數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)話題之十：數(shù)論

劉勁苓 秦歷紅

秦歷紅：劉老師，因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）、合數(shù)以及最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等概念，對(duì)小學(xué)生而言不是特別好理解，但又是重點(diǎn)。這部分知識(shí)屬于數(shù)論的內(nèi)容吧？

劉勁苓：是的，數(shù)論是研究整數(shù)的性質(zhì)的一門學(xué)問(wèn)，它歷史悠久，以嚴(yán)格、簡(jiǎn)潔、抽象著稱。高斯認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后”，可見(jiàn)數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位。

秦歷紅：這么說(shuō)來(lái)，數(shù)論的知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真的很重要。其中有些內(nèi)容，我了解一些卻并不豐富和深入，希望可以和大家一起繼續(xù)學(xué)習(xí)。北師大版教材中有這樣一段介紹：“質(zhì)數(shù)又叫素?cái)?shù)。每一個(gè)大于1的整數(shù)，要么是質(zhì)數(shù)，要么是若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。如：12=2×2×3。于是有人認(rèn)為質(zhì)數(shù)是數(shù)的‘?dāng)?shù)根。質(zhì)數(shù)除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有極其重要的地位之外，在密碼技術(shù)中也起著關(guān)鍵的作用，廣泛應(yīng)用于金融、電子商務(wù)和網(wǎng)絡(luò)安全中?！蔽覀兙拖葟恼麛?shù)的“數(shù)根”——質(zhì)數(shù)開(kāi)始聊一聊吧！

劉勁苓：質(zhì)數(shù)的研究在數(shù)論中具有很重要的作用。我們知道，正整數(shù)是由1、質(zhì)數(shù)與合數(shù)這三類數(shù)組成的。一個(gè)大于1的正整數(shù)，如果只能被1和它本身整除，這樣的正整數(shù)就叫作質(zhì)數(shù)；否則就叫作合數(shù)。所有的質(zhì)數(shù)可以編成一個(gè)表——質(zhì)數(shù)表。在質(zhì)數(shù)表中，除了第一個(gè)質(zhì)數(shù)2是偶數(shù)外，其余的都是奇質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)的重要性在于，它們是組成整數(shù)的基本單位（根），集中表現(xiàn)為“算術(shù)基本定理”。這個(gè)定理表明，所有不等于1的正整數(shù)，如果不是質(zhì)數(shù)，那么可以分解為質(zhì)數(shù)的乘積，且不計(jì)順序時(shí)，分解方式是唯一的。

秦歷紅：教學(xué)中我們通常是直接告知學(xué)生什么是質(zhì)數(shù)、什么是合數(shù)，帶領(lǐng)學(xué)生找出100以內(nèi)的25個(gè)質(zhì)數(shù)，通過(guò)熟記100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，讓學(xué)生能夠熟練地判斷一個(gè)兩位數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。那么學(xué)生就會(huì)因此產(chǎn)生疑問(wèn)，質(zhì)數(shù)到底有多少個(gè)呢？

劉勁苓：學(xué)生的這個(gè)問(wèn)題其實(shí)是關(guān)于質(zhì)數(shù)的最古老的問(wèn)題之一。其實(shí)，歐幾里得在《幾何原本》中最先證明了質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，他的方法非常巧妙，閃耀著智慧的光輝。兩千多年來(lái)，人們雖也提出過(guò)一些其他證明方法，但仍然沒(méi)有比歐幾里得的方法更好的。

秦歷紅：那么，歐幾里得到底是怎樣證明質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)的呢？

劉勁苓：他用的其實(shí)是反證法，假定質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)，設(shè)為p1，p2，p3，…，pn，考慮a= p1 p2 p3 …pn+1，顯然，a不能被p1，p2，p3，…，pn整除。故存在兩種情況：（1）a為質(zhì)數(shù)；（2）a為合數(shù)，則a有除p1，p2，p3，…，pn以外的其他質(zhì)因數(shù)。無(wú)論是哪種情況，都會(huì)出現(xiàn)不同于p1，p2，p3，…，pn的新的質(zhì)數(shù)，因此否定了質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)的假定。

秦歷紅：這個(gè)證明的構(gòu)思真是非常巧妙，它的基本思路是：既然對(duì)于無(wú)論多大的質(zhì)數(shù)，都一定有比它更大的質(zhì)數(shù)，那當(dāng)然質(zhì)數(shù)就是無(wú)窮多個(gè)了。但是，它并非是構(gòu)造性的，利用上面的式子a=p1 p2 p3 …pn+1得到的整數(shù)a并不總是質(zhì)數(shù)。例如，2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509。

