智慧引領(lǐng) 模型破冰

許麗琴 王彎 廖明芳

摘要：從圓心角到圓周角，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和銜接嚴(yán)密而有序.教學(xué)中可以從研究對象的要素入手，厘清前后知識的邏輯關(guān)系，讓知識的講授自然、嚴(yán)謹(jǐn)，同時將未知問題化歸為已知模型，教會學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方法.

關(guān)鍵詞：連續(xù)變化;邏輯思維;數(shù)學(xué)模型

1 問題呈現(xiàn)

九年級開始學(xué)習(xí)圓周角的概念，通過與已有“圓心角”概念對比得出圓周角概念，而在圓周角定理得出的環(huán)節(jié)，人教版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第86頁用了下面這段文字：

如圖1，為了證明上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（圓周角定理），在⊙O任取一個圓周角∠BAC，沿AO所在直線將圓對折，由于A的位置不同，折痕會：（1）在圓周角的一條邊上;（2）在圓周角的內(nèi)部;（3）在圓周角的外部.

2 問題診斷

根據(jù)教材呈現(xiàn)內(nèi)容，為引出圓周角的概念，很多教師設(shè)計了“將圓形紙片動手折一折”的教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣圓周角的出現(xiàn)比較容易，進(jìn)一步測量圓周角和同弧圓心角也不困難，于是順理成章“猜一猜”：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.到了關(guān)鍵“證一證”環(huán)節(jié)，問題來了：（1）教材中的這條折痕在證明過程中意義非凡，如何出現(xiàn)？（2）圓心角和圓周角的位置關(guān)系為何直接導(dǎo)致證明過程的差異，以及如何分類？

基于以上兩個問題，教師用“折痕說”很難將問題自然過渡，只能采用強制引入的方式，憑空出現(xiàn)這條“折痕”，進(jìn)而證明，使得整節(jié)課的邏輯鏈條斷裂，干擾、打亂學(xué)生思維.

3 問題解決

經(jīng)過反復(fù)實驗，我們工作室的教師最終采用如下途徑來解決本節(jié)課的難點.

3.1 情境導(dǎo)入，引出新知

播放神舟十二號發(fā)射及其與天和核心艙對接過程的短視頻，抽象出圓周角，引出研究目標(biāo)，同時增強學(xué)生的民族自豪感.

3.2 對比舊知，得出新知

從已知圓心角概念引出新的研究對象圓周角，二者的區(qū)別就在于頂點位置的不同，也就是角的基本要素之一（抓住幾何研究對象的基本要素）.而對幾何對象研究的基本問題就是元素之間的位置和數(shù)量關(guān)系[1]，于是引發(fā)學(xué)生探究二者之間關(guān)系的內(nèi)心需求.

3.3 測量猜想，嘗試總結(jié)

通過動手畫角、測量、輔助計算機度量，可快速得出結(jié)論，但在此處對結(jié)論的表述，教師要潛意識進(jìn)行引導(dǎo)，將“圓周角”放在前——圓周角等于同弧所對圓心角的一半.這個不顯山露水的操作是為了給學(xué)生做出良好導(dǎo)向，表明要證明的核心問題是圓周角與圓心角的大小關(guān)系，是把未知的圓周角轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圓心角問題來解決.

3.4 觀察探究，智慧思考

教材中直接給出了折痕與圓周角的位置關(guān)系，思維跳躍性過大.此處借助《幾何畫板》，讓圓周角頂點在規(guī)定弧上連續(xù)移動，仔細(xì)觀察此時同弧所對應(yīng)的圓周角和圓心角的變化，學(xué)生易得出：圓心角是唯一的，而圓周角是無數(shù)的.對于變化的圓周角和確定的圓心角，我們?nèi)绾蝸磉M(jìn)行研究？（變化之中的不變性）

對幾何對象的研究仍然應(yīng)該從它的基本元素入手，通過圓周角頂點的位置變換，引發(fā)學(xué)生思考：圓周角和圓心角的位置關(guān)系到底能出現(xiàn)多少種？對變化情況進(jìn)行分類，并把問題進(jìn)行分割，使角度減小，讓學(xué)生先觀察圓心（圓心角頂點）與圓周角的位置關(guān)系.通過《幾何畫板》的操作能夠避免“折痕說”中的局限性，使得圓周角無間斷、連續(xù)變化，全面不遺漏地考慮問題.而直觀變化的動態(tài)可以幫助學(xué)生找到關(guān)鍵的三個位置（如圖2），為下一步證明做好鋪墊.

