加強視圖教學 發展空間觀念

錢德春 周煉

摘要：“視圖”教學可以發展學生基本空間觀念和直觀想象能力.文章中從一道中考“視圖”選擇題的實測數據出發，分析了試題“基于課程標準、源于現行教材、發展空間觀念”的命題指向，剖析了“學生活動經驗不足，空間觀念缺失；教師對課標、教材理解和教學過程缺失”的問題原因，提出了“更新教學理念，以發展能力與提升素養為己任；加強教學研究，以科學態度研究各種教學要素；優化教學方式，以探究活動發展學生空間觀念”的應對策略.

關鍵詞：視圖；教學；試題指向；原因剖析；應對策略

1 問題提出

圖12021年泰州市學業水平考試數學試卷第2題是一道關于“視圖”的選擇題（以下稱為“案例”）：

所示幾何體的左視圖是（）.

“案例”以視圖形式考查學生基本空間觀念和直觀想象能力.該題滿分為3分，正確選項為C.實測數據顯示：平均得分1.71分，難度系數只有0.57，其中40.31%的學生選擇了B選項.從命題者的角度來說，安排在試卷第2題位置的試題一般不具有區分功能，但考生錯誤率如此之高、錯誤情形如此集中，出乎命題者的預料.筆者將此題讓一位沒有學過三視圖的英語老師選擇，他憑直覺選擇了A選項，該選項與正確選項C的圖形僅相差一條水平線.那么考生答案為何與正確答案差距如此之大呢？這引發了筆者思考：試題的命題指向何在？課程標準、教材中“視圖”教學要求如何？學生為何會出現如此多的錯誤？反映了“視圖”教學存在什么問題？如何有效應對？

2 試題指向

“案例”體現了發展空間觀念、基于課程標準、源于現行教材的命題指向.

2.1 考查空間觀念

學生空間觀念的形成需要經歷從具象到抽象、從意識到觀念不斷積累活動經驗的過程.學生在小學就接觸過“從三個方向看”，具有一定的空間基礎.“主視圖、左視圖、俯視圖”為蘇科版教材七年級上冊“5.1走進圖形”一節的內容，是學生進入初中后的幾何入門部分.“案例”提供的幾何體是生活中常見的物體，沒有特殊的結構、復雜的外形，但正確作答必須以一定的空間觀念和視圖的基本知識為前提，即要理解什么是左視圖，知道如何得到左視圖，了解左視圖與幾何體各部分間的位置與數量關系.

2.2 基于課程標準

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》） 指出：在數學課程中，應當注重發展學生的……空間觀念……空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等[1].“視圖”內容安排在“圖形與幾何”中的“圖形的變化—圖形的投影”板塊，要求“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據視圖描述簡單的幾何體”.可以歸納為三個層次：第一層次是會畫圖——畫幾種單一幾何體的三視圖；第二層次是會判斷——判斷簡單物體的三視圖；第三層次是會描述——由視圖描述簡單幾何體.“案例”屬于《課標》的第二層次要求——判斷簡單物體的三視圖.

2.3 源于現行教材

教材是《課標》的具體化，也是教師教學與學生學習的載體.“案例”從素材來源到呈現方式皆源于教材.蘇科版初中數學教材七年級上冊（以下簡稱“蘇科版七上”）第5章走進圖形世界——主視圖、左視圖、俯視圖中的（第137頁）“試一試”：根據圖2-1所示物體的主視圖、左視圖、俯視圖，想象這個物體的形狀，你想象出的物體是圖2-2，圖2-3中的哪一個物體？顯然，該問題屬于《課標》第三層次要求：會描述——由視圖描述簡單幾何體.圖2-2是由圓柱與圓組成的幾何體，圖2-3是由圓柱與圓臺組成的幾何體.

“蘇科版七上”第139頁習題5.4的第1題：把如圖3所示物體的主視圖、左視圖、俯視圖的名稱填在相應的括號內.該問題屬于《課標》第二層次要求：會判斷——判斷簡單物體的三視圖.

“蘇科版七上”第142頁“復習鞏固”第8題：畫出圖4所示物體的主視圖、左視圖、俯視圖.該題屬于《課標》第一層次要求：會畫圖——畫幾種單一幾何體的三視圖.顯然，將圖4上部的長方體換成圖3中的幾何體就成了“案例”中的幾何體.

