基于觀測器的時滯離散時間馬爾可夫跳變系統(tǒng)有限時間H∞控制

魏雪雪，劉凝哲，劉西奎,，李艷

(1. 山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 山東 青島 266590；2.中國礦業(yè)大學(北京) 機電與信息工程學院， 北京 100083;3.山東科技大學 電氣信息系，山東 濟南 250031)

馬爾可夫跳變系統(tǒng)(MJSs)是一類由多個子系統(tǒng)組成的混合系統(tǒng)，每一個模態(tài)對應一個確定的子系統(tǒng)，模態(tài)間的切換由馬爾可夫隨機過程決定[1-6]。MJSs可以用來建模具有結構突變的動力學系統(tǒng)，在實際中有著廣泛的應用，如Dong等[7]研究了具有傳感器飽和的離散時間馬爾可夫跳變系統(tǒng)的故障檢測問題;Shi等[8]利用李雅普諾夫函數(shù)理論和凸多面體技術，研究了不確定離散時間奇異MJSs的故障檢測濾波器設計問題;Liu等[9]提出了一種新的基于動態(tài)輸出反饋的異步控制器，研究了網絡化MJSs的異步H∞控制問題。此外，MJSs在網絡[10-12]、采樣[13-15]、滑模[16-18]、容錯[19-21]等控制系統(tǒng)中也有著重要的應用。對于MJSs，其穩(wěn)定性研究是一項最基本的問題。然而，由于時滯廣泛存在于各種系統(tǒng)之中，導致系統(tǒng)性能變差，甚至不穩(wěn)定。因此，具有時滯的MJSs引起了學者的廣泛關注，取得了眾多的研究成果，如Du等[22]研究了具有時滯的MJSs的異步控制方法；Zhuang等[23]研究了帶有時變時滯的中立型MJSs的非脆弱時滯反饋控制問題；Fang等[24]通過設計一種新型的切換滑面函數(shù)，研究了帶有時滯的非線性MJSs的滑模控制問題；更多關于時滯MJSs的研究成果可見文獻[25-29]。

眾所周知，李雅普諾夫穩(wěn)定性理論研究無限時間間隔上系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。然而，在許多實際應用中，需要更加關注系統(tǒng)在有限時間間隔內的暫態(tài)性能，例如，過大的瞬時電壓會對電力系統(tǒng)造成損壞[30]；海浪會對欠驅動船舶的航向角造成影響，使得船舶偏離預設路徑[31]；擾動會影響有限時間內航天器的姿態(tài)[32]。基于上述類似問題，Dorato[33]在1961年首次提出有限時間穩(wěn)定(finite-time stability，F(xiàn)TS)這一概念。不同于李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，F(xiàn)TS描述的是有限時間區(qū)間上系統(tǒng)的暫態(tài)性能，即在固定的時間間隔內，系統(tǒng)的狀態(tài)不會超過某個確定的閾值，已經取得許多關于FTS的研究成果[34-38]。在實現(xiàn)系統(tǒng)FTS后，需要抑制干擾對系統(tǒng)的影響，而H∞控制可以解決此問題。因此，學者在FTS的基礎上又引入了H∞控制，以確保閉環(huán)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定且干擾滿足一定的抑制水平，從而得到了有限時間H∞有界的概念。如Chen等[39]研究了具有區(qū)間時變時滯的離散時變系統(tǒng)的有限時間H∞控制問題，Ju等[40]研究了事件觸發(fā)下線性中立半馬爾可夫跳變系統(tǒng)的有限時間H∞控制問題，Liu等[41]研究了狀態(tài)相關不確定系統(tǒng)的有限時間H∞濾波問題。雖然已經取得許多有限時間H∞控制的研究結果，但是對于離散時間馬爾可夫跳變系統(tǒng)(DMJSs)的有限時間H∞控制問題有待研究，這是本文研究的主要內容。