3.5 合理分類，模型探路

要證明圓周角定理，很自然地在上面（圖2）三種位置關(guān)系中引進(jìn)同弧所對的圓心角.第一種位置關(guān)系最為特殊（如圖3），其他兩種均涉及到作關(guān)鍵輔助線，也就是“折痕”的出現(xiàn).

等腰三角形的底角=12等腰三角形頂角的外角

弧所對的圓周角=12同弧所對的圓心角

由易到難，第一種位置關(guān)系的證明學(xué)生很快可以得出.證明過程中用到了等腰三角形頂角的外角等于兩底角之和，是前面學(xué)習(xí)過的三角形的基本性質(zhì)定理.教師適時給出引導(dǎo)，對此模型進(jìn)行剝離：圓周角就是等腰三角形的一個底角，圓心角就是等腰三角形的外角，它們之間的數(shù)量關(guān)系剛好完全吻合.而要想出現(xiàn)這個定理中具備的條件，過圓周角頂點的直徑很關(guān)鍵，是構(gòu)造出模型中等腰三角形外角的點睛之筆.

3.6 模型破冰，彰顯智慧

第二種位置關(guān)系，考慮轉(zhuǎn)化為第一種位置關(guān)系來證明，體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.思考方向：其一要考慮第一種位置關(guān)系中的直徑，其二要從圓中剝離出等腰三角形的基本模型.有了方向，學(xué)生思考起來相對容易突破.連接圓周角頂點和圓心并延長交圓周于點D，形成教材中的“折痕”，這樣就把要證明的問題變成了兩個“基本模型”.

已知：A，B，C是圓O上的點，∠BAC是弧BC所對的圓周角，∠BOC是弧BC所對的圓心角.

求證：∠BAC=12∠BOC.

證明：連接圓周角頂點A和圓心O并延長交圓周于點D，如圖4.

∵∠3=12∠1，∠4=12∠2，

∴∠3+∠4=12（∠1+∠2）.

∵∠3+∠4=∠BAC，∠1+∠2=∠BOC，

∴∠BAC=12∠BOC.

根據(jù)證明過程，可以形象地把第二種位置關(guān)系看成是“基本模型+基本模型”，如圖4.

3.7 水到渠成，解決問題

第三種位置關(guān)系的證明難度較大，不容易觀察，教師通過位置關(guān)系（2）的鋪墊，去找尋基本模型.作出輔助線后，基本模型凸顯，通過隱去部分線段，學(xué)生仍然能發(fā)現(xiàn)隱藏其中的兩個基本模型，如圖5.

證明：連接圓周角頂點A和圓心O并延長交圓周于點D，如圖5.

∵∠3=12∠1，∠4=12∠2，

∴∠3-∠4=12（∠1-∠2）.

∵∠3-∠4=∠BAC，∠1-∠2=∠BOC，

∴∠BAC=12∠BOC.

根據(jù)證明過程，可以形象地把第三種位置關(guān)系看成是“基本模型-基本模型”，如圖5.

4 結(jié)語

至此，整節(jié)課的重點很巧妙地彰顯出來，化未知為已知，將問題轉(zhuǎn)化為基本數(shù)學(xué)模型[2]，數(shù)學(xué)的基本思想體現(xiàn)無疑. 在難點上也精心鋪設(shè)，細(xì)化問題，通過多媒體軟件的介入，連續(xù)變化達(dá)到相對嚴(yán)密的閉合系統(tǒng)，通過提煉基本模型引出輔助線、破解難點.可以說，通過這幾個細(xì)節(jié)的用心處理，順利厘清了整堂課的邏輯線，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科轉(zhuǎn)化思想的魅力，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳曉莉.構(gòu)建數(shù)學(xué)智慧課堂 強化學(xué)生思維推理[J].考試周刊，2019（13）：71-72.

[2]林志強.“智慧課堂”下初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[J]. 當(dāng)代家庭教育，2019（30）：10.