基于縮比模型的薄壁結構聲振響應等效研究

趙小見，邵曉，楊明綏

1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2.中國航發沈陽發動機研究所，沈陽 110015

航天飛行器蒙皮結構在服役過程中承受復雜的氣動噪聲載荷環境，具體包括火箭發動機的噴流噪聲、高超聲速激波噪聲、激波邊界層干擾噪聲、以及寬頻的湍流邊界層噪聲等。強的噪聲環境對飛行器的結構、材料設計提出高的要求。隨著新一代航天飛行器的發展，高速、高機動性設計進一步提高飛行器表面的噪聲載荷水平，飛行器結構設計面臨更嚴酷的挑戰。因此，急需開展強噪聲載荷環境下飛行器蒙皮結構動力學特性研究，為新一代航空航天飛行器結構安全設計提供理論和技術支撐。

噪聲試驗技術是評估噪聲載荷作用下結構動態響應特性及疲勞特性的常用方法。噪聲試驗的開展多在強聲強混響室或行波管中進行。用于結構聲振特性分析的計算方法，包括有限元、邊界元、統計能量和其他的一些解析方法都需要采用噪聲試驗技術進行驗證或結果修正。然而，基于強聲強混響室或行波管的噪聲試驗技術也存在一定不足，具體體現在以下幾個方面：① 混響室或行波管模擬的總聲壓級受限，遠不能達到新一代高超聲速飛行器近壁噪聲環境水平；② 寬頻噪聲激勵很難在響室或行波管等試驗室條件下進行充分模擬；③ 大尺寸的結構構件很難在有限尺寸的試驗室中進行噪聲試驗。

為了解決噪聲試驗技術的痛點問題，科研人員提出了基于縮比模型等效理論的結構動響應研究方法。通過等效理論降低試驗室條件限制對噪聲試驗的影響。早在19世紀70年代初，Soedel基于Love方程推導了薄壁板殼結構動響應幅值的近似等效關系。隨后，Rezaeepazhand和Simitses建立并應用結構動響應相似關系開展結構動響應分析，探討結構縮比因子變化對結構動響應的影響規律。Rosa等在統計能力方法的基礎上推導了基于縮比模型的寬頻結構聲振相似律。Hanson等基于模態分析技術提出了一種可以通過有限元模態修正實現結構振型縮放的新方法。Singhatanadgid和Na Songkhla推導了縮比模型和全尺寸模型結構固有頻率間相似關系的數學表達形式。Adams等在半解析方法的基礎上建立了力學載荷激勵下薄壁結構動力學響應等效關系。流致噪聲也是誘導結構振動重要因素之一。為了發展流動載荷下結構響應的試驗測量技術，Franco等研究了湍流邊界層噪聲激勵下的平板結構力學響應相似律。在此理論工作的基礎上，筆者團隊進一步發展了高速湍流邊界層噪聲激勵下的平板結構力學響應相似律，并開展相關的試驗驗證研究。縮比模型等效技術的提出解決了試驗室空間對大尺寸試驗件的限制，在一定程度上推動了噪聲試驗技術的發展，提高其工程應用水平。

隨著航空航天飛行器技術的快速發展，新一代飛行器結構設計不僅要求結構響應等效方法能實現結構尺度上的縮比，而且還要求能實現噪聲強度上的等效，進一步降低噪聲試驗對實驗室條件的依賴。然而，當前發展的結構動響應相似律多從結構尺寸角度去等效，很少研究噪聲載荷環境的等效對結構動響應的影響。雖然，文獻[25]和[26]提出的高速湍流邊界層噪聲激勵下的平板振動響應相似律涉及到對結構表面噪聲載荷的等效，但該研究思路是通過增加外激勵頻率范圍獲得全尺寸模型同樣的頻響范圍，有一定局限性，并不適合行波管、混響室等試驗室條件下的噪聲試驗。為此，本文提出了一種新的結構動響應等效方法，該方法能同時實現對結構尺寸縮比和外激勵的等效，降低了噪聲試驗對試驗室噪聲環境模擬的要求，具有一定工程應用價值。