此外，上述的研究成果都是在假設系統(tǒng)狀態(tài)可測量的情況下進行的，然而在實際中，由于技術、成本等因素的影響，系統(tǒng)的狀態(tài)不一定可以完全得到。而基于觀測器的控制器則可以克服此困難，所以最近幾年，基于觀測器的控制方法受到了學者的廣泛關注。如Tan等[42]研究了量化和隨機網絡攻擊下基于觀測器的互聯(lián)模糊系統(tǒng)的有限時間H∞控制問題，Gao等[43]研究了基于觀測器的不確定離散時間非齊次馬爾可夫跳變系統(tǒng)的有限時間H∞控制問題，Zhang等[44]研究了基于觀測器的離散時間齊次馬爾可夫跳變系統(tǒng)的有限時間H∞控制問題。然而，鮮有文獻對基于觀測器的DMJSs的有限時間H∞控制問題進行研究。本文將考慮基于觀測器的時滯DMJSs的有限時間H∞控制問題，即設計基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)誤差系統(tǒng)有限時間有界且滿足規(guī)定的干擾衰減水平。

1 定義和系統(tǒng)描述

記號：Rn，Rn×m，N分別表示n維實向量，n×m維實矩陣和非負整數(shù)集；A>0(A<0)表示A是正定(負定)矩陣；E{·}表示某種概率測度P的數(shù)學期望；*表示矩陣中的對稱項；diag{…}表示塊對角矩陣；σmin(A)和σmax(A)分別表示矩陣A的最小和最大特征值；MT和M-1分別表示矩陣M的轉置和逆矩陣。如果矩陣的維數(shù)沒有說明，則認為矩陣與代數(shù)運算是相容的。

考慮如下時滯DMJSs：

x(k+1)=A1(rk)x(k)+Ad1(rk)x(k-d)+

B1(rk)u(k)+C1(rk)v(k)+[A2(rk)x(k)+

Ad2(rk)x(k-d)+B2(rk)u(k)+

C2(rk)v(k)]w(k)，

(1)

y(k)=D(rk)x(k)+G(rk)u(k)，

(2)

z(k)=D1(rk)x(k)+Dd(rk)x(k-d)+

G1(rk)u(k)+G2(rk)v(k)，

(3)

x(n)=φ(n)，n∈{-d,…,0}，

(4)

外部干擾v(k)滿足

(5)

定義如下基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

G2(l)v(k)，

(11)

式中

定義1如果系統(tǒng)(10) (u(k)=0，v(k)=0)滿足

(12)

(13)

引理1(舒爾補引理)[45]對于實矩陣N，MT=M，RT=R>0，有

本文的主要目的是設計一個形如式(6)—(9)的基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器，保證閉環(huán)誤差DMJSs (10)和(11)有限時間H∞有界。

2 有限時間H∞控制分析

本節(jié)討論系統(tǒng)(1)—(4)的基于觀測器的有限時間H∞控制問題，以線性矩陣不等式的形式給出閉環(huán)誤差系統(tǒng)(10)和(11)有限時間有界，且控制輸出z(k)和外部干擾v(k)滿足條件(13)的充分條件。

(14)

(15)

證明定義如下Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

經計算，可得

V(k+1,rk+1=m)-V(k,rk=l)=

(16)

其中

根據(jù)引理1，可以證明條件(14)等價于

<0。

(17)

(18)

對條件(18)應用引理1，可以得到

(19)

<0。

(20)

根據(jù)條件(16)和(20)，得

E{V(k+1,rk+1=m)-V(k,rk=l)}<

從而

E{V(k+1,rk+1=m)}<δE{V(k,rk=l)}+

(21)

E{V(k)}<δkE{V(0,r0=h)}+

(22)

i∈{-d,…,0} ，則

(23)

(24)

根據(jù)條件(22)—(24)，得

由條件(15)可得

考慮上述Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，則有

E{V(k+1,rk+1=m)}<δE{V(k,rk=l)}-

(25)

E{V(k,rk=l)}<δkE{V(0,r0=h)}-

(26)

