初中數學有效復習“精講精練”教學法

杜宇

摘要：長期以來，由于初中數學復習“量大、面廣、知識點多、時間緊”，同時一些教師對復習課不夠重視，或者缺乏合理、新穎的課堂設計，只是千篇一律地讓學生做題，導致很多學生對復習課失去了興趣.如何上好復習課，怎樣才能調動學生的積極性，在有限的時間內提高復習效率，本文中以“二次函數與反比例函數”為例，對初中數學有效復習“精講精練”教學法進行了探討.

關鍵詞：精講精練;小題大做;歸類訓練;一題多解

1 引言

復習課是為了讓學生回顧、鞏固、消化、歸納數學基礎知識，提高分析、解決問題的能力.一堂有效的數學復習課，不僅能夠讓學生鞏固知識、查漏補缺，而且要溫故知新.

初中數學復習“量大、面廣、知識點多、時間緊”，要讓學生在短時間內系統有效地復習，“精講精練”不失為一種行之有效的方法.教師要認真篩選和精心設計一定量的具有“概念性、典型性、針對性、綜合性、啟發性、思考性、靈活性、創造性”等特點的例題、習題，通過“精講精練”來達到鞏固與提高的目的[1].

“二次函數與反比例函數”，是滬科版九年級上冊第21章的內容.本章共有6節，復習的量大、面寬、時間緊，不可能做到面面俱到，只能“突出重點、化解難點、以點帶面”.因此，本章復習的重難點是：熟練掌握和運用二次函數、反比例函數的圖象和性質，培養在解決實際問題時建立函數模型的意識，并能掌握建立函數模型的技能.精選適量的典型例題，精講、分析解決這些問題，做到以點帶面，是本章復習教學的主要方法[2].下面通過典型例題來了解和掌握“精講精練”復習法.

2 “精講精練”復習教學法的運用

2.1 “小題大做”收奇效

適當變化的小題可以涵蓋豐富的基本知識、基本技能，進一步突出轉化、建模、運動、分類討論等思想的培養，使學生能夠從數學的角度思考問題，用比較規范的邏輯推理形式表達自己的演繹推理過程.在復習課上嘗試“小題大做”，那些精練的小題往往能夠收到意想不到的效果.

例1 已知x=5時，y=x2+px+q的最小值為-2，則p=，q=.

解析1：y=x2+px+q=x+p22+q-p24，則當x=-p2時，y有最小值q-p24.所以，由已知可得-p2=5，q-p24=-2，解得p=-10，q=23.

解析2：由二次函數圖象可知，拋物線頂點的橫坐標為-p2.所以，由已知可得-p2=5，52+p＼55+q=-2. ?解得p=-10，q=23.

點評：例1雖然是一道小題，但它既考查了二次函數的圖象及其性質，也考查了求二次函數最值的方法與技巧.要解答本題，就需要回顧二次函數的相關知識：對于二次函數y=ax2+bx+c，若a>0，則x=-b2a時函數取得最小值4ac-b24a;若a<0，則x=-b2a時函數取得最大值4ac-b24a.

2.2 歸類訓練找方法

歸類訓練就是把類型相同或相似的題型放在一起，只要講（練）一個或幾個題目，就可以找到并掌握解決這類問題的方法與技巧，避免陷入題海而不能自拔，達到觸類旁通、以點帶面、舉一反三的效果.

例2 某文具公司生產某種文具盒，每只文具盒的成本是3元，市場零售價為4元，年銷量為10萬只.為了獲得更好的效益，公司準備抽出一定的資金打廣告.根據以往的經驗，每年投入的廣告費是x（單位：萬元）時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y=-x210+710x+710 .如果把利潤看作銷售總額減去成本費和廣告費：

（1）試寫出年利潤S（單位：萬元）與廣告費x的函數關系式，并計算廣告費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大，最大年利潤是多少萬元？

（2）把（1）中的最大利潤留出3萬元做廣告，其余的資金投資新項目.現有6個項目可供選擇，各項目每股投資金額和預計年收益如表1.