3 原因剖析

為了解學生失分的原因，筆者讓答錯的學生還原考試時的思維過程、認知狀態和考試心理，了解部分教師對試題的看法、課標的理解、教材的把握和教學現狀，對問題背后的深層次原因進行了理性分析.

3.1 學生活動經驗不足，空間觀念缺失

調查發現：由于“案例”只給出了該幾何體一個視角偏向主視圖的空間樣貌，學生在想象其他視角下幾何體的樣貌時思維產生混亂，因而難以將陌生的幾何體復原.學生選擇答案B有四種情形：一是忘記圓柱的側視圖是矩形，由于沒有掌握三視圖的概念，當圓柱與長方體組合時，感覺選項B最接近原幾何體的答案；二是認為幾何體上半部分曲面特征明顯，應在三視圖中有所體現，故排除了C答案；三是誤將幾何體上半部分的半個圓柱想象成半球，把上方圓柱體的位置想象成底面朝左的擺放形式；四是認為圓柱相對于棱柱用料少，看到的視圖也一定比棱柱少，若棱柱的左視圖是矩形，那么在長方體的高與圓柱底面半徑相等的情況下，圓柱左視圖的面積一定小于矩形.

出現以上問題的根本原因是學生在視圖學習時，沒有經歷操作、觀察的探究過程，缺乏相應活動經驗的積累，因而沒有形成基本的空間觀念，不能從本質上理解投影與視圖、視圖與幾何體、各視圖間的關系，解題時習慣于機械記憶，甚至揣摩命題者的心理.

3.2 教師對課標、教材理解和教學過程缺失

一是視圖教學內容重視不夠.不少教師對課標規定的內容選擇性教學，認為投影與視圖在試卷中占分少，無足輕重，沒有從發展學生空間觀念的高度理解教學內容，導致無論是新授課還是復習課，大多是“無實物”教學，或者只是用小正方體“擺放”模型機械訓練.這樣極易形成套路，學生難以將知識與方法在新情境、新背景下進行有效轉化與遷移.

二是視圖教學脫離教材內容.不少教師的教學游離于課標和教材之外，教學方向、內容偏離了課標、教材，很少從基本知識與數學思維出發設計探究活動讓學生積累活動經驗，而是代之以題目的強化訓練.

三是視圖教學忽視數學本質的揭示.由于教師自身對視圖的認識與理解不到位，導致教學中“講不清、道不明”，更難以引導學生體驗物體的多元化觀察視角與結論的開放性，以及感受平面圖形與立體圖形間對立與統一的關系，導致學生憑感覺認為“左視圖”是從左邊任意角度看到的圖形.

4 應對策略

“視圖”教學需要教師更新教學理念，以發展學生能力與提升學生素養為己任；以科學的態度研究課標、教材與學情；優化教學方式，以探究活動發展學生空間觀念.

4.1 更新教學理念，以發展能力與提升素養為己任

教師要更新數學教學理念，關注課程改革方向，將發展學生能力與提升學生素養為己任，而不是只盯著試題與分數.“空間觀念”是學生數學素養的重要組成部分，視圖教學要以發展學生的空間觀念為目標，重視基礎知識、基本方法和空間觀念形成與發展過程的教學，讓學生在操作、探究、觀察、思考的過程中，形成空間想象能力與幾何直觀能力，避免出現選擇性教學、超前教學、以練代教以及教學圍繞考試轉、猜題押題、以考代講等不良現象.

4.2 加強教學研究，以科學態度研究各種教學要素

教學要素包括教師、學生、教學內容、教學環境和教學媒體等.教師要以科學的態度加強對課程標準、教材和學生等教學要素的研究.

一是研究課程標準.雖然課程標準關于視圖的內容只有52個字，但明確了視圖教學“會畫圖、會判斷、會描述”三個層次要求.教師要領悟、理解其內涵與外延，無論是三個視圖的位置規定，還是“長對正、高平齊、寬相等”的特征描述，其本質是圖形的位置關系和數量關系.

