環Fq+vFq+v2Fq上的斜準循環碼

李建豪，吳化璋

(安徽大學 數學科學學院，安徽 合肥 230601)

循環碼是編碼理論中的重要組成部分，由于其豐富的代數結構，在糾錯碼中起著至關重要的作用。關于循環碼和準循環碼已經有大量文獻資料，但很多研究都是關于交換環的。在最近的研究中，主要集中在非交換環上的循環碼、準循環碼和常循環碼。斜多項式環作為非交換環的一個重要類別，也得到了很多學者的關注。

非交換環上循環碼的研究最早是由Boucher等[1]討論的，他們研究了斜多項式環Fq[x,θ]上的循環碼，其中Fq是一個有限域且θ是Fq上的一個自同構。準循環碼也是一類重要的線性碼，包括循環碼。因此很多學者開始研究斜準循環碼。Abualrub等[2]研究了有限域上的斜準循環碼，給出了其生成多項式；Bhaintwal[3]對伽羅瓦環上斜準循環碼進行了研究，給出了其自由的一個充分條件； Boucher等[4]給出了有限域上θ-循環碼對偶的一些結果；Siap等[5]闡明了有限域上任意長度、任意條件下的斜循環碼的結構，因此Fq上斜循環碼得到進一步推廣；Abualrub等[6]研究了環F2+vF2上的斜循環碼，并給出了在該環上的斜循環碼的生成多項式，開啟了非鏈環上斜循環碼的研究；Mohammad[7]和Gao[8]進一步推廣文獻[6]的結果，分別研究了環F3+vF3和環Fp+vFp上的斜循環碼；Mehmet等[9]研究了環Fq+vFq上的斜準循環碼，給出了1-生成元斜準循環碼的生成元集。借鑒上述研究，本文考慮非鏈環Fq+vFq+v2Fq上的斜準循環碼，其中v3=v。顯然v2=1時，Fq+vFq上斜準循環碼可看作是文獻[7-8]中斜循環碼的推廣。同時又探討了此非鏈環上斜準循環碼與有限域Fq上斜準循環碼之間的聯系。

1 預備知識

定義環R上的一個自同構

σs:Fq+vFq+v2Fq→Fq+vFq+v2Fq,

x+vy+v2zxps+vyps+v2zps。

根據這個自同構，先給出斜多項式環的定義。

易知R[x,σs]是一個非交換環。

對于任意的f(x),g(x)∈R[x,σs]，如果存在一個多項式p(x)∈R[x,σs]，使得f(x)=p(x)g(x)，則g(x)稱為f(x)的右因式。左因式也可以類似定義。

定義2設f(x),g(x)∈R[x,σs],若存在d(x)∈R[x,σs]是f(x)和g(x)的一個右公因式，且f(x)和g(x)的其他右公因式都是d(x)的右因式，則稱d(x)為f(x)和g(x)的最大右公因式，記為d(x)=gcrd(f(x),g(x))。

兩個多項式的最大左公因式(gcld)也用類似的方法定義。

a+vb+v2c(a,a+b+c,a-b+c)。

如果C是R上長為n的線性碼，定義:

則C1,C2和C3都是Fq上長為n的線性碼。由文獻[10]知，R上長為n的線性碼C可以唯一分解為

C=(1-v2)C1⊕(v2+v)C2⊕(v2-v)C3。

2 環R上斜準循環碼

給出環R上斜準循環碼的定義。

定義3設σs是環R的自同構,稱C是R上長為N=nl斜準循環碼，若C滿足以下兩個條件:

