考慮舵機動力學的旋轉彈自適應解耦控制

石忠佼，朱化杰，趙良玉,*，劉志杰

1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2.北京理工大學 機電學院，北京 100081 3.北京科技大學 自動化學院，北京 100083

旋轉彈通常是指一類采用旋轉體制的彈箭飛行器。由于能夠繞自身縱軸連續滾轉使得這類飛行器具有簡化制導控制系統的組成、放寬加工制造誤差容限、避免不對稱燒蝕等一系列優勢，因此，旋轉體制廣泛用于各類炮彈、火箭彈和戰術導彈。隨著戰爭模式的轉變，高密集度、精確打擊能力已成為現代戰爭對于武器裝備的核心要求，但傳統的無控炮射武器由于密集度低、打擊精度差往往難以滿足這些要求。雖然復雜的制導武器(例如導彈)能夠滿足高精度打擊，但由于配備了高性能的傳感器和執行機構使得成本較高，使其大規模部署遇到了極大的挑戰。

傳統無控炮彈、火箭彈等常規彈箭武器的制導化成為了一種折中的解決方案。由于采用旋轉體制，馬格努斯效應誘導的氣動交聯、陀螺效應誘導的慣性交聯以及舵機動力學誘導的控制交聯使得彈體成為一個存在俯仰和偏航通道強耦合的雙輸入-雙輸出動力學系統。若不采取任何補償或解耦措施而直接采用現有的分通道控制器設計方法，往往無法取得滿意的控制效果，嚴重時會誘發不收斂的錐形運動，導致旋轉彈的打擊精度下降，甚至達不到預定射程。

為了設計具有良好性能的自動駕駛儀，解耦成了旋轉彈控制系統設計的永恒主題。圍繞旋轉彈的解耦控制方法，國內外專家學者已經取得了較為豐富的研究成果。早期應用于旋轉彈的解耦措施主要包括前饋補償器解耦、串聯補償器解耦、對角占優理論解耦以及狀態反饋交叉補償解耦等，這些方法均屬于靜態解耦控制方法，其算法簡單、便于工程應用，但是很難保證控制系統具有良好的動態響應特性。為克服靜態解耦方法固有的缺陷，研究人員將現代控制理論用于旋轉彈控制系統設計，主要包括滾動時域解耦控制、動態逆解耦控制、魯棒解耦控制、自適應解耦控制以及模糊解耦控制等。這些方法為動態解耦控制方法，能夠很好地解決模型中多變量間的耦合問題，并且對外界干擾以及模型不確定性具有魯棒性。

在現有的解耦控制方法設計過程中，均假設執行機構動力學足夠快，即未考慮執行機構動態響應過程或僅考慮了執行機構穩態響應引起的通道間耦合。但基于成本和系統復雜性考慮，制導炮彈、制導火箭彈的控制系統執行機構不能采用鉸鏈力矩大、響應速度快但成本也較高的液壓舵機，導致快執行機構假設不再成立，使得上述解耦控制方法的有效性得不到保證。因此，有必要在考慮執行機構動態響應過程的條件下設計適用于旋轉彈的解耦控制方法。

本文在文獻[17]所提出的設計方法基礎上，以一類鴨舵作用下的雙通道控制旋轉彈為研究對象，針對俯仰和偏航通道間的強耦合問題，考慮執行機構的動態響應過程及氣動不確定性，進行自適應解耦控制器的設計與分析。首先，在非旋轉彈體坐標系下建立了旋轉彈法向/側向加速度運動方程以及舵機動力學方程。其次，在考慮氣動不確定以及舵機動態響應過程的條件下設計了自適應解耦控制方法，并通過理論分析證明了閉環系統的所有信號有界且跟蹤誤差能夠實現漸近穩定。最后，通過數值仿真驗證了所提自適應解耦控制器能夠實現俯仰和偏航通道之間的解耦。

1 動力學建模與問題描述

1.1 旋轉彈動力學模型

為便于描述旋轉彈在空間中的姿態運動，將其動力學模型建立在非旋轉彈體坐標系下。根據文獻[13]可知，旋轉彈的平動動力學模型在非旋轉彈體坐標系下可以表示為

(1)

旋轉彈繞質心轉動的動力學方程建立在非旋轉彈體坐標系下可以表示為

(2)

式中:、、分別為彈體的極轉動慣量和赤道轉動慣量；=[,,]為氣動力矩在非旋轉彈體坐標系下的投影。

聯立式(1)和式(2)即可得到描述旋轉彈姿態運動的動力學方程。方程組本質上是非線性的，但為了簡化自動駕駛儀設計與分析過程，通常根據工程經驗進行合理假設，對動力學模型進行簡化。

