圓與“影子”結合的問題類型及解析

2022-04-29 05:34:42袁金鋒

中學數學·初中版 2022年10期

袁金鋒

摘要：“影子”問題頻頻出現在中考數學題中，成為了一個新的熱點.本文中選擇幾例與圓有關的影子問題，并加以解析. 通過四種不同類型——光線切圓成影、光線切隱圓成影、光線切圓的組合體成影、部分影子在圓上的問題的解答，培養學生的學習興趣，增強學生的應用意識，提高學生的數學素養.

關鍵詞：光線與圓相切;影子問題;解答

1 引言

“影子”是一種常見的物理現象，當不透明的物體受到陽光或光線的照射時，就會產生影子.近年來，“影子問題”經常出現在各級各類考試中，成為命題的一個新熱點.這類試題既貼近現實生活，又司空見慣，綜合考查了學生的數學應用意識、創新精神和解決實際問題的能力.

2 光線切圓成影

例1 為了更好地學好數學，老師帶領學生到操場上進行數學活動.將一個圓形球體放在平整的水平地面上，在充足陽光的斜射下，得到球在陽光下的影子，

同學們繪制出圖1所示的圖形，其中AB為球體在地面上的影子，平行光線CB，DA與球體相切，切點分別為H，G，經測量球在地面的影子AB=52.5 cm，光線與地面的夾角為45°，能否求出球體的直徑（精確到1 cm）？

分析：首先理解題意是解題的基礎，“平行光線CB，DA與球體相切，切點為H，G”，可知HG為球的直徑，也是圓的直徑.另外確定點A落在何處，是成功解題的關鍵. A點的位置不是圓O與地面相切的切點，而是DG的延長線與地面的交點.可通過構造直角三角形，將所求線段轉換到直角三角形中進行計算.

解：如圖2，過點A作AE⊥CB于點E.

因為DA，CB分別與圓相切于點G，H，

所以GH的長為圓的直徑.

由圓切線的性質，可知GH⊥GA，GH⊥HE.

于是四邊形AEHG是矩形.

所以，AE=GH.

在Rt△ABE中，

AB=52.5，∠ABG=45°，

所以AE=AB＼5sin∠ABE=52.5×sin 45°

≈ 37（cm）.

所以球的直徑是37 cm.

點評：體會現實生活中的實際問題，用數學的眼光去觀察生活，體會生活，運用數學知識去解釋、分析、解決實際問題，是數學服務生活的鮮明特征與宗旨.觀察生活，體會生活，還原生活是解決實際問題的依據和法寶.在教師的指導下開展數學活動無疑是很好的教學形式，具有廣泛的指導意義.

3 光線切隱圓成影

例2 在一次數學興趣小組活動中，利用樹影測樹高.已知測出某一時刻太陽光線與地面成30°角，又測出樹OB的影子OA為24 m.

（1）求出樹高OB;

（2）在一次天氣異常大風大雨的情況下，大樹OB沿太陽光線方向倒下，在大樹傾倒的過程中，樹影的長度由隨之發生了變化，試求樹影落在地面上的最大長度.（假設太陽光與地面夾角保持不變，計算結果精確到整數，參考數據：2≈1.414，3≈1.732.）

分析：第（1）問只需找出OA所在的直角三角形即可.第（2）問，實質是直線與圓相切的問題，即樹在倒下的過程中形成一條以點O為圓心，OB的長為半徑的圓弧，此時弧與太陽光線CD相切時影長最大.解題的關鍵在于根據實際生活背景轉化為數學問題.

解：（1）如圖3，太陽光線與地面成30°角，

則∠A=30°;大樹與地面垂直，則∠AOC=90°.

在Rt△AOB中，大樹的高度OB=OA· tan A=24×33=83≈13.856 52≈14（m）.

（2）大樹從直立到倒下的這一過程，樹頂B的運動路徑是以點O為圓心，以OB的長為半徑作圓弧，如圖4，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長.

假設大樹在傾斜倒下與平行光線相切時的切點為D，過點D作OC⊥OD交OA于C點.

由切線的性質得∠ODC=90°，

由平行光線得∠OCD=30°.

在Rt△OCD中，OC=2OD=2×14=28（m）.

答：樹高AB約為14 m;樹影有最長值，最長值約為28 m.

點評：在解題過程中，首先要了解問題的實際背景，明確事物的發生、發展過程，用動態思維把握實際問題.然后用數學語言抽象、簡化，將生活中的實際問題轉化為數學問題，再用所學數學知識與方法解決此數學問題，這時實際問題也就得以解決.