(1)C是RN的R-子模；

(2) 若

則

其中τl是斜準循環移位算子。

從定義3可以看出，R上指標為l長為N的斜準循環碼在映射τl下是不變的線性碼。如果這里l=1，則它就是環R上的斜循環碼; 如果自同構σs是單位自同構，則它又是環R上通常的準循環碼。

p(x)(q1(x),q2(x),…,ql(x))=

(p(x)q1(x),p(x)q2(x),…,p(x)ql(x))。

定義一個映射

c(c0(x),c1(x),…,cl-1(x))。

證明設C是R上長為N=nl的斜準循環碼，c=(c0,0,…,c0,l-1,c1,0,…,c1,l-1,…,cn-1,0,…,cn-1,l-1)∈C。因此，有φ(c)=(c0(x),c1(x)，…,cl-1(x))∈φ(C)。則

xφ(x)=(xc0(x),xc1(x),…,xcl-1(x))=

φ(C)。

所以有

φ(τl(c))=x(c0(x),c1(x),…,cl-1(x))=

(xc0(x),xc1(x),…,xcl-1(x))∈D。

故τl(c)∈C，C是環R長為N=nl的斜準循環碼。

C={f(x)u(x)=(f(x)u1(x),f(x)u2(x),…,

f(x)ul(x))|f(x)∈Rn}。

斜循環碼作為斜準循環碼的一種特殊情況，也具有豐富的性質。

引理2設C是由u(x)生成的斜循環碼，且在R[x,σs]中有xn-1=h(x)u(x)。若p(x)與h(x)互素，則C=〈p(x)u(x)〉。

證明易知，〈p(x)u(x)〉?C。下面證明C?〈p(x)u(x)〉。因為p(x)與h(x)互素，所以存在a(x),b(x)∈R[x,σs]， 使得a(x)p(x)+b(x)h(x)=1。現在等式兩邊同時乘以u(x)，有a(x)p(x)u(x)+b(x)h(x)u(x)=u(x)，即a(x)p(x)u(x)=u(x) (modxn-1)。可以得到u(x)∈〈p(x)u(x)〉。故C=〈p(x)u(x)〉。

(c0(x),c1(x),…,cl-1(x))ci(x)。

設φi(C)=Ci。顯然，映射φi是一個模同態。所以Ci是Rn的R[x,σs]-子模，即，Ci是R上長為n的斜循環碼。如果Ci=〈ui(x)〉，其中ui(x)是xn-1=hi(x)ui(x)的右因式，且pi(x)與ui(x)互素。由引理2知，C的生成元有如下形式

u(x)=(p1(x)u1(x),p2(x)u2(x),…,pl(x)ul(x))。

設C是R上由u(x)=(p1(x)u1(x),p2(x)u2(x),…,pl(x)ul(x))生成，長為N=nl的1-生成元斜準循環碼。定義一個首一多項式為

u(x)=gcld(u(x),xn-1)=gcld{p1(x)u1(x),

p2(x)u2(x),…,pl(x)ul(x),xn-1}。

定理1設C是R上由u(x)=(p1(x)u1(x),p2(x)u2(x),…,pl(x)ul(x))生成,長為N=nl的1-生成元斜準循環碼，其中ui(x)是xn-1的一個首一的右因式，且

則C是秩為n-deg(u(x))的自由斜準循環碼，且一組基為

S={u(x),xu(x),…,xn-deg(u(x))-1u(x)},

其中u(x)=gcld(u(x),xn-1)。

證明首先證明集合S能生成碼C。因為u(x)=gcld(u(x),xn-1)，故存在一個首一多項式v(x)，使得xn-1=u(x)v(x)。設deg(u(x)) =k，則deg(v(x))=n-k。碼C中元素為c(x)=a(x)u(x)，其中a(x)∈Rn。由右除法知，存在兩個多項式q(x),r(x)∈R[x,σs]，使得

a(x)=q(x)v(x)+r(x),0≤deg(r(x))

又因為u(x)=gcld(u(x),xn-1)，故存在一個多項式s(x)∈Rn，使得u(x)=u(x)s(x)。又xn-1是R[x,σs]的中心，所以有xn-1=u(x)v(x)=v(x)u(x)。則

v(x)u(x)=v(x)u(x)s(x)=u(x)v(x)s(x)=

(xn-1)s(x)≡0 (mod(xn-1))。

進一步可以得到

c(x)=a(x)u(x)=(q(x)v(x)+r(x))u(x)=

因為deg(r(x))

