distribution models (C=95%, P=95%)

料的冪函數-曲線的斜率通常取值為3～6，表9中取值13.61是非常少見的，該值與壽命分布模型的不準確有關，因此基于單峰分布的DFR值參考意義不大。顯然，雙峰分布能更好的描述疲勞壽命的分布，可以在一定程度上減少因為描述模型不精確導致的對設計許用應力的過度限制，有效的提高材料或結構的使用潛力。

6 結 論

1) 采用雙峰對數正態分布描述DED-TA15鈦合金疲勞壽命分布，依據EM算法，建立了分布參數估計方法；采用Bootstrap方法給出了指定置信度和可靠度要求的疲勞壽命計算方法。與對數正態分布相比，雙峰對數正態分布模型更加精確的描述了DED-TA15鈦合金的疲勞壽命分布，高可靠度和高置信度要求下的疲勞壽命估計值明顯提高。

2) 給出了基于雙峰對數正態分布的DED-TA15鈦合金軍機DFR值估計方法，該方法可以在一定程度上減少因為描述模型不精確導致的對設計許用應力的過度限制，提高DED-TA15鈦合金的使用潛力。