深入探究基本圖形 漸次展開一題一課

程龍軍 洪順慶

摘要：一題一課式單元復習是基于教師對教學內容的深入分析和解讀，從一章或者一個單元出發，對重點問題或圖形進行一般化、特殊化的重組、整合，轉換成符合學生實際的教學內容，形成對課程內容的整體把握和結構化處理，有利于提升課堂教學效率，引領學生深度學習，推動數學知識的結構化.

關鍵詞：一題一課;單元復習

1 引言

單元復習的主要功能是回顧知識和解決問題.傳統復習方式習慣于知識梳理、例題講評、鞏固訓練式的流程，導致課堂存在“大容量、小問題，淺思考”的現象，學生對數學問題淺嘗輒止.為此，筆者提出“一題一課”的單元復習形式，通過對問題的不斷分析、不斷聯系、不斷深入，引發學生思考，激發學生討論，提供更多的機會讓學生發現和提出問題，分析和解決問題，培養學生整體性、系統性、綜合性的思維方式，從而讓深度學習真正發生.下面以滬科版九年級上冊“22.2 相似形的判定”單元復習為例，探討一題一課式單元復習教學設計.

2 內容解析

本單元是滬科版數學教材九年級上冊第22章的第二單元，在全等三角形和比例線段的相關知識基礎上，研究相似三角形的預備定理和四個判定定理.這些內容為發展學生的幾何直觀和邏輯推理能力提供了重要素材，也為后續學習圓和三角函數的內容奠定了基礎.與全等三角形相比，本單元基本圖形眾多，基于比例式的邏輯推理較為抽象，學生在之前的新授課學習中，還不能深刻理解和應用基本圖形，也不能熟練運用比例式進行變形和推理.因此，單元復習課中亟需加強對判定定理的理解與應用，構建各知識點和基本圖形之間的關聯，形成知識結構.基于上述考慮，特制定了如下教學目標：

（1）理解相似三角形中基本圖形的相互關系;

（2）會利用相似三角形的判定解決一些問題;

（3）經歷基本圖形邏輯關系的探索過程，體驗解決問題策略的多樣性.

3 教學過程

3.1 溫故知新

問題1 相似三角形的判定有哪些？類比全等三角形，說說兩類判定之間的聯系.

教學說明：學生逐條梳理相似三角形的判定，得到幾個判定之間的結構關系（如圖1），然后類比全等三角形，說明全等和相似之間特殊與一般的關系.復習課一方面要了解學生對知識的掌握情況，使復習更有針對性;另一方面也要體現單元知識的結構，這也是它功能和價值的體現，表現在已經了解幾何知識學習流程的基礎上，明確研究思路和研究方法，形成框架性的總結，為后續的靈活運用做準備.

3.2 合作探究

問題2 如圖2，在△ABC中，已知點D，E分別為邊AB，AC上的一點，請補充一個合適的條件，使△ABC與△ADE相似.

教學說明：在學生原有的知識經驗中，平行或斜交原三角形可以得到“A型相似”和“反A型相似”，這是解本題的依據和突破口，其中圖形的運動變化過程也是復習課要關注的.借助圖形和相似三角形的判定，從角和邊兩個角度自主探究，可能的結論如下.

生成1：如圖3，當∠1=∠B或DE∥BC或ADAE=ABAC時，△ABC與△ADE相似.

生成2：如圖4，當∠1=∠C或 ADAC=AEAB時，△AED與△ABC相似.

本題設置了一個入口寬且解法多樣的開放性問題，有效整合了學生知識結構中的零散知識.學生既可以從角又可以從邊的角度去補充條件.較問題1，問題2體現出將學生的認知從識記提升到理解和應用的層次，并迅速吸引了學生眼球，激發學生的探究欲望.

問題3 如圖5，當∠1=∠ACB時，連接BE，CD交于點F，試猜想圖中有幾對相似三角形，并證明你的猜想.

教學說明：學生分組討論并猜想圖中的相似三角形，可能的答案有①△ADE∽△ACB，②△ABE∽△ACD，③△FDB∽△FEC，④△FDE∽△FBC，等等.教師引導學生明確思路，依次證明①②③④.本題的難點有兩個，一是由△ADE∽△ACB推導出△ABE∽△ACD，二是由△FDB∽△FEC推導出△FDE∽△FBC.教師需要引導學生細致分析比例式并根據需要適當變形，尋找已知條件和目標的差異.學生也有可能會猜想△EFD與△EDB相似，對于這個假命題，可引導學生用分析法進行推理.假若△EFD∽△EDB，則∠EDF=∠EBD.由∠ECD=∠EBD，可得∠ECD=∠EDC，則有ED=EC.因為DE可以平行移動，因此ED=EC未必成立.故△EFD與△EDB不一定相似.

問題4 如果把問題3中的條件∠1=∠ACB換成∠ECD=∠EBD，上述四對三角形還能相似嗎？

教學說明：本題是問題3的一個變式，通過上題的探究，學生意識到只需證明①②即可，而③④無需重新證明.通過此題強化了相似三角形判定的綜合運用，并由此得出“如果上述四對三角形有一對相似，則其余的三對也相似”.其實，例題的選擇不一定要多，有時只需對原有問題適當變式拓展或綜合利用，就能形成圖形的生長、知識的生長和思維的生長，達到舉一反三的效果.