4 光線切圓的組合體成影

例3 某中學數學興趣小組到學校風景廣場開展數學活動，發現有一個立體模具，如圖5，它由上下兩部分組成，地面上的底座是一個正方體，正方體的正上方是一個規則的球型體，經師生共同測量，正方體的高度與球體的高度相同.此時，太陽光線與地面成60°夾角，太陽光線投射到模具上，在地面上形成的影子MN長2 m.求這個模具的高度（結果精確到0.01 m，參考數據：3≈1.732）.

分析：因為“球體的高度與正方體的高度相同”，且底座為正方體，所以圓的直徑為正方形邊長，整個模具的高度就是圓直徑的兩倍，運用相似的性質求解再根據直線與圓相切，得到直角三角形，從而得以求解.

解：因為球體的高度與正方體的高度相同，底座為正方體，所以圓的直徑為正方形邊長.

根據對稱性知，正方形與圓的對稱中心的連線垂直于地面，如圖6.設點O為正方形的對稱中心，點P為圓的圓心，連接OP并兩向延長交MN，NQ的延長線于點E，F，易得EF⊥MN.

又知太陽光線在圓右側相切，設切點為Q，連接PQ.

由切線的性質得PQ⊥NQ，設圓P的半徑為r.

因為太陽光線與地面的夾角成60°，則∠F等于30°.又PQ=r，由30°角的直角三角形得PF=2PQ=2r.

根據對稱性EM=r，

那么EF的長為正方形的高度加上圓的半徑及PF的長，即EF=5r .

在Rt△EFN中，ENEF=13，又EN=EM+MN=r+2，所以r+25r=13，解得r=53+311.

所以模具高度h=4r243+1211≈4.24（m）.

點評：解決本題的關鍵在于將實際問題抽象、簡化成數學問題，運用幾何的基本圖形、性質、定理，推理解答平面幾何問題.正如《義務教育數學課程標準》強調：“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷，將實際問題抽象成數學模型并解釋和運用的過程，讓學生在空間想象能力、思維能力等各方面得到進步和發展.”

5 部分影子在圓上

例4 某中學數學興趣小組到戶外開展數學活動，發現廣場有一根旗桿AB和一規則的冬青圓球（冬青球和地面相切），在太陽光的照射下，如圖7，旗桿的頂端A的影子恰好落在冬青球的最高處，而冬青球的影子剛好落在地面上一點E處，測得BO=16 m，OE=2.5 m，冬青球的直徑為2 m，EF=2米. 求旗桿的高度.

分析：本題求旗桿AB的高度，將線段AB分成兩段HB和AH，HB即為圓的半徑長，但AH未知.根據圓的切線有垂直，過點G作GH⊥AB于H，發現有△AGH與△OEF相似，再根據相似三角形的對應邊成比例即可解決. 本題有兩個誤區：（1）直接將BE當成AB的影子;（2）將線段OG的影子誤認為是OE. 因此，仔細推敲影子的形成是解題關鍵.

解：如圖8，根據題意，FE與半圓相切于點F，

連接OF，由切線的性質知∠OFE=90°.

又EF=2，OE=2.5，所以FO=OE2-EF2=1.5.

過點G作GH⊥AB于H，則四邊形BOGH是矩形.

則BH=OG=2，BO=GH=16.

因為平行光線與水平面的夾角不變，則∠E=∠AGH.又∠OFE=∠AHG=90°，所以△AGH∽△OEF.

由相似三角形對應邊成比例，得EFGH=OFAH，

即216=1.5AH，解得AH=12，AB=AH+HB=14.

故旗桿的高度為14 m.

說明：本題的另一種解法，根據實物與影子成比例作答：過點F作FM⊥OE于M（具體作圖略），根據面積法求得FM=1.2，再求得EM=1.6，即實物與影子之比為FMEM=34.過點G作GH∥AB交AB于點H，則AHHG=34，又GH=OB=16，AH的影子是GH=16，那么AH=12，則AB=14.

6 總結

綜上幾例，可以發現，解決圓與“影子”相結合的一類問題的關鍵：根據題意，分析“影子”是由實物的哪一部分形成的，體會“影子”的形成規律，如何將實際問題抽象、轉化為數學問題，清楚哪些是未知，要求什么;再運用直線與圓相切的性質或相似三角形的判定、性質等數學知識來推理解答.