轉(zhuǎn)化策略在解題中的應(yīng)用

王文錫

摘要：轉(zhuǎn)化是指將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題的思考方法，運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略能夠在解題過(guò)程中將一些復(fù)雜的、陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的、已知的問(wèn)題，從而更方便揭示問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到解決問(wèn)題的最終目的.轉(zhuǎn)化策略在中考數(shù)學(xué)試題中應(yīng)用極為頻繁，轉(zhuǎn)化方法也多種多樣.本文中以中考試題為例，從一般與特殊的轉(zhuǎn)換、數(shù)形轉(zhuǎn)化、抽象與具體的轉(zhuǎn)化等方面分析轉(zhuǎn)化策略在中考解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：中考;數(shù)形轉(zhuǎn)化;整體與部分轉(zhuǎn)化;應(yīng)用

1 一般與特殊的轉(zhuǎn)化

一般與特殊相互之間的轉(zhuǎn)化，主要是指通過(guò)一般規(guī)律求個(gè)例特殊問(wèn)題以及列舉特殊例子對(duì)一般性問(wèn)題進(jìn)行解答[1].如特殊圖形求解，可通過(guò)填補(bǔ)或分割將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一般圖形，進(jìn)而根據(jù)公式解答.掌握這種轉(zhuǎn)化策略，有助于提升解題的效率.

例1 已知半圓的直徑AB=12 cm，點(diǎn)C，D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn)，求弦AC，AD和弧CD圍成的陰影部分面積.（結(jié)果用π表示.）

分析：如圖1，因?yàn)殛幱安糠謱?duì)應(yīng)的是不規(guī)則圖形，因此無(wú)法直接求解其面積.題目中提到了三等分點(diǎn)，連接OC，OD，因?yàn)辄c(diǎn)C，D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn)，故弧AC，CD，DB均為60°.

解：∵∠ADC=∠DAB，

∴AB∥CD.

∴S△ACD=S△OCD.

又∵∠COD=60°，

∴S陰影=S三角形OCD=60×π×36360=6π（cm2）.

2 數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)形轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題較為常見(jiàn)，是指把具體的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題進(jìn)而解答，或?qū)D形等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的代數(shù)問(wèn)題求解.這種轉(zhuǎn)化求解思路可以體現(xiàn)在數(shù)軸、函數(shù)圖象、幾何圖形等不同方面，需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)和關(guān)注.

例2 若a+b<0，a<0，b>0，試判斷a，-a，b，-b的大小關(guān)系.

分析：與大小關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題，往往可以借助數(shù)軸這一幾何圖形就能夠直觀地把字母a，-a，b，-b表示出來(lái).

解：如圖2所示，a，-a，b，-b的大小關(guān)系是a<-b

例3 代數(shù)式 x2+4+ x2-24x+153的最小值是.

解：由原式，可得 x2+22+ （12-x）2+32.

構(gòu)造如圖3所示的圖形，

AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，

且AC=2，BD=3.

設(shè)PA=x，

則PB=12-x.

所以PC= x2+22，

PD= （12-x）2+32.

顯然，點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E與點(diǎn)D的連線和AB的交點(diǎn)P即為符合條件的點(diǎn).

過(guò)點(diǎn)E作DB的垂線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則

PC+PD=PE+PD=DE

= EF2+DF2

= 122+（3+2）2

=13.

故所求的最小值為13.

3 抽象與具體的轉(zhuǎn)化

抽象與具體的轉(zhuǎn)化策略主要指通過(guò)類(lèi)比、舉例把抽象的概念和問(wèn)題具體化，從而轉(zhuǎn)化為已知熟悉的內(nèi)容進(jìn)行解答[2].如求線段旋轉(zhuǎn)后的軌跡，可類(lèi)比圓弧得到具體的公式，即可進(jìn)行下一步解答.抽象與具體轉(zhuǎn)化的策略，對(duì)解答一些定義題或幾何問(wèn)題有一定的幫助.

例4 如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，a>b.若EF∥AB，EF到CD與AB的的距離比為m∶n，則可推出EF=ma+nbm+n，嘗試運(yùn)用類(lèi)比的方法推想出下列問(wèn)題的結(jié)果，在上面的梯形ABCD中延長(zhǎng)梯形的兩腰AD，BC交于點(diǎn)O，設(shè)△OAB，△OCD的面積為S1，S2，則△OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系為（? ）.

A.S0=mS1+nS2m+n

B.S0=nS1+mS2m+n

C. S0=m S1+n S2m+n

D. S0=n S1+m S2m+n

解：根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方這一性質(zhì)，結(jié)合類(lèi)比結(jié)論EF=ma+nbm+n，可以得出這道題的正確答案為選項(xiàng)C.

例5 如圖5，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別為2 2和 2，對(duì)角線BD，F(xiàn)H都在直線l上，O1，O2分別是正方形的中心，線段O1O2的長(zhǎng)叫做兩個(gè)正方形的中心距.當(dāng)中心O2在直線l上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移過(guò)程中，正方形EFGH的形狀和大小不改變.隨著中心O2在直線l上的平移，試問(wèn)：兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)有哪些變化？并求出相應(yīng)的中心距的值或取值范圍.

分析：這道題很容易與兩圓的位置關(guān)系相聯(lián)系，圓與圓之間的位置關(guān)系包括外離、外切、內(nèi)切、內(nèi)含等情況，類(lèi)比正方形也存在這些位置關(guān)系，進(jìn)一步分情況分別求解即可.

解：

O1D=2，O2F=1，O1O2≥0.

聯(lián)系兩圓的位置關(guān)系容易得出：

當(dāng)1

當(dāng)O1O2=3時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)O1O2=1或2時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)O1O2>3或0≤O1O2<1時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn).

4 整體與部分的轉(zhuǎn)化

整體與部分的轉(zhuǎn)化策略是指把問(wèn)題所求看作一個(gè)整體或部分個(gè)體，使其問(wèn)題得到簡(jiǎn)單化從而解答.如扇形面積求解可看作一個(gè)圓的部分，根據(jù)占據(jù)圓的比例即可求出對(duì)應(yīng)面積大小.這種解題策略，能使陌生未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知熟悉的內(nèi)容，應(yīng)讓學(xué)生重視.

例6 如圖6，圓A、圓B、圓C三個(gè)圓兩兩相交，并且半徑都是0.5 cm，則圖中陰影部分面積為（? ）.

A.π12 cm2

B.π8 cm2

C.π6 cm2

D.π4 cm2

解：雖然無(wú)法單獨(dú)求出每一個(gè)陰影部分的面積，但通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和為180°.三個(gè)扇形的圓心角加起來(lái)剛好是180°，又因?yàn)槿齻€(gè)圓的半徑都相等，因此三個(gè)扇形面積之和可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)半圓的面積.

因此，陰影部分的面積S=12×π×0.52=π8（cm2）.

故選答案：B.

5 結(jié)語(yǔ)

總而言之，轉(zhuǎn)化策略對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量與能力的提升有著重要幫助，教師應(yīng)當(dāng)重視多種教學(xué)方法的運(yùn)用以幫助學(xué)生理解并牢固掌握轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用，使學(xué)生能夠靈活地應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，達(dá)到大幅提高學(xué)習(xí)效果的最終目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]崔亞瀾.轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2021（23）：24-25.

[2]莫大勇，孟祥靜.從關(guān)聯(lián)入手，以轉(zhuǎn)化搭橋，解決圖形性質(zhì)問(wèn)題——2015年中考數(shù)學(xué)試題“圖形的性質(zhì)”專(zhuān)題解題評(píng)析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2016（Z1）：78-83.