復雜加筋的錐-柱組合殼聲振相似規律研究

彭才賡，張詩洋，張冠軍*

1 武漢理工大學 高性能船舶技術教育部重點實驗室，湖北 武漢 430063

3 武漢理工大學 能源與動力工程學院，湖北 武漢 430063

3 中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064

0 引 言

隨著聲吶探測技術的發展，聲隱身性能直接影響潛艇的作戰能力和生命力，而振動噪聲（以下簡稱“聲振”）水平直接影響聲隱身性能，是潛艇設計的關鍵性能指標之一[1]。潛艇在使用過程中需要長時間在水下活動，過高的聲振水平不僅直接影響艇員的身心健康，還會對海洋生態環境造成一定破壞，故聲振控制也是潛艇設計研究的重要內容。然而，潛艇實艇的聲振試驗給研究工作帶來了諸多不便，例如實艇尺寸較大、試驗成本高、試驗周期長、難度大等，國內外學者更傾向于通過縮尺模型來開展相關試驗，即將從縮尺模型獲得的數據換算到實艇上。因此，關于縮尺模型的相似規律的研究顯得尤為必要。目前，在殼體聲振相似領域已取得了一些研究成果，但對于相對復雜的組合殼結構（例如結構較復雜的實艇），采用縮尺模型的聲振試驗結果仍難以準確預報原型的聲振特性。

對于結構聲振相似性問題，國內外學者開展了部分研究。例如：李瀚欽等[2]以加筋圓柱殼為對象，分析了不同相似條件對結構聲振相似性的影響，對水下結構振動與聲輻射相似機理進行了研究總結。Coutinho 等[3]總結了結構工程領域的相似理論（包括基于量綱分析法、微分方程法和能量法等的理論），為結構相似理論研究提供了支撐。Balawi[4]通過有限元分析（FEA）與試驗測試相結合的方法，研究了殼體的振動相似比，結果表明，采用有限元法（FEM）研究殼體振動相似規律是可行的。俞孟薩等[5]研究了水下彈性結構體的耦合聲振響應的相似性，采用有限元-邊界元法（FEM-BEM）混合方法建立了彈性體結構水下振動方程，推導出了水下聲振特性相似比，并結合試驗驗證了相似理論的準確性。白長玉[6]在總結不同相似分析方法的基礎上，通過量綱分析法進行了相似理論的推導，進而采用有限元仿真計算驗證了結構的振動相似性。Petrone 等[7]在完全相似的加筋圓柱殼基礎上，采用FEM 研究了結構畸變時的振動相似性，結果表明，在考慮畸變結構時也可取得較好的預測結果。此外，施傲等[8]基于試驗相似原理，采用量綱分析法得出了完全相似結構模型的模態與振動響應的相似比，榮吉利等[9]通過量綱分析法建立了結構縮尺模型的相似比，并采用FEM 進行計算驗證，為縮尺結構的聲振預測和試驗提供了理論依據。

綜上所述，在殼體聲振相似性研究領域，現有研究主要集中于相對簡單的殼體結構，并對圓柱殼或圓錐殼展開了相似性分析。而對于更復雜的結構（例如加筋組合殼）在流體耦合作用下的相似性研究并不充分。鑒此，本文將采用面單元模擬加筋方法構建復雜加筋錐-柱組合殼結構及其縮尺模型，基于ANSYS 構建的模型，計算空氣中的結構模態和振動響應，再將有限元模型和模態數據導入Virtual.Lab Acoustics 聲學計算軟件中，采用BEM 計算水下耦合模態及振動響應。最后，通過模型試驗，驗證采用FEM-BEM 混合方法計算復雜組合殼結構振動響應的準確性，以及復雜組合殼結構的水下聲輻射效率和聲指向性，研究復雜組合殼結構聲振相似規律。

1 復雜加筋錐-柱組合殼模型建立

為了研究復雜加筋錐-柱組合殼聲振相似規律，構建了如圖1 所示的復雜加筋錐-柱組合殼結構模型，以及殼體、橫艙壁、縱筋腹板、環肋腹板的幾何模型。該組合殼模型以錐殼小端圓心為原點，軸向為x向，垂向為y向，水平向為z向。原型組合殼的參數如下：殼體結構長12 m（錐殼部分長8 m，柱殼部分長4 m），柱殼半徑3.5 m，外殼厚0.04 m，錐殼小端半徑1 m，大端半徑3.5 m；錐殼上環肋高0.4 m，尾軸承支撐環半徑0.7 m，內部橫艙壁及縱筋腹板厚度為0.025 m；柱殼中環肋高0.4 m，縱 筋 高0.5 m，環 肋 均 勻 分 布，間 距0.5 m。1:4 的縮尺模型與原型完全相似。