首先，采用鴨式布局的旋轉彈不對其滾轉通道進行控制，靠斜置尾翼提供的滾轉力矩和彈體自身的滾轉阻尼力矩進行平衡獲得穩定轉速。因此，在自動駕駛儀設計過程中只需考慮式(1)和式(2) 中的后兩式。

其次，由于旋轉彈采用軸對稱構型，因此可以在俯仰和偏航通道忽略不對稱因素產生的氣動力/力矩，只考慮線性化氣動力/力矩：

(3)

式中：=2為動壓；為參考面積；為參考長度；為法/側向力系數對攻角/側滑角的導數；為法/側向力系數對舵偏角的導數；為靜穩定力矩系數對攻角/側滑角的導數；為阻尼力矩系數對角速度的導數；為馬格努斯力矩系數對攻角/側滑角的導數；為控制力矩系數對舵偏角的導數；、分別為非旋轉彈體坐標系內的等效俯仰、偏航舵偏角；=,=為彈體的攻角和側滑角。

最后，假設彈體速度、轉速以及氣動力系數在較小的時間內保持不變，忽略小量tan，并且在駕駛儀設計過程中忽略彈體重力以及舵面升力的影響。

定義法向/側向加速度為

(4)

將式(3)和式(4)代入式(1)和式(2)中，即可得到描述旋轉彈法向/側向加速度的動力學方程為

(5)

定義系統狀態變量=[,,,]，系統被控輸出=[,]，系統輸入=[,]，則將式(5)改寫為狀態空間形式:

(6)

式中：

()用來表示跟系統狀態()有關的匹配不確定性；為未知的不確定性參數矩陣，用來表示包括、以及在內的氣動參數不確定性。

從式(6)中可以看出，由于彈體的轉速在俯仰和偏航通道引入了交叉耦合項，使得傳統的分通道自動駕駛儀設計方法不再適用，因此需要設計適用于旋轉彈的解耦控制方法。

1.2 舵機動力學模型

舵機的動力學特性是影響駕駛儀設計的重要環節。研究表明，舵機的延遲會導致旋轉彈自動駕駛儀性能下降甚至失穩。因此需要建立非旋轉彈體坐標系下的舵機動力學模型，結合旋轉彈動力學模型設計自動駕駛儀。

在旋轉彈體坐標系下，可將舵機建模為二階動力學模型：

(7)

式中：′為舵機的輸入指令;′為舵機的輸出;為舵機的穩態增益;為舵機的時間常數;為舵機的阻尼比。

由于舵機隨著彈體的旋轉而旋轉，因此將其動力學模型投影到非旋轉坐標系時，需要進行坐標轉換。如圖1所示，為舵機基準位置的當前滾轉角，、以及、為非旋轉彈體體坐標系中的舵機指令及實際的偏轉響應；′、′以及′、′為旋轉彈體坐標系中相應的舵機指令及實際的舵偏角響應。

根據旋轉彈體坐標系與非旋轉彈體坐標系的轉換關系，可得舵偏角由旋轉彈體坐標系向非旋轉彈體坐標系的轉換矩陣為

圖1 舵機指令分解示意圖Fig.1 Illustration of actuator command decomposition

(8)

根據式(8)可以將彈體坐標系中的舵機偏轉指令′=[′c,′c]和偏轉響應′=[′,′]轉換為非旋轉彈體坐標系中的舵機偏轉指令=[c,c]和偏轉響應=[,]:

(9)

對式(9)進行求導可得

(10)

式中：

(11)

將彈體坐標系下得到的舵機動力學傳遞函數(7)改寫為微分方程形式:

(12)

將式(12)兩端同時乘上轉換矩陣(8)可得

(13)

將式(9)、式(10)代入式(13)中，消除旋轉彈體坐標系中的舵偏角指令′以及舵偏角響應′，可得

(14)

通過合并同類項簡化可得

(15)

根據式(11)計算可得

(16)

再將式(16)代入式(15)可得非旋轉彈體坐標系下舵機動力學方程為

(17)

(18)

式中：

由于舵機系統為穩定系統，因此系統矩陣為赫爾維茨矩陣，必然存在一個正定對稱矩陣滿足如下李雅普諾夫方程

(19)

式中：矩陣為任意正定矩陣。

聯立式(6)和式(18)即可得到考慮舵機動態過程的旋轉彈動力學模型。

2 自適應解耦控制器設計

本部分將針對第1節中建立的考慮舵機動態過程的旋轉彈耦合動力學模型，設計自適應解耦控制器，實現俯仰和偏航通道的解耦，并使得閉環系統能夠漸近跟蹤外部加速度指令()。

2.1 系統擴維

定義跟蹤誤差的積分為輔助狀態變量

(20)

