構造直角三角形解答幾何問題的題型分析

莊菊詠

摘要：幾何問題是初中數學的重點，同時也是難點.幾何問題，是將一般圖形轉化為特殊圖形（直角三角形、平行四邊形等）進行求解.而直角三角形是最有效的圖形之一，主要思路是對原圖形添加適當的輔助線，使其轉化為直角三角形的相關問題，并利用直角三角形的性質等直接求解.本文中主要介紹了直角三角形在求解幾何問題中的幾種應用及對應的策略.

關鍵詞：直角三角形;幾何題型;解題技巧

1 求角度

求解圖形中某一個角的大小是幾何問題中的常見問題之一.這類型問題可以構造直角三角形進行求解，利用直角三角形的特點和性質，結合其他圖形，計算待求角的大小.解答這類問題的具體思路：①分析題意，添加輔助線構造直角三角形;②利用直角三角形的特點（例如直角等于90°）、性質，結合幾何知識求解;③經過邏輯推理計算角的大小.

例1 △ABC的BC邊上存在一點P，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.

分析：本題存在特殊角∠APC=60°，經過點C作AP的垂線，構造直角三角形CDP，將∠ACB分為兩部分，再根據點P的位置和∠APC的大小進行分析.

解：如圖1，過點C作CD⊥AP，垂足為D，連接BD.

在Rt△CDP中，

∵∠APC=60°，

∴∠DCP=30°.

∴PC=2PD.

∵PC=2PB，

∴PB=PD.

∴∠PBD=∠PDB=30°.

又∵∠ABC=45°，

∴∠DAB=∠DBA=15°.

∴BD=AD=CD，∠ACD=45°.

∴∠ACB=45°+30°=75°.

2 求線段的長

求解圖形中某一線段的長是幾何圖形中的常見問題，有時可以通過構造直角三角形求解，利用直角三角形的特殊角和對應的三角函數值，并結合相關定理（勾股定理、射影定理等）求解線段長度.解答這類問題的具體思路為：①根據題意構造直角三角形，并確定其內角的大小;②利用特殊的三角函數值或對應的定理列式求解，計算所求線段的長度.

例2 在△ABC中，D是AC邊上一點，若BD⊥AB，∠ABC=120°，AB=CD=1，求AD的長.

分析：如圖2所示，本題需要從點B入手再構造一個直角三角形，通過比例關系和勾股定理解得線段AD的長度.

解：過點C作CE⊥AB，與AB的延長線交于點E.

又DB⊥AB，所以BD∥CE.

令AD=x，則

x1=1BE，

即BE=1x.

所以，在Rt△BCE中，CE=BE＼5tan 60°= 3x.

在Rt△ACE中，由勾股定理可知1+x2=1+1x2+ 3x2，

即x4+2x3-2x-4=0.

等價于：x+2x3-2=0.

因為x>0，

所以x=32，即AD=32.

3 求面積

求解某個圖形的面積大小是幾何中的常考問題.這類型問題有時可以構造直角三角形求解，一般將原問題轉化為求解直角三角形的面積問題，利用直角三角形的面積公式進行計算.解答的具體思路為：①分析圖形特點，通過輔助線等手段構造直角三角形;②根據題意分析直接或間接計算面積，并確定相關線段的長度;③利用幾何圖形的面積公式計算求解.

例3 已知在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=2 3，BC=6，求四邊形ABCD的面積.

分析：由題意可知，四邊形ABCD是不規則圖形，其面積需要利用添補法求解.如圖3所示，將其添補為一個直角三角形，并利用直角三角形的面積公式間接求解.

解：設DA，CB的延長線交于點E，

由題意可得，四邊形補為Rt△EDC，如圖3所示，

且△EAB和△EDC都是等腰直角三角形.

在Rt△EAB中，令AB=BE=x，

則AE= 2x.

在Rt△EDC中，

DE=DC=2x+23，EC=x+6.

所以cos 45°= 2x+2 3x+6.

解得x=6-2 6.

故S四邊形ABCD=S△ECD-S△EAB=12[ 2（6-2 6）+2 3]2-126-2 62=12.

4 求最值

最值問題是幾何中的一類常考問題，一般為求線段的最值或角度的最值，有時可以利構造直角三角形求解.解答的具體思路為：①根據題目特點構造直角三角形;②將待求角或待求線段與直角三角形建立聯系;③利用直角三角形的知識分析待求最值.

例4 在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB，AC上分別取點D，E，使線段DE將△ABC分為面積相等的兩個部分，試求這個線段的最短長度.

分析：利用勾股定理的逆定理可知△ABC為直角三角形.過點D作△DEA的高DF，將原問題轉化為求解直角三角形的問題.

解：由BC=5，AB=12，AB=13，結合

勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且AC⊥BC.

故S△ABC=12×5×12=30.

又因為線段DE將△ABC分為面積相等的兩個部分，

所以S△DEA=15.

過點D作△DEA的高DF，交AC于點F，如圖4，則DF∥BC.

設AD=x，AE=y，

則DF5=AF12=x13.

所以DF=513x，AF=1213x，EF=y-1213x.

在Rt△DEF中，由DE2=EF2+DF2，得

y-1213x2+513x2=x-y2+213xy.

又由S△DEA=15，得xy=78.

所以DE2=x-y2+12.

因此當x=y時，DE有最小值23.

故DE的最小值為23.

5 作證明

證明題是幾何中必不可少的一類問題，證明形式包括求證角度的大小或關系，求證線段的長度或關系等，構造直角三角形是解答幾何證明題常用的有效手段.具體思路為：①根據題意分析題目特點，構造直角三角形;②利用直角三角形的角度關系或邊長關系，將待證明的線段或角與直角三角形建立聯系;③最后利用直角三角形的相關知識求證即可.

例5 已知點M是Rt△ABC斜邊BC的中點，點P，Q分別在邊AB，AC上，且PM⊥QM.

求證：PQ2=PB2+QC2.

分析：本題中QC與PQ，PB沒有直接關系，要想證明PQ2=PB2+QC2成立，就需要構造直角三角形，將這三條邊之間建立聯系，且PQ為斜邊，如圖5所示.

證明：

延長QM至點N，使MN=QM，

連結PN，BN，如圖5所示.

∵PM⊥QM，

∴PQ=PN.

又∵M是BC的中點，

∴△BMN≌△CMQ.

∴BN=QC，∠MBN=∠C.

∴BN∥AC.

∴∠PBN=∠A=90°.

∴PN2=PB2+BN2.

故PQ2=PB2+QC2成立.

本文中介紹的幾種題型都是常見的利用直角三角形求解的幾何問題.直角三角形對求解幾何問題有重要作用，能有效降低題目難度，化繁為簡.解題時要學會靈活構造直角三角形，除此之外，還要熟練掌握直角三角形的性質及面積公式等基礎知識，確保萬無一失.

參考文獻：

[1]徐久虎. 例談構造法解決幾何問題[J]. 中學數學， 2010（16）：29-33.

[2]楊曉玲， 詹海森. 構造法在幾何問題中的應用實例[J]. 數學學習， 2015（3）：9-10.