下面證明S是線性無關的。設多項式a(x)=

ui(x)=0，xn-1是a(x)pi(x)ui(x)的因式。又因為xn-1是a(x)(xn-1)的因式，故

xn-1|gcld(a(x)p1(x)u1(x),…,a(x)pl(x)ul(x),

a(x)(xn-1)),即xn-1|a(x)u(x)。因為deg(a(x)u(x))=n-1

設a=(a0,a1,…,an-1)∈Rnl，b=(b0,b1, …,bn-1)∈Rnl，其中ai=(ai,0,ai,1,…,ai,l-1)∈Rl，bi=(bi,0,bi,1,…,bi,l-1)∈Rl，i=0,1,…,n-1。

定義a和b的歐幾里得內積為

則C關于歐幾里得內積的對偶碼定義為

C⊥={b∈Rnl|a·b=0,?a∈C}，

斜準循環碼的對偶碼也是斜準循環碼。

定理2設C是R上長為N=nl的線性碼。則C是關于自同構σs的斜準循環碼當且僅當C⊥是關于自同構σs，長為N=nl的斜準循環碼。

其中下標i+n-1是對n取模。所以τl(b)∈C，即C⊥是長為N=nl斜準循環碼。

例1設R=F4+vF4+v2F4，當n=5時，有

x5-1=(x+3)(x4+x3+x2+x+1)。

若C是環R上由u(x)=(u1(x),u2(x))生成，長為10的1-生成元斜準循環碼，其中u1(x) =u2(x)=x4+x3+x2+x+1。由定理1知，gcld(u(x),x5-1)=x4+x3+x2+x+1且C的一組基為{u(x)}，因此|C|=64，Lee重量為10。可以得到碼C在Gray映射φ下的象是F4上參數為(30,43,10)的線性碼。

3 R上斜準循環碼的直和分解

本文所用的方法與文獻[11]中的方法類似，不同之處在于本文研究的是斜準循環碼。

定理3設C=(1-v2)C1⊕(v2+v)C2⊕(v2-v)C3是環R上長為N=nl的線性碼，則C是R上關于自同構σs的斜準循環碼當且僅當C1,C2,C3分別是Fq上關于自同構σs，長為N的斜準循環碼。

證明先證明必要性。對于任意的r=(r0,0, …,r0,l-1,r1,0…,r1,l-1,…,rn-1,0,…,rn-1,l-1)∈C，記ri,j=(1-v2)ai,j+(v2+v)bi,j+(v2-v)ci,j，其中ai,j,bi,j,ci,j∈Fq,0≤i≤n-1,0≤j≤l-1。設

a=(a0,0,…,a0,l-1,a1,0,…,a1,l-1,…,an-1,0,…,an-1,l-1)，

b=(b0,0,…,b0,l-1,b1,0,…,b1,l-1,…,bn-1,0,…,bn-1,l-1)，

c=(c0,0,…,c0,l-1,c1,0,…,c1,l-1,…,cn-1,0,…,cn-1,l-1)，

有a∈C1,b∈C2,c∈C3。假設C1,C2,C3是Fq上關于自同構σs，長為nl的斜準循環碼，則

τl(a)=

同理,

τl(b)=

τl(c)=

所以τl(r)= (1-v2)τl(a)+(v2+v)τl(b)+(v2-v)τl(c)∈C。故C是R上關于自同構σs，長為nl的斜準循環碼。

下面證明充分性。因為C是環R上關于自同構σs，長為nl的斜準循環碼，所以τl(r)∈C。又因(1-v2)τl(a)+(v2+v)τl(b)+(v2-v)τl(c) =τl(r)，故(1-v2)τl(a)+(v2+v)τl(b)+(v2-v)τl(c)∈C。因此τl(a)∈C1,τl(b)∈C2,τl(c) ∈C3，C1,C2,C3是Fq上關于自同構σs，長為nl的斜準循環碼。