問題5 如圖6，當∠1=∠ABC時，連接BE，CD交于點F，圖中有幾對相似三角形？

教學說明：仿照上面問題3和問題4的經驗，學生由DE∥BC容易得到△ADE∽△ABC，△FDE∽△FCB.但受問題3的影響，學生可能會誤認為△ADC ∽△AEB，△FDB ∽△FEC也相似.為此，教師要著重分析比例式中的對應關系，破解學生的錯誤認識.因為當△FDE∽△FCB時，可得FDFC=FEFB，進而FDFE=FCFB，但是△FDB與△FEC相似需要的是FDFE=FBFC，兩者并不一致，所以無法得到△FDB∽△FEC;同理，可以分析出△ADC 與△AEB也未必相似.

問題3與問題5的圖形都是從一個母題特殊化得來，圖形結構類似，前者對后者產生較強的負遷移，學生習慣性地認為前面的四個結論也成立，加之問題5是開放性問題，這更增加了問題的難度.學生對于常見真命題的證明容易上手，而本題是需要證偽.這個證偽的挑戰性任務引導學生經歷了類比和思辨的過程，培養了學生推理的嚴密性，發展了學生評價和質疑的能力.

問題6 如圖7，當∠1=∠ABC時，連接BE，CD相交于點F，連接AF并延長交BC于點O，交DE于點M.

求證：OB=OC.

教學說明：利用比例式證明線段相等是一個難點問題.其證明思路是，由∠1=∠ABC，可知DE∥BC;再得DMBO=ADAB=DEBC=DFFC=DMCO，可知OB=OC.本題是問題5的延伸和拓展，證明方法多樣，既可以利用“A形相似”解決，也可以利用“X形相似”解決，綜合考查了相似三角形的判定、性質，以及對基本圖形的識別與應用.本題的重點是讓學生在復雜的圖形中理解證明線段相等的方法，知道線段相等不僅可以用全等來證明，也可以通過比例線段來證明，體會推理過程中“中間比”的作用.

3.3 總結回顧

問題7 結合圖8，說說本節課你應用了哪些知識？有哪些收獲和困惑？

教學說明：通過上述圖形的不斷特殊化，引導學生對基本圖形進行結構化處理，建立易于理解和遷移的圖式，同時將相似三角形的判定等知識點串聯在其中，有效提高了課堂效率，使得復習課同時具備了總結、應用和探究的功能，調動了學生的學習積極性，發展了學生的高階思維能力.

4 教學思考

4.1 一題一課，提升課堂教學效率

本節單元復習課區別于概念加例題的常規復習形式，采用了一題一課、一圖一課的形式，這種形式簡潔高效，兼顧了知識回顧和解決問題這兩個復習課的重點，節省了讀題審題的時間，減輕了學生課堂學習負擔，提高了探究意識和學習興趣;同時，探究過程兼顧不同學生的學習需求，使得不同的學生在一節課里可以得到不同的收獲.對于一題一課的設計，首先要選取一個好的母題，其來源可以是教材中的例題與習題，也可以是從中提煉出的基本圖形.母題需要與單元知識點密切相關，并能夠提供足夠的探究空間，使問題可以不斷生長，進而在解決問題過程中將單元知識點有序串聯.

4.2 問題驅動，引領學生深度學習

本節課從一個基本圖形入手，回顧相似三角形的判定定理，之后題設條件漸次增加，在不斷變化的問題情境中，精心建構開放性問題，一步步特殊化基本圖形，結合變式和拓展，形成了由易到難的問題串.這樣的問題設計，知識的運用與生成是自然的，又是有跡可循的，學生容易理解.隨著問題的不斷推進，學生對知識點反復提取和加工，在綜合運用單元知識和思想方法解決挑戰性問題的過程中，經歷了應用、質疑、反思、評價等多層次的高階思維，其思維層級逐漸提高，理解程度逐漸加深，學生在體驗中深刻理解了相似三角形的判定定理，也增強了正確運用判定定理的自覺性.

4.3 多維一體，推動數學知識結構化

數學復習課的目標是回顧知識、訓練思維、發展能力.本節課從知識的聯系出發，把新課中分幾個課時研究的內容完整地放到一個單元復習課中，具有結構性、系統性、邏輯性，有助于構建思維導圖.在溫故知新環節，依據知識的邏輯關系把零散的知識點構建成脈絡結構，學生可以系統了解知識的發生發展過程，進而理解單元知識，形成整體架構.在合作探究環節，通過循序漸進的問題串，既回顧了單元知識點，又挖掘了其中蘊含的數學思想方法和解題策略，如分類思想、轉化思想，逆推法、正難則反的策略等，這正是優化認知結構的關鍵.在總結回顧環節，學生明確了本單元中一般圖形與特殊圖形的關系，形成了知識結構圖示，方便在使用時快速提取.從結構化思維的角度來說，單個知識點的復習是必要的，但更要注重知識之間的結構生成和數學思想方法的提煉，包括各個圖形的演變及其相互的聯系，學生在經歷整理、練習、對比、辨析的過程中，可以更好地對數學知識進行再認識和結構化的學習.

參考文獻：

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