圖1 加筋錐-柱組合殼幾何結構及有限元模型Fig. 1 Geometric structure and finite element model of stiffened cone-cylinder combined shells

殼 體 材 料 屬 性 如 下：楊 氏 模 量 2.1×1011N/m2，泊松比0.3，密度7 800 kg/m3，阻尼比0.003。在構建的有限元模型中，錐-柱殼體部分和環肋及縱筋的腹板均采用SHELL 181 面單元模擬，環肋和縱筋面板采用BEAM 188 梁單元模擬。根據殼體振動彎曲波的波長理論（即一個波長范圍內有6 個單元），計算有限元模型單元網格的大小。原型的計算頻率為10～100 Hz，單元大小0.138 m。1:4 縮尺模型的計算頻率為40～400 Hz，單元尺寸對應比例相應縮小。

2 殼體聲振相似理論推導

2.1 殼體的模態相似性

根據薄殼理論，殼體的無阻尼自由振動有限元方程[10]如下 ：

式中：K為總剛度矩陣；M為總質量矩陣；U為位移列矩陣； ω為固有頻率。

假設縮尺模型與原型中相同類型的物理量比值由 λ 來表示，φ′表示縮尺模型的物理量（以下上標“′”均表示縮尺模型的物理量），φ表示對應的原型物理量，則可以得到

將縮尺模型與原型的半徑r、長度l以及厚度h按 照相同的比例縮小，可以得到 λr=λl=λh，則殼體縮尺模型與原型的質量矩陣M和剛度矩陣K之間的關系表示為

式中： λl為 縮尺模型與原型的長度之比； λρ為縮尺模型與原型的密度之比； λE為縮尺模型與原型的楊氏模量之比。

縮尺模型的特征方程為

將（3）式代入（4）并與式（1）對比，可得式（5）所示的相似比。

式中， λω為縮尺模型與原型的固有頻率之比。

因縮尺模型與原型滿足幾何相似、邊界條件相同，且縮尺模型與原型的特征方程類似，故兩者的模態振型相同，固有頻率與幾何尺寸成反比。

當殼體浸沒于水中時，假設水的質量均勻分布在殼體表面，附連水質量與殼體質量疊加得到新的質量矩陣，殼體在水中產生的輻射阻尼與殼體結構阻尼疊加得到新的阻尼矩陣，則求解振動方程可得到殼體在水中的濕模態頻率與模態振型。流體的負載力[10]可表示為