本文研究工作主要包括以下幾個部分：首先，介紹結構振動基本理論和控制方程；其次，推導了不同噪聲載荷環境作用下結構動響應的頻域等效方法；再次，通過數值計算和試驗結果對比驗證等效理論的可靠性；然后，討論了結構動響應的頻率頻移修正方法；最后，陳述本文的研究結論。

1 基本振動理論

假設外激勵作用在一個簡支撐平板模型(圖1)上，模型長、寬和厚度方向的尺寸分別為、和，則平板上任意點(,)結構響應的解析表達式可表示為

(1)

式中：為結構位移響應的功率譜密度；為角頻率；為聲壓互譜密度。

(2)

其中：表示結構密度,為阻尼因子。

無量綱振型：

(3)

其中：,=0,1,2,…表示、的模態階數方向;、表示坐標。

簡支平板的自然角頻率可以表示為

(4)

其中：為材料楊氏模量，為泊松比。

歸一化質量因子：

(5)

對于式(1)，是由外激勵的空間分布特性決定，不同外激勵分布對應不同的數學表達式。當一個單極子聲源的輻射聲壓作用在結構上(圖2)，(,)為模型中心坐標,聲載荷可以表示為

(6)

式中：和分別為平板兩點距離在和方向上的投影;()為聲源輻射功率譜密度，為

圖1 平板模型示意圖Fig.1 Sketch of investigated plate model

圖2 作用于平板結構的聲載荷Fig.2 Acoustic load acted on plate

聲速，為平板上任意2點的距離。

(7)

其中：為聲源和結構表面的垂直距離。式(1) 中的可以表示為

(,)·(′,′)dd′dd′

(8)

如果外激勵為一個復雜的面源，則可以把面聲源離散成一定數量的點聲源，作用在結構上聲載荷激勵可以表示為

(9)

則式(1)中的可以表示為

(′,′)d′dd′

(10)

如果外激勵為混響聲場，聲載荷同步加載在結構表面，且聲壓幅值均勻分布，則的表達式為

(′,′)dd′dd′

(11)

2 動響應等效方法

為了在試驗室條件模擬飛行器表面復雜的噪聲載荷環境，本研究發展了一種基于縮比模型的噪聲載荷環境和結構動響應在頻域的等效方法。盡管文獻[25]和[26]已經提出了一種用于結構聲振考核的噪聲試驗等效方法，但該方法需要施加更寬頻率范圍的激勵方可獲得和全尺寸模型同樣的頻率響應，比較適合流致振動響應測量，而并不適合行波管/混響室噪聲試驗。因此，本文嘗試發展一種新的結構動響應等效方法(見圖3)，解決寬頻噪聲試驗關鍵理論問題,圖中,為外激勵頻率,為速度響應的功率譜密度。

圖3 結構動響應等效示意圖Fig.3 Equivalence of plate excited by concentrated force

2.1 特征模態等效

為了獲得縮比模型和全尺寸模型動響應的等效關系，首先需要建立兩者固有頻率之間的等效關系。根據本文的研究目標，縮比模型和全尺寸模型的特征頻率應該滿足：

(12)

式中：-表示縮比模型參數。保證縮比模型和全尺寸模型特性頻率一致性可以避免噪聲試驗模擬更寬的噪聲激勵。

(13)

而對于縮比模型的角頻率：

(14)

其中：=[1,1]。

根據式(13)和式(14)，可以得到：

(15)

=

(16)

圖4為采用2種不同頻率方法等效的結果對比，其中，“Reference”表示采用文獻[25]和[26]中方法獲得的結果，而“Equivalence”表示采用本文發展的等效方法的計算結果。從圖4的結果對比可以看出，相對于文獻結果，本文發展的等效方法不需要擴展分析頻率范圍就可以獲得全尺寸模型相同的頻響范圍，因此具有一定的優勢。