因為V(k,rk=l)≥0，k∈N，在零初始條件下，根據(jù)條件(26)可以得到

(27)

又δ≥1，根據(jù)條件(27)

(28)

注1當w(k)=0時，定理1即為文獻[44]的定理3；當w(k)=d=0時，定理1即為文獻[43]的定理2。

3 有限時間H∞控制器設計

定理2考慮時滯DMJSs(10)和(11)，如果存在標量δ≥1，η>0，τ>0，ξ1>0，ξ2>0，γ>0， 矩陣J>0，正定矩陣X(l)，矩陣Y(l)、F(l)和非奇異矩陣Z(l)，對任意l∈S，使得下式成立

D(l)X(l)=Z(l)D(l)，

(29)

(30)

ηR-1(l)

(31)

ξ1R-1(l)

(32)

(33)

(34)

因此，條件(29)和(30)能保證(14)成立。

(35)

注2當w(k)=0時，定理2退化為文獻[44]的定理4；當w(k)=d=0時，定理2即為文獻[43]的定理3。

注3條件(29)無法用線性矩陣不等式的方法求解，為了解決這個問題，將(29)轉化為條件

(36)

式中λ是給定的足夠小的常數(shù)。 根據(jù)引理1，條件(36)等價于下列線性矩陣不等式

(37)

注4條件(30)和(33)不是嚴格的線性矩陣不等式，但是，如果固定參數(shù)δ，上述條件就可以轉化為基于線性矩陣不等式的可行性問題。因此，定理2中的可行性問題可以轉化為下述具有固定參數(shù)δ的可行性問題：

min(τ2+γ2)

s.t. LMIs (30)—(33)和(37)。

注5基于上述討論可知，當δ=1時，如果可以求得可行解，則可以證明本文所設計的有限時間H∞控制器可以保證時滯DMJSs有限時間有界和有限時間穩(wěn)定。

4 數(shù)值算例

本節(jié)將通過改進的害蟲種群結構動態(tài)模型[46]證明本文所提方法的有效性。由于天敵數(shù)量、環(huán)境溫度的突然變化，害蟲種群的出生率、死亡率會發(fā)生改變，假設這些突然變化滿足馬爾可夫跳變規(guī)律；另一方面，害蟲種群當前的數(shù)量受到過去數(shù)量的影響，將過去數(shù)量的影響描述為時滯。因此，改進的害蟲種群結構動態(tài)模型可描述為形如(1)—(4)的系統(tǒng)，其中x1(k)，x2(k)，x3(k)分別表示在k時刻幼年害蟲、未成熟害蟲和成熟害蟲的數(shù)量；u(k)表示人為對害蟲種群數(shù)量的干預，如引進捕食者、噴灑殺蟲劑等；v(k)表示從其他區(qū)域遷移至此區(qū)域的害蟲的數(shù)量；z(k)表示該區(qū)域害蟲的總數(shù)量；w(k)表示該區(qū)域的氣溫、降雨量等因素。

考慮具有兩個模態(tài)的害蟲種群結構動態(tài)模型，系數(shù)矩陣為

模態(tài)1：

G(1)=1，G1(1)=0.06，G2(1)=0；

模態(tài)2：

G(2)=1，G1(2)=0.05，G2(2)=0。

圖1 τ和γ的局部最優(yōu)界

圖2 初始模態(tài)為1的系統(tǒng)(10)的切換信號

由定理2得τ=150.414 6，γ=105.952 6，反饋控制增益及觀測器增益分別為：

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)的響應

圖4 估計狀態(tài)的響應

圖的演化

5 結束語

本文通過構造李雅普諾夫函數(shù)并結合線性矩陣不等式，設計了基于觀測器的時滯離散時間馬爾可夫跳變系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器，給出了閉環(huán)誤差系統(tǒng)有限時間有界并滿足H∞性能指標的充分條件。此外，利用本文提出的設計方法可以研究離散時間模糊系統(tǒng)的有限時間H∞控制問題。