式中：p為流體壓力列矩陣； ρa為流體密度；Rˉ為聲輻射阻尼矩陣；Mˉ 為 流體的等效質量矩陣；S為單元耦合矩陣；U˙為振動速度（U為振動位移）。

殼體在水中自由振動的有限元方程為

當縮尺模型與原型材料相同且殼體接觸的流體也相同時，可得到殼體在水中的濕模態頻率的相似比如下：

式中， λωf為縮尺模型與原型在水下的固有頻率之比。

由式（8）可見，殼體在水中與空氣中的固有頻率相似規律一致，即固有頻率與幾何尺寸成反比。

2.2 殼體的振動響應相似性

殼體在受激振動作用下的有限元方程為

式中：C為總阻尼矩陣；F為激勵力；U¨為振動加速度。根據上述分析，縮尺模型在受激振動下的有限元方程可表示為

在縮尺模型與原型施加相同的點激勵力，則縮尺模型與原型單元節點力滿足以下相似比：

當縮尺模型與原型完全相似時，縮尺模型與原型的總質量矩陣及總剛度矩陣的相似比依次表示為

將式（12）代入原型與縮尺模型的受激振動有限元方程式（9）和式（10）中，可得到振動位移響應的相似比為

當殼體浸沒于水中，殼體振動時受到流體的反作用，此時在殼體表面產生流體負載力，影響了殼體的振動特性。在流體中，殼體受激振動的有限元方程[10]為

與空氣中縮尺模型所采用的分析方法類似，也可得到殼體在水中的振動響應相似比為

2.3 輻射聲場的相似性

原型的流固耦合有限元方程[10]可以表示為

式中：Mf為流體的質量矩陣；p為流體的壓力；ηf為流體損耗因子； ωf為水下的固有頻率。

結合式（2），經計算可以推導出縮尺模型與原型的耦合矩陣相似比為

式中， λρa為縮尺模型與原型的流體密度之比。

采用相似分析方法將式（17）代入式（16），比較縮尺模型與原型的表達式，可以得到如式（18）所示的聲壓相似比。

式中：pa為水下聲壓； λr0為空間中測點距離r0相似比。

將式（15）代入式（18），可得到聲壓相似比為

根據輻射效率的定義：

式中：ca為在水中的聲速；S為結構表面積；V為結構表面平均振速；Pw為輻射聲功率，且可寫為

則縮尺模型與原型的輻射效率相似比為

由上式可知，在縮尺模型與原型幾何相似且邊界條件也相同時，兩者輻射效率相同。

根據遠場聲壓[2]表達式：

式中：pmn(r0)為聲壓，其中m為模態階數，n為頻散方 程 中 軸 向 波 數 解 的 序 號；h(kr)和h(kr0)為第1 類漢克爾函數，其中k為系數；Ym(θ,ψ)為勒讓德函數（ θ,ψ為方位角）。

由上述可知，當結構完全相似時，縮尺模型與原型的遠場聲壓表達式相同，若kr=k′r′、kr0=k′r，在遠場下的聲壓相似條件和方位角無關，則縮尺模型與原型的聲壓指向性相同。

3 加筋圓錐殼模型試驗驗證

通過對已有加筋圓錐殼模型進行振動響應試驗測試，分別得到模型在空氣與水下的結構振動響應。試驗時，模型兩端開口不封閉，通過柔性繩索吊放浸沒于水池中，模型內外側均與流體接觸。圖2（a）所示為模型及加速度傳感器測點的布置圖，從1-1～7-1 每組4 個測點，均布在模型四周，其中錐殼頂端設置2 個測點，布置在水平方向和垂向方向；圖2(b) 所示為在ANSYS 中分別采用梁單元與面單元模擬加筋構建的圓錐殼有限元模型。首先，采用模態疊加法計算空氣中的結構振動響應，然后將有限元模型及其模態數據導入Virtual.Lab Acoustics 聲 學 計 算 程 序 中，再 采用FEM-BEM 方法計算模型水下結構振動響應。仿真計算時，流體密度取 ρa=1 000 kg/m3，水中的聲速ca=1 500 m/s。加筋圓錐殼模型固有頻率與振動響應的計算、測試均為無邊界約束的自由狀態。

圖2 加筋圓錐殼試驗測點分布及有限元模型Fig. 2 Distribution of test points and finite element model of stiffened cone shell

對加筋圓錐殼模型結構在空氣中的振動響應進行仿真計算。圖3 所示為仿真與試驗結果的對比。由圖可見：試驗測試與仿真計算的加速度級響應趨勢一致，響應大小也比較接近，但峰值對應頻率略有不同，試驗測試結果第1 階峰值頻率為106 Hz，采用面單元模擬加筋方式構建的模型第1 階峰值頻率為102 Hz，采用梁單元模擬加筋方式構建的模型第1 階峰值頻率為99 Hz。

圖3 空氣中振動加速度級的試驗與仿真結果對比Fig. 3 Comparison of acceleration level between experimental and simulation results in air

雖然試驗測試與仿真計算得到的振動響應結果整體趨勢一致，但采用面單元模擬加筋方式所構建模型的振動響應與試驗結果吻合更好。其主要原因在于，該方式構建的模型在環肋和縱筋連接處可以模擬實際環肋腹板與縱筋腹板的連接，而采用梁單元模擬加筋方式構建的模型無法模擬實際環肋腹板與縱筋腹板的連接。

通過Virtual.Lab Acoustics 程序計算模型結構在流體耦合作用下的振動響應時，同樣對采用兩種模擬加筋方式構建的模型進行計算，然后與試驗測試結果進行對比，以驗證兩種模型在計算水下加筋結構振動響應方面的合理性。

圖4 所示為兩種方式構建的模型水下振動響應加速度級的仿真與試驗結果對比。由圖4 可見，兩者水下計算結果與試驗結果基本一致，但部分頻率處的振動響應差異明顯。其中，采用梁單元模擬加筋方式構建的模型其水下振動響應幅值偏差更大，而采用面單元模擬加筋方式構建的模型其水下振動響應與試驗結果吻合更好。其主要原因在于，運用BEM 計算結構水下振動響應時，由梁單元模擬加筋方式構建的模型無法實現環肋及縱筋與流體的耦合作用，表明在考慮流體耦合作用時與流體接觸的加筋結構采用面單元模擬更合理。