為了提升系統的跟蹤性能，在設計控制器時通常會將跟蹤誤差的積分項式(20)擴維至被控系統方程(6)中，可得

(21)

(22)

聯立非旋轉彈體坐標系下的擴維系統方程(21)以及非旋轉彈體坐標系下的舵機動力學方程(18)，可得被控系統為

(23)

2.2 解耦控制器設計

至此，為旋轉彈設計解耦控制器的問題轉化為設計非旋轉彈體坐標系下的舵機輸入指令()使得被控系統(23)中的系統狀態()能夠跟蹤如下參考模型:

(24)

式中：()為參考模型的狀態變量；為根據需求預先設計的用來描述參考模型動力學的赫爾維茨矩陣，滿足匹配條件:

=-

(25)

式中：為待設計的系統狀態反饋增益。

設計非旋轉彈體坐標系下的舵機輸入指令()由兩部分組成:

()=()+()

(26)

式中：()表示固定增益控制器，表達式為

()=-()

(27)

用來保證名義系統的基礎響應特性；自適應控制器()表示為

(28)

在式(21)右端加上、減去()，再將式(26) 代入可得

(29)

定義系統狀態跟蹤誤差()=()-()，則根據式(24)和式(29)可得系統的誤差動力學方程為

(30)

2.3 穩定性分析

根據傳統自適應控制理論可知，為證明閉環系統的穩定性需要設計自適應律使得誤差動力學方程(42)有界，具體可有如下引理描述：

(31)

考慮以下李雅普諾夫候選函數

(32)

式中：矩陣為李雅普諾夫方程的正定對稱解,

(33)

其中:矩陣為任意正定矩陣。

求取李雅普諾夫候選函數(32)對時間的導數為

(34)

將式(30)以及式(33)代入式(34)化簡可得

(35)

(36)

將式(36)代入式(35)中可得

(37)

與傳統模型參考自適應控制不同的是，本文對所采用的參考模型進行了修正。因此，即使參考模型系統矩陣為赫爾維茨矩陣也無法保證參考模型系統狀態()有界，從而也無法保證被控系統狀態()有界(即使跟蹤誤差()有界)。為證明閉環系統的穩定性，需要證明參考模型系統狀態()的有界性。

將舵機輸入指令(26)和執行機構動力學方程(18)代入到參考模型(24)中，可得

(38)

(39)

式中：

(40)

如果存在正常值、正定矩陣以及正定矩陣滿足:

(41)

那么矩陣A二次穩定。其中:

(42)

令

(43)

(44)

定義

(45)

式中：

(46)

(47)

因此如果正常值、正定矩陣以及正定矩陣滿足式(41)，那么矩陣A二次穩定。

當舵機參數和彈體參數(即矩陣,,,,,)已知時，可以通過選定正定矩陣,,求得和，根據不等式(41)是否有解來判斷正常值的存在性。

根據引理 2可知矩陣A二次穩定，并且信號()有界，因此信號()有界(詳細證明見文獻[19])。因此，參考模型狀態()以及舵機系統狀態()均有界。根據跟蹤誤差的定義()=()-()可得被控系統的狀態向量()有界。

(48)

3 算例仿真

為驗證本文所提出的自適應解耦控制方法的有效性，首先選取旋轉火箭彈彈道特征點進行數值仿真，然后將所提自動駕駛設計方法應用到旋轉火箭彈的6自由度彈道仿真中并進行數值仿真驗證。

3.1 舵機動態響應

根據式(17)得到的非旋轉彈體坐標系下的舵機動力學進行仿真，舵機動力學參數如表1所示。

表1 舵機動力學參數Table 1 Parameters of actuator

航通道舵偏角指令c選用常值零信號，仿真結果如圖2所示。從仿真結果中可以看出，當彈體不旋轉(=0 s)時，俯仰和偏航通道均能夠跟蹤外部指令信號，通道間不存耦合效應；當彈體旋轉時，俯仰通道舵偏角指令不僅會激起俯仰通道舵偏角響應還會引起偏航通道的舵偏響應，從而造成通道間的耦合。隨著轉速的增加，俯仰、偏航通道間的耦合作用隨之加強。

圖2 不同轉速條件非旋轉彈體坐標系下舵機響應Fig.2 Actuator response with different spinning rate in non-rolling body frame