圖4 兩種方法頻率等效結果對比Fig.4 Frequency equivalence by two different methods

2.2 動響應等效

利用2.1節的結構尺寸和特征頻率縮比方法，可以進一步推導得到結構動響應關鍵參數的縮比表達式：

(17)

(18)

(19)

同樣，根據式(8)～式(10)，可以得到在不同噪聲載荷，包括單極子聲源、面聲源和混響聲場等激勵下的載荷分布關系：

(20)

由于本文發展的等效方法要求結構特征頻率滿足式(12)，則噪聲試驗外激勵頻率也應滿足如下表達式：

(21)

假設外激勵功率譜密度滿足如下關系：

(22)

式中:為常數。

把式(17)～式(22)代入式(1)，可以得到：

(23)

根據式(23)，為了獲得縮比模型獲得和全尺寸模型一致的結構響應，要求滿足表達式：

(24)

此種情況下，可以保證：

(25)

即通過縮比模型獲得全尺寸模型的真實響應。

根據文獻[25]的研究結果和本文結構動響應等效方法的公式推導過程可以判斷出，本文發展的縮比模型等效方法不僅僅適用于平板結構，同時也適用曲板等其他的薄壁結構。

3 等效方法驗證

針對本文發展的結構動響應等效方法，研究分別基于有限元計算和地面試驗測量結果開展等效方法的數值計算和試驗對比研究。通過結果對比，一方面驗證等效方法的可靠性，另一方面探索等效方法的適應范圍，為發展新型噪聲試驗技術提供理論支撐。

3.1 結構模態等效

采用等效方法開展結構動響應研究，首先需要確認采用等效方法，縮比模型的特征模態和真實模型的特征模態的一致性。因此，本文對某平板結構開展模態特性分析，分別采用有限元方法計算全尺寸模型和縮比模型的特征頻率。表1中為用于模態分析的全尺寸模型和其他采用不同方法的縮比模型尺寸。其中，全尺寸模型對應真實結構，等效模型對應本文發展的縮比方法，而文獻表示采用文獻[25]和[26]中的縮比方法。平板模型都采用的鋁結構，對應材料參數：楊氏模量=7.0×10Pa, 結構密度=2.7×10kg/m，泊松比=0.33。結構分別采用簡支和固支2種不

表1 采用不同縮比方法的平板尺寸

同的支撐方式。

圖5和圖6為2種不同支撐邊界下結構模態的計算結果，其中，“Full-scale”表示全尺寸模型結構模態，“Equivalence”表示采用縮比模型等效方法獲得全尺寸模型結構模態，“Reference”表示采用文獻[25]和[26]中方法的計算結果,為結構模態階數。根據文獻[25]和[26]，要求全尺寸圖模型和縮比模型特征頻率滿足如下對應關系：

圖5 簡支平板結構的特征頻率Fig.5 Natural frequencies of simply supported plate

圖6 固支平板結構的特征頻率Fig.6 Natural frequencies of clamped plate

(26)

式中：表示來流速度。從式(26)可以看出，采用文獻方法，全尺寸模型和縮比模型的特征頻率和縮比因子有關系，縮比因子越小，則縮比模型對應頻率范圍越寬。而通過圖5和圖6的結果對比可以看出，本文發展的頻率等效方法不需要考慮模型尺寸的變化對模型特征頻率的影響，縮比模型的特征頻率和全尺寸模型完全一致，不要求附加的頻率換算。此外，本文推導的等效方法是基于簡支結構解析理論，通過模態分析進一步驗證了該等效方法也同樣適用于固支結構，因此進一步擴展等效方法的適用范圍。

3.2 網格無關性

本文擬采用有限元方法驗證結構動響應等效方法的可靠性。有限元計算的精度受到計算網格密度的影響，因此有必要開展網格無關性分析，進而保證結構動響應等效方法的可靠性。研究選用集中力激勵下的平板動響應計算作為對比算例，主要利用集中力激勵下平板振動解析解作為對比驗證。根據式(1)，集中力作用下的平板振動解析解的表達式如下：

(27)