圖4 水下振動加速度級試驗與仿真結果對比Fig. 4 Comparison of acceleration level between experimental and simulation results in water

通過對比空氣中和水下加筋錐殼模型的試驗與仿真振動響應結果，可以發現采用面單元模擬加筋方式構建的模型其振動響應計算結果與試驗結果更吻合，其主要原因在于，此方式構建的模型在環肋及縱筋連接處可以更好地模擬環肋腹板和縱筋腹板的連接。當加筋結構與流體接觸時，采用上述方式模擬加筋能較好地實現加筋結構與流體的耦合作用。通過對比，還發現采用FEM-BEM混合方法計算圓錐殼水下振動響應的結果與試驗結果基本一致，表明采用FEM-BEM 方法計算水下殼體結構振動響應是可行的。

4 復雜加筋錐-柱組合殼結構相似規律計算分析

考慮到采用面單元模擬加筋方式構建的圓錐殼模型仿真計算與試驗結果更吻合，故還采用此方式構建復雜加筋錐-柱組合殼模型進行仿真計算。根據聲振相似有限元理論，采用FEM-BEM方法并基于ANSYS 和Virtual.Lab Acoustics 計算程序，研究上述組合殼結構的聲振相似規律。

首先，在ANSYS 中計算該組合殼結構在空氣中的干模態，經模態疊加法計算其振動響應。然后，將ANSYS 中構建的有限元模型與模態數據導入Virtual.Lab Acoustics 程序中，經BEM 方法計算組合殼在水下的濕模態、振動響應和聲輻射。其中，組合殼模型的邊界條件設置為無約束的自由狀態。考慮到實際情況，模型錐段的內外兩側及圓柱段的外側與流體接觸，而圓柱段內側結構不與流體接觸。在計算水下聲振響應時，將圓柱段邊界元模型網格內側聲壓設置為零的邊界條件，以模擬柱段內側不與流體接觸。

4.1 加筋錐-柱組合殼固有頻率相似性

計算復雜的加筋錐-柱組合殼模型原型及其1:4 縮尺模型在空氣與水中的模態，提取前20 階模態頻率中除剛體模態外的固有頻率。計算結果如表1 和表2 所示。

由表1 可見，該組合殼原型與其1:4 縮尺模型在空氣中的模態頻率相似倍率關系均在4 附近，體現出了較好的相似規律，符合模態頻率與幾何尺寸成反比的規律。

表1 加筋錐-柱組合殼模型干模態頻率Table 1 Dry modal frequency of stiffened cone-cylinder combined shells

當此組合殼模型浸沒于水中時，在流體耦合作用下殼體固有頻率發生了變化并向低頻偏移。通過將干模態計算結果導入Virtual.Lab Acoustics程序中，采用BEM 耦合流體作用以計算組合殼的濕模態。由表2可見，組合殼模型與其1:4 縮尺模型模態頻率的相似倍率關系都在4 附近。通過固有頻率的對比分析，發現該組合殼模型在空氣中與水下的模態頻率均表現出了模態頻率相似比與幾何尺寸成反比的規律。

表2 加筋錐-柱組合殼模型濕模態頻率Table 2 Wet modal frequency of stiffened cone-cylinder combined shells

4.2 加筋錐-柱組合殼振動響應相似性

在空氣中和水下的復雜加筋錐-柱組合殼模型具有相同的激勵點與振動響應測點提取位置。其中，原型在坐標（0,0,1）處施加x方向的單位激勵力，原型振動響應測點提取位置位于錐殼與柱殼交接處，坐標為（8,0,3.5）。縮尺模型的激勵點和振動響應測點與原型所提取的位置對應。在ANSYS 中采用模態疊加法計算復雜加筋錐-柱組合殼模型在空氣中的振動響應。原型計算頻率范圍為10～100 Hz，頻率間隔1 Hz，1:4 縮尺模型計算頻率范圍為40～400 Hz，頻率間隔為4 Hz。圖5 所示為復雜加筋錐-柱組合殼模型原型與縮尺模型在空氣中振動加速度級響應曲線對比，圖6 所示為考慮了流體耦合作用時的兩者振動加速度級響應對比。

圖5 空氣中的加筋錐-柱組合殼振動加速度級響應對比Fig. 5 Comparison of vibration acceleration level response of stiffened cone-cylinder combined shells in air

由圖5 可見，在激勵力及激勵點位置相同、結構尺寸完全相似的情況下，縮尺模型與原型的振動響應曲線趨勢一致，對應頻率處的振動加速度級相似，模型振動響應與幾何縮尺比成反比，滿足式（13）表示的空氣中模型振動響應相似比。

