多關聯 勤思考 促提高

沈奕

摘要：學習數學離不開解題，學數學要善于解題.解題教學是數學課堂不可缺少的部分.本文中對一道中考填空題追本溯源，分析問題本質，從三個不同角度給出了八種不同解法，助力提升學生發現問題、解決問題的能力，以及提升數學思維品質和數學素養.

關鍵詞：解題;多角度;探究

1 原題展示

（2021江蘇泰州15題）如圖1，在平面直角坐標系中，點A坐標為（8，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B，若∠APB=30°，則點P的坐標為.

2 試題評價

2.1 簡而不凡，內涵豐富

本題以圓、切線、30°角、點的坐標等常見素材為背景設置問題，圖形簡約而熟悉，題干精煉而別致，結構簡單而富有美感，是一道內涵豐富、設計巧妙、考查學生素養的填空題.

從背景條件來看，涉及知識點豐富，有點的坐標、切線的判定與性質、特殊四邊形的判定與性質、相似、勾股定理等核心知識.

從轉化策略來看，蘊含多個基本圖形的構造，如：添平行線構造“8字形”“A字形”證三角形相似，連接圓心與切點，將點的坐標轉化為垂線段的長度，見直角構造“一線三垂直”. 將幾何問題轉化為代數問題（方程），通過邏輯推理與數學計算進行解答.

2.2 突出能力與基本素養

求點的坐標的實質是求出線段長，求線段長是初中幾何最為常見的一種題型，同時也是高中生必備的解題基本功之一.其解題思路是：（1）將待求線段放到全等圖形中，運用全等三角形的性質求出線段長;（2）將待求線段放在特殊圖形（如平行四邊形、直角三角形）中，并運用這些圖形的特殊性質進行推理或運用線段和差進行綜合分析求解;（3）將待求線段放在相似三角形中，運用題目條件或構造“8字形”“A字形”或其他基本結構，運用相似性質推理;（4）其他的還有勾股定理，銳角三角函數，平移、旋轉、軸對稱等幾何變換等.

本題求線段長的方法靈活多變，既考查學生的基本數學知識、數學思想、數學技能及數學基本經驗，又考查學生對數學本質的理解.同時本題需添加輔助線才能解決，對模型意識、邏輯推理、數學運算、圖形直觀、圖形分析等考查到位.

2.3 方法多樣，考查探究意識

數學教學的核心是如何培養學生的理性思考能力，盲目的堆砌式解題方法，不僅不會促進學生思維能力的發展、技能的形成，相反會使學生厭惡數學.如何激發學生的理性思維？一題多解無疑是一種有效的方法.對于本題，可以從內部知識的關聯性，以“在哪里？那里有什么？要到哪里去”為思考問題的路徑，發散思維，多聯系、多角度深入思考，便可以得到不同的解法，從而有效發展學生的創新精神與探究意識，更重要的是讓學生的理性思維得以拓展，不受慣性思維模式的束縛，培養思維品質和應變能力.

3 題意分析及解答

在解答之前應該意識到，點A的坐標（8，5）及30°角是我們要牢牢把握和突破的思維核心.一般來說見30°角想到含30°角的直角三角形，因此，只需連接圓心與切點就可以辦到.所以連接圓心與兩個切點（設圓與x軸相切的切點為點C），由切線的性質得OC=8，BA=CA=5.但PB是斜線段，無法與坐標有效聯系起來.因此還要分析題目中的其他隱含信息，作出其他輔助線.

思路一：構造特殊四邊形.

分析：點A坐標為（8，5），在圖2中已經用水平線段或豎直的垂線段表示出來.在Rt△PAB中，∠APB=30°，BA=5，則PA=10.如果不作輔助線，解題思路受阻.因此，下一步的解題重點是如何作出輔助線，有效運用已知條件.

此時，我們可以將解題目標轉向題目所求：“求點P的坐標”，要求出點P的坐標，必須出現水平線段或豎直的垂線段.實現解題目標有下列三種方法：

（1）過點P和點A作水平線及垂線，構造矩形，利用矩形性質及勾股定理;

（2）過點A作y軸的垂線，構造矩形，利用矩形性質及勾股定理;

（3）過點C作PA的平行線，證明平行四邊形和直角三角形.

方法一：以P為直角頂點構造長方形.

解：連接CA并延長，過點P作PH⊥CA，交CA的延長線于點H，如圖3所示，則

四邊形PHCO為長方形.

由切線的性質得∠PBA=90°，而∠APB=30°，

所以在Rt△APB中，PA=2AB=10.

又矩形PHCO的邊CO=8，所以PH=8.

Rt△PAH中，由勾股定理得

HA=PA2-PH2=6.

因此PO=HC=HA+AC=6+5=11.

故點P的坐標為（0，11）.

方法二：以A為直角頂點構造長方形.

解：連接CA，BA，過點A作AH⊥PO，垂足為H，如圖4所示.

由三個直角知四邊形HACO為長方形.

由點A坐標為（8，5），所以AH=8.

由切線的性質得∠PBA=90°，而∠APB=30°，

所以在Rt△APB中，

PA=2AB=10.

則在Rt△APH中，PH=PA2-AH2=6.

所以PO=PH+HO=6+5=11.

故點P的坐標為（0，11）.

方法三：構造平行四邊形.

解：連接CA，BA，過點C作PA的平行線CN，交PO于點N，如圖5所示.

由AP ∥CN，PN∥AC，得四邊形PNCA為平行四邊形.

所以PN=AC=5，NC=PA=10.

在Rt△CON中，NO=NC2-OC2=6.

所以PO=PN+NO=5+6=11.