式中：表示集中力的幅值，本算例中取1 N，對應所有計算頻率。有限元計算采用表1的全尺寸結構為計算模型。計算網格有3種，分別為247網格(19×13)、988網格(38×26)、3 952網格(76×52)。

圖7展示了不同網格下平板速度響應與解析解的結果對比。“FEM”表示有限元計算結果，“Analytical”表示解析解計算結果PSD(Power Spectrum Density)為功率譜密度。從圖7的結果對比可以看出，計算網格密度越高，數值計算結果和解析解吻合得越好。盡管如此，采用高密度的計算網格，占用的計算資源也更多。因此，兼顧計算精度和計算效率，計算網格只需達到圖7中988網格(38×26)就能滿足本文結構響應計算的需要。

圖7 不同網格條件簡支平板速度響應Fig.7 Velocity response of simply supported plate by different grid elements

3.3 集中力激勵

集中力激勵可以看作是噪聲載荷激勵的極端形式，即所有的載荷集中作用在結構的某一點上。圖8展示了采用不同縮比方法計算的結構在頻域的響應。其中，“Full-scale”表示基于全尺寸模型的結構響應計算結果，“Equivalence”表示采用縮比模型等效方法計算的全尺寸結構響應結果，“Reference”表示采用文獻[25]和[26]中方法的計算結果，而“Ref-scaled”表示采用文獻[25]和[26]中方法計算的縮比模型結構響應。研究計算了平板上2個點(P1和P2)的結構響應，對應全尺寸模型坐標分別為(0.3 m, 0.2 m)和 (0.15 m, 0.1 m)，而對應縮比模型上的坐標分別為(0.15 m, 0.1 m) 和(0.075 m, 0.05 m)。外激勵在各個頻率的幅值皆為1 N，作用點集中于平板中心位置。

圖8 集中力激勵下結構響應Fig.8 Plate response caused by concentrated force

從圖8的計算結果可以看出，采用本文發展的等效方法和文獻[25]、[26]的方法都可以準確獲得全尺寸結構的動響應，速度功率譜響應幅值在各個特征模態的理論誤差都在1%以內，各個特征模態也符合較好。然而和本文發展的等效方法相比，文獻[25]、[26]中的方法在計算縮比模型結構響應時，需要開展更寬頻率的外激勵和結構響應計算。因此，如果采用文獻理論進行噪聲試驗，無疑會增加試驗室噪聲載荷環境模擬的難度。

3.4 噪聲載荷

圖9 聲載荷激勵下的結構響應Fig.9 Plate response excited by acoustic load

圖8驗證了集中力激勵下結構動響應等效關系的可靠性。為了驗證噪聲載荷作用下結構動響應等效關系，研究采用混響聲場激勵平板結構, 噪聲載荷在各個頻率的幅值皆為1 Pa。結構響應的監測點同3.3節。從圖9的結果比較可以看出，在混響聲場的作用下，基于全尺寸模型計算的結構響應與基于等效關系和縮比模型計算的結構響應仍然吻合較好。雖然聲載荷激勵下結構速度功率譜精度誤差相比于集中力的等效動響應稍低，但特征模態的最大理論誤差仍保持在5%以內(圖9)，進一步驗證了本文發展的等效方法的可靠性。此外，從圖8和圖9的算例對比可以得出，采用本文發展的等效方法不僅實現了降低地面試驗對寬頻激勵的依賴性，同時也意料之外地降低了地面試驗對激勵強幅值的要求，進一步提高該等效方法的工程價值。

3.5 地面試驗

理論計算分析方法一般只提供一種理想化的結果對比，而試驗方法往往更接近工程應用。因此，本課題在理論驗證的基礎上，進一步采用現有的試驗測量結果對發展的動響應等效方法進行驗證。結構激勵采用白噪聲驅動揚聲器模擬的面聲源，試驗模型尺寸0.3 m×0.2 m×0.003 m。試驗模型為某結構的縮比模型，對應縮比因子0.5。表2為采用不同方法獲得的全尺寸模型的固有頻率。“Measurement”表示采用基于縮比模型地面試驗和等效方法獲得的結構固有頻率，“Full-scale”表示采用有限元計算獲得的結構固有頻率，而“Equivalence”表示采用縮比模型有限元計算和等效方法獲得的結構固有頻率。從表2的模態對比結果可以看出，采用全尺寸模型或等效方法的模態計算結果相對于試驗測量結果的誤差不超過3%。