圖6 水下加筋錐-柱組合殼的振動加速度級響應對比Fig. 6 Comparison of vibration acceleration level response of stiffened cone-cylinder combined shells in water

由圖6 可見，當殼體浸沒于水下時，流體耦合作用對結構水下振動響應產生了明顯影響。相比空氣中的模型，水下模型的振動響應曲線總體趨勢一致但峰值更密集，其主要原因在于，流體的附連水質量效應導致結構固有頻率降低。盡管受到流體耦合作用，縮尺模型與原型的振動加速度級響應曲線仍趨于一致，表明模型在水下受激振動時也能夠表現出較好的振動相似性，且模型與原型的振動響應與幾何縮尺近似成反比，符合式（15）表示的水下模型振動響應相似規律。

4.3 加筋錐-柱組合殼輻射聲場相似性

計算復雜的錐-柱組合殼模型水下聲輻射。將流體耦合作用下的模型振動位移響應施加到邊界元模型，計算殼體在無限域流場中的輻射噪聲，縮尺模型與原型施加激勵力的位置、方向和大小均相同，取原型與縮尺模型對應位置的場點輻射聲壓進行分析。其中，原型場點坐標為（6，0，15），縮尺模型對應場點坐標為（1.5，0，3.75）。圖7 所示為加筋錐-柱組合殼模型對應場點的水下輻射聲壓級曲線，由圖可見，原型與縮尺模型對應場點的輻射聲壓級曲線基本一致，因輻射聲場所受影響因素較多，部分頻率點處聲壓存在一定偏差，但整體表現出輻射聲壓的相似性。

取縮尺模型與原型聲場中對應的場點，提取其頻率及輻射聲壓，表3 所示為頻率比為4 倍的頻率及其對應的輻射聲壓相似比。結合式（19）可知，縮尺模型的長度比為4，測點距離比為4 時，聲輻射相似比為16，而表3 中所示各對應點的輻射聲壓倍率都在16 附近。

由表3 和圖7 可見，在縮尺模型和原型對應的分析頻率中，聲壓頻率響應曲線趨勢總體一致，表明聲輻射具有相似性，且滿足式（19）聲壓與縮尺比和場點距離比的乘積成反比的相似規律。

圖7 水下加筋錐-柱組合殼的場點輻射聲壓對比Fig. 7 Comparison of field radiated sound pressure of stiffened cone-cylinder combined shells in water

表3 輻射聲壓相似關系Table 3 Similarity relation of radiated sound pressure

圖8 所示為水下加筋錐-柱組合殼及其縮尺模型對應位置的聲壓指向性圖。圖8（a）為原型60 Hz 處聲壓指向性，圖8（b）為縮尺模型240 Hz處聲壓指向性。其中，原型指向性半徑為60 m，縮尺模型指向性半徑為15 m，指向性圖均位于xoy面上。對比圖8 中水下組合殼模型及其縮尺模型可知，在滿足幾何相似、材料和流體屬性相同、載荷及激勵位置相同的條件下，縮尺模型在水中的聲壓指向性與原型的基本相同。

圖 8 水下加筋錐-柱組合殼的輻射聲壓指向性對比Fig. 8 Comparison of acoustic directivity of stiffened cone-cylinder combined shells in water

5 結 論

本文使用面單元模擬加筋方法構建了復雜加筋錐-柱組合殼模型及其縮尺模型，采用FEMBEM 混合方法建立了該組合殼模型在空氣和水下振動有限元方程及流體中的模型聲學有限元方程，推導出了此復雜組合殼振動、聲-固耦合振動及水下聲場之間的相似比。通過模型試驗，驗證了采用FEM-BEM 混合方法進行聲振求解的準確性，研究了復雜加筋錐-柱組合殼結構聲振相似規律，主要得到如下結論：

1） 對水下殼體結構進行聲振仿真計算時，若加筋結構與流場存在耦合，采用面單元模擬加筋方法比梁單元模擬加筋更合理。

2） 對于復雜加筋錐-柱組合殼結構，在材料屬性、邊界條件和激勵力相同時，其模態頻率與幾何縮尺比成反比，對應頻率的模態振型相同；在激勵力相同時，復雜組合殼結構的振動響應與幾何縮尺比成反比，而聲壓與幾何縮尺比和場點距離比的乘積成反比。

3） 縮尺模型與原型的輻射效率及聲壓指向性相同。

本文研究結果可為水下復雜加筋殼結構的聲振縮尺模型試驗提供支撐和依據。