如果每個項目只能投一股，且要求所有投資項目的收益總額不得低于1.6萬元，那么有幾種符合要求的投資方式？寫出每種投資方式所選的項目.

解析：（1）S=10×-x210+710x+710×（4-3）-x=-x2+6x+7=-（x-3）2+16.

當x=3時，年利潤S取得最大值16.

所以，當廣告費是3萬元時，公司獲得的最大年利潤是16萬元.

（2）用于再投資的資金是16-3=13（萬元），經分析，有兩種投資方式符合要求：

一種是取A，B，E各一股，投入資金為5+2+6=13（萬元），收益為0.55+0.4+0.9=1.85（萬元）>1.6（萬元）;另一種是取B，D，E各一股，投入資金為2+4+6=12（萬元）<13（萬元），收益為0.4+0.5+0.9=1.8（萬元）>1.6（萬元）.

點評：本題屬于“獲取最大利潤”類習題，實際上就是求二次函數的最大值或最小值.解這類題型首先要明確利潤=（銷售單價-每件成本）×銷售量;然后求出函數表達式和自變量的取值范圍，再通過配方變形，或利用公式求出最大值或最小值.要注意的是，由此求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內，若忽視了自變量的取值范圍往往會造成解題錯誤.

2.3 一題多解拓思路

通過對典型例題解法的講練與拓展，有針對性地引導學生進行一題多解訓練，以拓寬學生的解題思路，不斷提高學生靈活運用各種知識的綜合能力.

例3 拋物線過點（-1，-1），它的對稱軸是直線x+2=0，且在x軸上截取長度為22的線段，求拋物線的解析式.

解析1：由對稱軸方程x+2=0，可設解析式為y=a（x+2）2+k.由拋物線的特征可知，其對稱軸垂直平分其在x軸上截取的線段，因此可知該拋物線必過點（-2±2，0），又由已知過點（-1，-1），代入

y=a（x+2）2+k，得a（-1+2）2+k=-1，a（-2+2+2）2+k=0， 即a+k=-1，2a+k=0. 解得a=1，k=-2.所以y=（x+2）2-2.

所以，拋物線的解析式為y=x2+4x+2.

解析2：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）.由解析1可知，拋物線過三點（-2±2，0），（-1，-1），所以

a-b+c=-1，（-2+2）2a+（-2+2）b+c=0，（-2-2）2a+（-2-2）b+c=0.

解得

a=1，b=4，c=2.

所以，所求解析式為y=x2+4x+2.

解析3：由解析1中分析可知，拋物線與x軸的兩交點坐標為（-2±2，0），因此可設其解析式為：y=a（x+2-2）（x+2+2）.又拋物線過點（-1，-1），則可求得a=1.所以，所求其解析式為y=（x+2-2）（x+2+2），

即y=x2+4x+2.

點評：本題主要考查二次函數解析式的不同求法.解析1是利用二次函數的頂點式y=a（x-h）2+k來求解;解析2是直接利用二次函數的一般式y=ax2+bx+c來求解;解析3是利用二次函數的交點式y=a（x-x1）（x-x2）來求解.這三種方法中拓寬思路的關鍵在于條件“在x軸上截取長度為22的線段”的轉化，同時都用到了待定系數法來求解析式.

3 結論

教學實踐表明，初中數學復習課中，采用“精講精練”法，以例題為中心，通過小題大做、歸類訓練、一題多解等方式來組織教學，將某一章節內容的基本知識串起來講練，既能鞏固加深已學過的舊知識，又能夠讓學生熟練掌握多種題型的解題方法與技巧[3].

參考文獻：

[1]尤炳升.構建二次函數的知識體系，突破函數學習的重難點[J].讀與寫（中旬），2022（1）：32-33.

[2]陳波.二次函數題型精析[J].數理化學習（初中版），2017（9）：9-10.

[3]廖竹珍，劉熙，陳紹雄.二次函數中考考點及解題方法[J].數學學習與研究，2021（3）：131-132.