指向核心素養的幾何教學的實踐與思考

倪勤華

1 引言

2022年1月深圳市舉行了初三年級中考適應性考試，這是一次在雙減背景下以數學素養為導向的考試，筆者以填空題的15題為例談談對初中幾何教學的感悟.

2 試題呈現

（2022年深圳九年級適應性考試第15題）如圖1，已知△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，AB=AC=1，AD=DE=5，點D在直線BC上，EA的延長線交直線BC于點F，則FB的長是???? .

3 特色解讀

本題以學生熟悉的等腰直角三角形為背景構造圖形，屬于“圖形與幾何”領域的綜合問題，內涵豐富，特點突出.從知識角度看，以三角形為載體，涵蓋了平行線、等腰三角形、相似三角形、勾股定理等知識;從能力角度看，關注了學生的幾何直觀、數學抽象、邏輯推理和數學運算等綜合能力;從數學思想角度看，滲透了模型思想、轉化思想以及數形結合思想.

本題從“形”（圖形的形狀、大小）聯想到“子母型相似”“三線合一”，作出等腰三角形底邊上的高，借助幾何直觀構建基本模型“一線三等角”“A型相似”等，綜合分析條件與結論，運用多種解題策略，推理得出線段間的數量關系，實現“形”與“數”的轉化，從而解決問題.考查學生在理解“一線三等角”“子母型相似”“A型相似”等模型之后，能否借助圖形多角度考慮問題.

本題具有典型性、靈活性與創新性等特點，富有深圳特色，解法開放，考查了學生的幾何直觀、模型思想、運算能力等素養，不但重視對學生數學能力的考查，又聚焦學生數學核心素養的落實.作為教師要做到追本溯源，探究推廣.

4 解法賞析

分析：許多學生初看本題，感到既熟悉又無從下手.其實，可以由條件中的等腰直角三角形得出45°和90°這兩個切入口.

思路一：子母型相似.

解法1：如圖2，作AG⊥BC于點G.

易證△ABF∽△DAF，所以BFAF=AFDF=ABDA=15.設BF=x，則AF=5x，DF=5x.

因為FB+BG+DG=DF，所以x+22+322=5x，解得x=22.故FB=22.

思路二：子母型相似+勾股定理.

解法2：如圖2，作AG⊥BC于點G.

易證△ABF∽△DAF，所以BFAF=ABDA=15.

設BF=x，則AF=5x.由AF2=FG2+AG2，得5x2=x+222+222，解得x1=22，x2=-24舍去.故FB=22.

評析：解法1和2考查學生對“形”的高度敏感性，發現△AFB與△DFA有公共角F，由兩個等腰直角三角形，得出∠ABF=∠DAF=135°，找到子母型相似，再作出AG，自然而然聯想到勾股定理，問題破解.這兩種方法本質上是相同的，即通過構造子母型相似，將幾何圖形的線段關系代數化為方程解決問題.

思路三：一線三等角+A型相似.

解法3：如圖3，作AG⊥BC于點G，EH⊥BC，交BC的延長線于點H.

由題意得AG=22，DG=322.又由“一線三等角”，得△AGD≌△DHE，所以EH=DG=322，DH=AG=22.故GH=22.

易證△AFG∽△EFH，所以FGFH=AGEH=13，故FGGH=12.又因為GH=22，故FG=2.

所以FB=22.

評析：解法3是基于對∠ADE=90°的聯想與思考，由于邊FD上斜著擺放了一個直角，因而構造出“一線三等角”的基本模型.此解法貼合學生想法，容易想到，大多數同學能作出輔助線，但對綜合能力的要求較高，很多學生沒能順利解決問題.

思路四：子母型相似+A型相似.

解法4：如圖4，連接CE.

易證△ABF∽△DAF，所以BFAF=ABDA=15.

因為BC=2，AE=10，所以BFAF=

BCAE=

15，

可得AFEF=FBFC.又因為∠F=∠F，所以△AFB∽△EFC，故ABEC=FBFC.

由∠BAC=90°，AB∥CE，得∠ACE=90°.又因為AC=1，AE=10，所以EC=3.故FBFC=ABEC=13，從而FBBC=12.又因為BC=2，故FB=22.

評析：解法4的發現，源于幾何直觀，學生直覺認為CE平行于AB，若平行，問題自然迎刃而解.根據勾股定理算出BC與AE的長度，并且發現了“子母型相似”與“A型相似”，很快能證明△ABF與△DAF相似.此解法凸顯直觀想象素養，運算簡單，體現學生良好的數學素養.

思路五：“12345”.

解法5：如圖2，作AG⊥BC于點G.

由∠ABC=∠EAD=45°，得∠ABF=∠DAF=135

°.所以△ABF∽△DAF，則∠FAB=∠FDA.在等腰直角三角形ABC中，由AB=AC=1，得AG=BG=22.又由AD=5 ，得DG= 322.故tan∠FDA=13.所以tan∠FAB=∠FDA=13 .

又因為∠FAB+∠F=∠ABC=45°，所以tan F=12 .由AG= 22 ，得FG=2 .所以FB=22 .

評析：解法5另辟蹊徑，從45°聯想到“12345”，利用勾股定理求出AG，BG和DG的長度，由此發現tan∠FDA=13 ，適用“12345”結論.此解法構思巧妙，思路簡潔，體現了學生思維的靈活性[1].

思路六：建立坐標系.

解法6：如圖5，以BC的中點G為原點建立

平面直角坐標系，則B-22，0，C22，0.

因為AD=5，AG=22，所以由勾股定理可得DG=322 .

作EH⊥BC于點H.

易證△AGD≌△DHE，得GH=22，則E22，322.

所以，直線EA的方程為y=12x+122.