圖10展示了采用不同方法計算的聲載荷激勵下的結構動響應。“Full-scale”表示采用有限元計算獲得的全尺寸結構頻域響應，“Scaled”表示采用有限元計算和縮比模型等效方法計算的全尺寸結構頻域響應，“Measurement”表示采用地面試驗和縮比模型等效方法獲得的全尺寸結構頻域響應。從圖10的計算結果對比可以出，本文發展的等效方法可以準確獲得結構的動響應。然而從圖10的結果還可以看出，對于結構的第2個特征模態，有限元計算和試驗結果出現了偏差。誤差產生原因分析：Hanson等已經討論了，在理論上采用白噪聲激勵結構，可以獲得結構所有的共振模態。然而采用白噪聲驅動揚聲器產生噪聲載荷時，噪聲載荷激勵還受到揚聲器共振頻率的影響。所以，揚聲器共振頻率和結構特征頻率不匹配很可能是結構振動第二特征模態丟失的原因之一。其次，在進行噪聲試驗時，并不是所有的結

表2 試驗模型的固有頻率Table 2 Natural frequencies of plate used for measurement

圖10 不同方法計算的結構動響應Fig.10 Structural dynamical response by different methods

構模態都一定會被激發，這也是結構第二特征模態丟失的可能原因。

4 材料效應修正

本文發展了基于縮比模型等效方法的結構動響應預測技術。設計縮比等效模型時，縮比模型可以采用和全尺寸同樣的結構材料，也可以采用不同的結構材料。當縮比模型的材料和全尺寸模型相異時，等效方法獲得結構特征頻率和全尺寸模型頻率之間存在一個頻率偏移。頻率偏移的表達式為

(28)

式中:=表示考慮材料效應的縮比模型參數。由材料屬性決定，可表示為

(29)

(30)

圖11為未考慮材料效應的平板結構響應，“Scaled-Aluminum”、“Scaled-Steel”、“Scaled-Brass”表示縮比模型分別對應不同的結構材料鋁、鋼和黃銅,材料參數如表3所示。從圖11可以看出，采用黃銅和采用其他2種材料得到結構響應之間存在明顯頻率偏移，而這種偏移是由于材料的值不同產生。由于鋁和鋼2種材料的值相近，所以兩者結果的頻率偏差較小。通常情況下，由于材料屬性不同產生的頻率偏移可以采用式(28)進行修正。圖12為修正后平板結構響應結果對比，與圖11的結果比較，頻率修正顯然消除了由于縮比模型材料不同產生的頻率偏移。

圖11 未考慮材料效應的平板結構響應Fig.11 Response of plate made of different material with no frequency offset considered

表3 縮比模型參數Table 3 Parameters of scaled models

圖12 考慮材料效應的平板結構響應Fig.12 Response of plate made of different material with frequency offset considered

5 結 論

本文針對當前噪聲試驗能力的不足，發展了基于縮比模型的薄壁結構聲振響應等效方法，并形成以下主要結論：

1) 本文發展的結構聲振響應等效方法適用的外激勵載荷類型包括集中力、點聲源、面聲源及混響聲場等。

2) 等效方法是基于簡支模型推導而來，但并不局限于簡支結構，對于固支撐或介于簡支和固支之間的結構支撐方式也適用。

3) 與文獻[25-26]方法相比，本文發展的方法不需要模擬更寬的激勵頻率就可以獲得和全尺寸模型等效的結構響應，具有一定優越性。

4) 采用縮比模型等效方法預測全尺寸模型結構響應時，縮比模型可以采用不同于全尺寸模型的結構材料，但需要進行頻率修正消除材料效應的影響。