定理4設C=(1-v2)C1⊕(v2+v)C2⊕(v2-v)C3是環R上長為N=nl的斜準循環碼,則

C=〈(1-v2)g1(x),(v2+v)g2(x),(v2-v)g3(x)〉,

其中g1(x)=(g11(x),g12(x),…,g1l(x)),g2(x)=

(g21(x),g22(x),…,g2l(x)),g3(x)=(g31(x),g32(x),…,g3l(x))分別是C1,C2,C3的生成多項式。

證明由定理3可得，C1,C2,C3是Fq上長為N的斜準循環碼，從而有C1=〈g1(x)〉,C2= 〈g2(x)〉,C3=〈g3(x)〉，且C=(1-v2)C1⊕(v2+v)C2⊕(v2-v)C3，于是有C={c(x)|c(x)=(1 -v2)f1(x)+(v2+v)f2(x)+(v2-v)f3(x),f1(x)∈C1,f2(x)∈C2,f3(x)∈C3}。因此

C?〈(1-v2)g1(x),(v2+v)g2(x),

(v2-v)g3(x)〉。

反之，對任意的f(x)=(1-v2)k1(x)g1(x)+ (v2+v)k2(x)g2(x)+(v2-v)k3(x)g3(x)∈〈(1-v2)g1(x),(v2+v)g2(x),(v2-v)g3(x)〉，其中k1(x),k2(x),k3(x)∈R[x,σs]/〈xn-1〉。這里顯然有

ki(x)=(1-v2)ai(x)+(v2+v)bi(x)+

(v2-v)ci(x),

其中ai,bi,ci∈Fq[x,σs],i=1,2,3, 因此

(1-v2)ki(x)=(1-v2)ai(x),

(v2+v)ki(x)=(v2+v)bi(x),

(v2-v)ki(x)=(v2-v)ci(x)。

由于C1,C2,C3是Fq上長為N的斜準循環碼，故ai(x)gi(x)∈Ci,i=1,2,3，從而〈(1-v2)g1(x),

(v2+v)g2(x),(v2-v)g3(x)〉?C。

綜上，C= 〈(1-v2)g1(x),(v2+v)g2(x),(v2-v)g3(x)〉。

定理5設C1,C2,C3是Fq上分別由多項式g1(x)=(g11(x),g12(x),…,g1l(x)),g2(x)=(g21(x),g22(x),…,g2l(x)),g3(x)=(g31(x),g32(x),…,g3l(x))生成的斜準循環碼。若C=(1-v2)C1⊕ (v2+v)C2⊕(v2-v)C3是R上長為N=nl的斜準循環碼,則存在g(x)=(g1(x),g2(x),…,gl(x)),其中gi(x)∈R[x,σs],i=1,2,…,l,使得C=〈g(x)〉,其中g(x)=(1-v2)g1(x)+(v2+v)g2(x)+(v2-v)g3(x)。

證明由定理4，可假設C=〈(1-v2)g1(x), (v2+v)g2(x),(v2-v)g3(x)〉，其中g1(x),g2(x),g3(x)分別是C1,C2,C3的首一多項式。令g(x)=(1-v2)g1(x)+(v2+v)g2(x)+(v2-v)g3(x)。顯然，〈g(x)〉?C。注意到有

因此C?〈g(x)〉。故C=〈g(x)〉。

又因為gij(x)是xn-1的首一右因式，i=1,…,n;j=1,…,l。 則存在

r1(x),r2(x),r3(x) ∈Fq[x,σs]/〈xn-1〉，

使得

xn-1=r1(x)g1(x)=r2(x)g2(x)=

r3(x)g3(x)，

從而

xn-1=[(1-v2)r1(x)+(v2+v)r2(x)+

(v2-v)r3(x)]g(x)，

因此g(x)|xn-1。g(x)的唯一性可由g1(x),g2(x),g3(x)的唯一性得到。

4 結束語

本文給出了R=Fq+vFq+v2Fq上斜準循環碼的生成元集，且在定理3中確定了其與Fq上斜準循環碼的聯系。同時，證明了R上斜準循環碼的對偶還是斜準循環碼。在后續工作中，還可以考慮研究其他非交換環上的斜準循環碼。