當y=0時，x=-2 ，即F（-2 ，0）.

所以FB=22.

評析：解法6源于數形結合思想，運用代數的方法解決幾何問題.雖然此解法與解法3本質相同，但頗具“數學味”，體現學生思維的靈活性，彰顯出教師教學中對課內知識的延伸，為學生后續學習解析幾何奠定基礎.

5 試題拓展

拓展1 如圖6，已知△ABC和△EAD都是等邊三角形，AB=AC=2，AD=DE=27，點D在直線BC上，EA的延長線交直線BC于點F，則FB的長是?? .

拓展2 如圖7，已知△ABC和△EAD都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，AB=AC=23，AD=DE=213，點D在直線BC上，EA的延長線交直線BC于點F，則FB的長是??? .

設計意圖：數學思維是學生在思考問題、解決問題的過程中逐步積累起來的.前面我們探究出了一題多解，現將題目進行拓展，一題多變，突破學生思維障礙，在“做”和“思”的過程中，幫助學生掌握解決一類問題的基本方法，提升學生的綜合分析能力，發展學生思維的深刻性、廣闊性以及靈活性，落實數學核心素養.

6 教學思考

“圖形與幾何” 是數學四大學習領域之一，因此幾何教學在義務教育階段占有重要的地位，在整個數學學習過程中發揮著不可替代的作用.初中幾何教學對學生幾何直觀與邏輯推理素養的培養具有重要的影響，更是數學核心素養的目標之一[2].

6.1 立足教材，關注模型

教材是教學的根本，是學生學習數學、獲得數

學能力、形成數學素養的載體.教師需立足教材，

高于教材，把握核心模型，關注學生對幾何模型的夯實與理解.

本題源自北師大版《數學》（2013版）九年級上冊第120頁復習題第11題：如圖8，點C，D在線段 AB上，△PCD是等邊三角形，且 △ACP∽△PDB，求∠APB的度數.

題目以等腰直角三角形為背景，綜合考查等腰三角形、直角三角形、相似三角形的性質與判定等初中幾何的主要知識點.題目包含眾多基本模型，如“一線三等角”“A型相似”“子母型相似”，涵蓋初中三角形的所有基礎模型，體現了數學素養對學生從整體上把握學習內容的要求.

教師在進行幾何教學時，需深鉆教材，對整個幾何知識體系有清晰的認知，并對教材有宏觀的把握能力，對內容進行整合和重組，歸納出常見幾何模型，引導學生觀察體會這些模型的“生長點”和“延伸點”，使學生對這些基本模型具備較好的認知基礎和解題經驗以及順利解決問題的思維基礎[2].

6.2 挖掘幾何特征，發展核心素養

學生在學習研究幾何時，需細心觀察，借助幾何直觀，展開線與線的位置，圖形間的全等、相似等變換的研究，發現圖形的關系特征，形成必備的空間想象、推理與計算、方程與函數、分類與整合、動靜結合、特殊與一般等后續學習和發展所需的數學學科素養[3].

學生遇到綜合性幾何問題時，往往束手無策，不得其法.很多時候面對復雜圖形不知如何下手，這時學生需要有挖掘圖形幾何特征的意識，結合已知條件，識別出熟悉的基本模型，喚醒與此模型相關的結論、方法，作為解題的突破口.比如，本試題可以從兩個等腰三角形中45°或直角作為切入點，識別出“一線三等角”“12345”“A型相似”“子母型相似”等模型，從而快速找到解決問題的思路.

幾何教學意在引導學生善于從圖形出發挖掘模型的幾何特征，關注學生數學模型經驗方法的積累，發展學生數學建模、幾何直觀等核心數學素養.

6.3 強化邏輯推理，凸顯核心素養

初中數學問題的解決思路是由已知到未知，中間要經歷“由已知得可知，由未知想需知”的過程，其中推理能力貫穿解題的始終.在嘗試解決問題時，順向與逆向推理、猜想與驗證推理、歸納與演繹推理，都凸顯了數學學科的核心素養[4].

對于綜合性的幾何問題，常常要綜合分析：由題設及模型特征正向推理得出若干條件;由未知逆向推理得出解決問題所需的條件.

通過若干次推理后讓兩者相遇，最終使問題得以突破.

在幾何教學中，教師要注重強化學生邏輯推理能力.比如，結合題設條件展開合情推理，從條件入手得出各種結論，從結論入手逆推方法，建立知識間的邏輯聯系，從而順利解決問題.

6.4 反思優化歸納，提升核心素養

綜合性幾何問題涉及的知識點較多，解法多樣.教師在教學時，要引導學生發散思維，實現一題多解;對各種解法進行提煉，優化解題策略;反思方法和規律，體會多解歸一;設置延續性的變式問題進行一題多變，抓住問題的內在邏輯結構，掌握解決問題的通式通法，提升和發展學生的核心素養.

在解決了綜合性的幾何問題后，教師要引導學生進行反思優化歸納，如，這道題考查了哪些模型？這類模型常見的輔助線與結論有哪些？解決這類題的關鍵是什么？每種解法的切入點在哪里？各種解法的優缺點是什么？以后解決這類問題該如何做？使得學生在提煉方法和回顧思維的過程中培養數學能力，提升數學素養.

參考文獻：

[1]柳軍，水冰.注重數學思維 彰顯育人價值[J].中學數學教學參考，2020（32）：41-45.

[2]曹建軍.考查基本圖形 引導幾何教學[J].中學數學教學參考，2020（26）：44-47.

[3]程雪瓊，褚艷娟.挖掘特征善聯想 回歸本源覓方法[J].中學數學教學參考，2021（8）：12-14.

[4]姜曉翔.著眼綜合實踐 凸顯素養立意[J].中學數學教學參考，2020（26）：35-39.