3.2 考慮舵機動力學的旋轉彈動態響應

根據式(5)和式(17)構成的閉環系統，對考慮舵機動力學的旋轉彈動態響應進行仿真。其中舵機動力學參數如表1所示，旋轉彈法向/側向加速度的動力學參數如表2所示。

在仿真中，俯仰通道加速度指令c為單位階躍函數，偏航通道的加速度指令c為常值零函數。式(25)的狀態反饋增益可由線性二次調節器(LQR)進行設計，其中權重矩陣取值為=diag(01,01,10,10,10,10),=diag(10,10),進而可得參考模型的系統矩陣?？紤]旋轉彈氣動參數50%的不確定性，即=±05。自適應律(36)中的自適應增益選用=1 000進行控制器參數的實時在線更新。

為驗證所提算法的有效性，與固定增益解耦控制器、傳統自適應控制器進行對比，仿真結果如圖3～圖5所示。

表2 旋轉彈動力學參數Table 2 Parameters of spinning rocket

圖3 固定增益解耦控制方法Fig.3 Control method of fixed-gain decoupling

圖4 不考慮舵機動力學的自適應解耦控制方法Fig.4 Adaptive-decoupling control method without considering actuator dynamics

圖5 考慮舵機動力學的自適應解耦控制方法Fig.5 Adaptive-decoupling control method considering actuator dynamics

圖3為采用固定增益解耦控制方法的旋轉彈加速度響應曲線。從圖中可以看出，在加速度響應初期由舵機動力學導致的通道耦合也會引起加速度響應的通道耦合。但由于在被控系統中考慮了跟蹤誤差的積分項(見式(20))，因此在響應后期通道間耦合效應消除，實現了外部指令的漸近跟蹤。

圖4為采用不考慮舵機動力學的自適應控制器的旋轉彈加速度響應曲線。從圖中可以看出，在響應初期就出現了發散現象。這是因為舵機動力學充當了閉環模型參考自適應控制系統的未建模系統，并且傳統模型參考自適應控制對未建模系統缺乏魯棒性，因此導致閉環系統的不穩定。

圖5為本文所提出的考慮舵機動力學的自適應解耦控制器響應曲線。根據式(24)可知，所提方法將舵機輸入指令反饋到參考模型中，從而改善了初期跟蹤性能。相比于固定增益解耦控制和傳統自適應解耦控制具有較好的解耦性能以及指令跟蹤性能。

3.3 6自由度彈道

為進一步展示所提控制方法的有效性，將其應用到旋轉火箭彈的6自由度彈道仿真中。定義旋轉火箭彈的發射位置為慣性坐標系的原點，發射方向指向目標位置(72 000,0,0)。初始俯仰角=45°，初始發射速度為==50 m/s。旋轉彈的發動機推力、質量、轉動慣量以及氣動系數取自文獻[13]。在旋轉彈的末制導階段，自適應解耦控制駕駛儀接收來自比例導引律產生的加速度指令產生舵機偏轉角，控制彈體跟蹤制導指令。

末制導段的6自由度仿真結果如圖6～圖9所示。在整個末制導階段，旋轉彈的飛行速度從580 m/s減速至518 m/s，如圖6所示。轉速從25.4 rad/s下降至22.5 rad/s，如圖7所示。

圖8為在本文所提出的考慮舵機動力學的自適應解耦控制器作用下彈體加速度的響應曲線。從圖中可以看出，在慢變參數和的作用下，旋轉彈的加速度,仍然能夠跟蹤由制導律給出的加速度指令c,c。整個末制導階段的鴨舵偏轉角如圖9所示，從圖中可以看出所提的解耦控制器能夠產生較為平滑的控制信號。

圖6 旋轉火箭彈飛行速度Fig.6 Velocity of spinning rocket

圖7 旋轉火箭彈旋轉速度Fig.7 Spinning rate of spinning rocket

圖8 旋轉火箭彈加速度Fig.8 Acceleration of spinning rocket

圖9 旋轉火箭彈舵機偏轉角Fig.9 Canard deflection of spinning rocket

4 結 論

基于模型參考自適應控制理論，本文提出一種考慮執行機構動力學的自適應解耦控制方法，通過理論證明以及數值仿真驗證了該方法的有效性。主要結論如下：

1) 通過在非旋轉彈體坐標系下建立舵機動力學方程構建了考慮執行機構動力學的旋轉彈加速度運動方程。

2) 通過將執行機構的輸入與輸出誤差反饋到參考模型中，實現了考慮執行機構動力學的旋轉彈俯仰與偏航通道之間的解耦。

3) 通過構造李雅普諾夫函數證明了閉環系統所有信號有界并且能夠實現對加速度指令的漸近跟蹤。