二是研究數學教材.研究教材安排的意圖與內容含義、知識與能力目標，并以更高的站位、更廣的視角審視教學內容.比如，對于教材正文中“從左面看到的圖形稱為左視圖”這句話，要深刻理解“從左面看”的實質，即怎么看、看到什么.教材安排的“閱讀”是對正文內容的有效補充，通過“閱讀”可加深對“從左面看”的理解.同時，也要研究其他版本的相關教學內容，通過比較，更加準確地把握教材的編寫意圖，只有這樣才能實施精準教學.

三是研究學情.一方面，蘇科版教材將“視圖”作為幾何入門內容，安排在七年級上冊第5章“走進圖形世界”.由于“視圖”內容對空間想象能力、概念理解能力具有一定的要求，對于剛進入初中的學生而言，學習時有一定的困難也屬正常.另一方面，教師要思考學生在小學對視圖認知基礎如何，目前的空間觀念、直觀想象能力與數學抽象能力發展水平如何，學習時可能會有何種困難或認知障礙，等等.只有知此知彼，教學才能有的放矢、百戰不殆.

4.3 優化教學方式，以探究活動發展學生空間觀念

“視圖”教學要通過適當的探究活動，引導學生從關注表象逐步發展為空間想象與抽象的必然階段.同時要注重視圖本質的揭示，加強研究方法的指導.

（1）設計適當的探究活動

“投影與視圖”是七年級上學期的教學內容，是初中幾何的起步章節.七年級學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的時期.“投影與視圖”教學旨在初步發展學生對物體幾何特征的觀察、分析與認知的空間想象力和抽象能力，這種能力的發展應該是拾級而上、逐層遞進的.如先根據實物直觀抽象出三視圖，積累并豐富各類幾何體探究經驗；再經歷實物的“看”“摸”“畫”到“想”“猜”“說”的過程，發展學生的抽象思維能力.再如讓學生通過對實物某一角度的觀察，分析點、線、面的關系進而猜想幾何體；通過觀察簡單復合幾何體進而歸納特征，并設計或制作新幾何體等；最后根據視圖想象描述相應的幾何體.這樣的教學活動不僅可以激發學生的學習興趣，讓學生經歷分析與綜合、比較與分類一系列思維過程，將感性經驗與理性思考相結合、表象儲備與想象創造相交融，逐漸脫離對實物的依賴，把握幾何體的特征與相互關系，發展空間觀念和思維能力.

（2）注重視圖本質的揭示

“視圖”的本質是幾何體在投影面上留下的正投影.教學中，要以探究活動為載體揭示“視圖”本質.如圖5，把投影面豎直放置在幾何體的右側，且平行于幾何體的側面，平行光線沿垂直于投影面方向從左側照射幾何體在投影面上的正投影是“日”字型圖形.“日”字型圖形上方水平線就是幾何體上部半圓柱母線在該平面上的正投影.

蘇科版七上在“主視圖、左視圖、俯視圖”（第135頁）中有這樣一段話：“人們從不同的方向觀察某個物體，可以看到不同的圖形.一般地，我們把從正面看到的圖形，稱為主視圖；從左面看到的圖形稱為左視圖；從上面看到的圖形，稱為俯視圖.”這里的“正面”“上面”“左面”如何理解？與生活用語的含義是否一致？有沒有判斷的標準與規范？事實上，教材在這一章的“閱讀”部分專門就三種視圖與幾何體的關系給出了明確的解釋：在三視圖中，由主視圖與俯視圖可以知道物體的長，由主視圖與左視圖可以知道物體的高，由左視圖與俯視圖可以知道物體的寬，三個視圖結合起來就能確定簡單物體的形狀和大小.畫三視圖時，要使主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等（如圖6）.這段文字明確了視圖與幾何體之間的位置與數量關系，是教材正文內容的有力補充、規范和深化.教學中，要引導學生結合幾何體與視圖關系的觀察、操作、描述的具體案例去閱讀、感受、領悟這段文字，從而明晰三種視圖間的數量關系，并用“長對正、高平齊、寬相等”的語言描述三個視圖與幾何體之間以及三個視圖相互之間的大小關系、位置關系，從而給出三視圖規范的畫法及圖例.

（3）加強研究方法的指導

“視圖”是初中幾何入門內容，與后續幾何研究方法一致，離不開對圖形的位置關系與數量關系的研究.教學中要“以小見大”，有意識地指導學生從“位置關系”與“數量關系”兩個維度研究解決圖形問題的策略與方法，為后續幾何學習奠定基礎.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2012.