故點P的坐標為（0，11）.

點評：在平面直角坐標系中求點的坐標，一般的解題策略是作坐標軸的平行線，出現水平線段或豎直的垂線段，將代數問題轉化為幾何推理.而特殊四邊形的內涵豐富，性質繁多，可以有效實現這一目標.

思路二：構造“ 一線三垂直”相似.

分析：題目的原圖與課本的“切線長定理”有一定關聯.原圖已經有一條切線，可以過點P作圓的另一條切線，并利用平面直角坐標系的垂直結構構造“一線三垂直”基本圖形，證明直角三角形相似.

方法四：作切線，構造“一線三垂直”相似.

解：連接CA，BA，過點P作⊙O的切線PE，切點為E，連接AE，過點E作OC的平行線交PO于點G，交AC于點F.如圖6所示.

由切線長定理知∠EPA=∠APB=30°，AE=5，AP=10，PE=53.

由∠PGE=∠PEA=∠AFE=90°知△PEG∽△EAF，則AFGE=AEPE=13.

設AF=a，則GE=3a，EF=GF-GE=8-3a.

在Rt△AEF中，由AF2+EF2=AE2，可得a2+（8-3a）2=52，解方程得a=43±32.

當a=43+32時，OP=PG+GO=3EF+CF=-1<0，不合題意;

同理，當a=43-32時，OP=11，符合題意.

故點P的坐標為（0，11）.

分析：由前面分析知∠PBA=90°，結合所求的目標是點的坐標，需出現直角或水平線，再類比“方法四”，可以以點B為直角頂點構造“一線三垂直” 基本圖形，證明直角三角形相似.

方法五：作水平線，構造“一線三垂直”相似.

解：連接CA，BA，過點B作BK垂直x軸于點K，過點P作PD⊥KB延長線于點D.過點A作AH⊥BK于點H. 如圖7所示.由30°的直角三角形得AB∶PB=1∶3.

由一線三垂直，得△PBD∽△BAH，

所以BHPD=ABPB=13.

設BH=a，則PD=3a.

所以AH=CK=OK-OC=PD-OC=3a-8.

在Rt△ABH中，由AH2+BH2=AB2，可得

（3a-8）2+a2=52.

解得a=43±32.

當a=43+32時，OP=11，符合題意;

當a=43-32時，OP=-1<0，舍去.

故點P的坐標為（0，11）.

點評：聯系課本中的基本定理，基本圖形，結合已知條件中的切線，再結合題目所求，需出現水平線與垂線段，三者發力，并加以聯系，將數學問題轉化為幾何基本模型，再運用幾何圖形的性質，進一步轉化為代數問題.可以看出，不同知識的關聯性與相通性是將數學基本知識轉化為數學基本技能是數學解題的關鍵，也是數學核心素養的體現.

思路三：構造A字形相似.

分析：由切線及坐標軸知AC∥PO，延長PA與x軸交于點M，則出現“A字形”，再運用相似與一次函數的性質或相似與勾股定理或相似與三角函數知識來解答.

方法六：A字形+一次函數.

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

因為AC∥PO，所以CMAM=OCPA=810=45.

設CM=4x，則AM=5x.

由勾股定理知AC=3x，又AC=5，

所以3x=5，則x=53.

所以CM=4x=203，

OM=OC+CM=443，故

M443，0.

又A（8，5），所以

直線PA的解析式為y=-34x+11.

令x=0，則y=11.

所以點P的坐標為（0，11）.

方法七：A字形+勾股定理.

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

同解法六知OM=443，PM=PA+AM=553.

在Rt△POM中，PO=PM2-OM2=11.

所以點P的坐標為（0，11）.

方法八：A字形+三角函數.

解：如圖8，連接AB，AC，延長PA交x軸于點M.

同方法六知△ACM三邊之比為3∶4∶5，那么tan∠AMC=34，即POOM=34.又因為OM=443，所以PO=11，所以點P的坐標為（0，11）.

點評：平面直角坐標系蘊含有直角的天然條件，與坐標結合，可以運用函數圖象;與圓的切線結合，出現直角，會產生平行線，我們自然想到延長PA，出現A字形，這也是最為經典與常見的相似基本模型.方法六將相似與一次函數結合，解法超凡脫俗，富有靈氣;方法七將相似與勾股定理結合，解法經典，中規中矩;方法八將相似與三角函數結合，解答簡單，讓人回味.

4 教學反思

在平時教學中，不少教師選擇最優解法，用最少的時間去講解作業或試卷中的試題，很少肯花時間讓學生思考，學生當時聽后，覺得易懂，但遇到陌生的“生僻”的問題又找不到行之有效的解題方法，這樣循環往復，教師就覺得學生“笨”，“怎么講過的還是不會做？”因此，在平時解題活動中，教師要對典型題，包括選擇題、填空題進行深度探究;要舍得花時間去思考分析，注重思考的過程、分析的途徑，比如，這些條件是如何與求解結論聯系起來的，是通過哪條線、哪個角進行轉化的，為什么可以這樣作輔助線.解題后學生要進行反思、總結：當時是如何想的？為什么老師這樣解答？這樣的解題方式對以后的解題有什么幫助？要進行一題多解、一題多變、多解歸一等變式訓練，注重積累解題經驗.

正如《義務教育數學課程標準》強調：“數學活動經驗的積累是提高學生素養的重要標志.”深刻探究就要讓學生經歷操作、思考、推理、反思等過程，對數學知識加強領會與感悟，并積累分析和解決問題的基本經驗，進而把這些經驗遷移到后續的數學學習中去，不斷提高數學素養.

參考文獻：

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