劉勁苓：質(zhì)數(shù)雖然有無(wú)窮多個(gè)，但是在自然數(shù)列中，它排列得相當(dāng)“稀疏”。100以內(nèi)有25個(gè)質(zhì)數(shù)，1000以內(nèi)有168個(gè)質(zhì)數(shù)。教學(xué)中，我們通常是怎樣把不超過(guò)某個(gè)固定的正整數(shù)n的所有質(zhì)數(shù)全部羅列出來(lái)的？

秦歷紅：我在教學(xué)中會(huì)向?qū)W生介紹“篩法”，篩法是求不超過(guò)自然數(shù)n（n>1）的所有質(zhì)數(shù)的一種方法，具體做法是：先把前n個(gè)自然數(shù)按從小到大的次序排列起來(lái)。第一個(gè)數(shù)1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，劃去；第二個(gè)數(shù)2是質(zhì)數(shù)，留下，并把2后面所有能被2整除的數(shù)都劃去；第三個(gè)數(shù)3是質(zhì)數(shù)，留下，并把3后面所有能被3整除的數(shù)都劃去；第四個(gè)數(shù)5是質(zhì)數(shù)，留下，并把5后面所有能被5整除的數(shù)都劃去……一直這樣做下去，就會(huì)把不超過(guò)n的全部合數(shù)都篩掉，留下的就是不超過(guò)n的全部質(zhì)數(shù)。據(jù)說(shuō)，篩法是古希臘的埃拉托斯特尼發(fā)明的，又稱“埃拉托斯特尼篩子”，他把數(shù)寫(xiě)在涂了蠟的板上，每要?jiǎng)澣ヒ粋€(gè)數(shù)，就在上面記一個(gè)小點(diǎn)，當(dāng)尋找質(zhì)數(shù)的工作完成后，這許多小點(diǎn)就像一個(gè)篩子，因此叫作“篩法”。還有一種解釋是，當(dāng)時(shí)的數(shù)寫(xiě)在紙草上，每要?jiǎng)澣ヒ粋€(gè)數(shù)，就把這個(gè)數(shù)挖去。當(dāng)尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后，這許多小洞就像組成了一個(gè)篩子。

劉勁苓：其實(shí)，求不超過(guò)正整數(shù)n的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是有近似公式的，但這個(gè)公式理解起來(lái)有些麻煩，不適合介紹給小學(xué)生。找出一個(gè)比現(xiàn)在已知的最大質(zhì)數(shù)更大的質(zhì)數(shù)，是人們孜孜以求的一個(gè)夢(mèng)想。2006年，人們找到的最大的梅森質(zhì)數(shù)（形如2p-1的數(shù)稱為“梅森數(shù)”，如果該數(shù)為質(zhì)數(shù)，則稱之為“梅森質(zhì)數(shù)”）是232582657-1，它是一個(gè)9808358位數(shù)。而到了2018年，人們找到的最大的梅森質(zhì)數(shù)已經(jīng)變成了282589933-1，它是一個(gè)24862048位數(shù)！

秦歷紅：前面談到，質(zhì)數(shù)廣泛應(yīng)用于金融、電子商務(wù)和網(wǎng)絡(luò)安全中，一種常用的密碼體系，其保密性依靠的就是大數(shù)（多達(dá)幾百位）質(zhì)因數(shù)分解的困難。日常生活中，如果把銀行卡密碼設(shè)置為888888、123456或者自己的生日，雖然好記，但萬(wàn)一銀行卡丟了，密碼很容易被猜到。能不能設(shè)計(jì)出一組代碼，即使將代碼寫(xiě)下來(lái)，別人也無(wú)法從中破譯出密碼呢？我們可以根據(jù)歐幾里得的證明方法，先給出數(shù)a=2×3×5×7×11×13+1=30031，而我們已經(jīng)知道30031=59×509。那么，就可以把a(bǔ)的兩個(gè)因數(shù)59和509左右并在一起，形成一個(gè)五位數(shù)密碼59509，或在左邊添0占位，形成一個(gè)六位數(shù)密碼059509。為便于記憶，可以將30031或2×3×5×7×11×13+1作為代碼寫(xiě)下來(lái)，別人即使看到了，也未必能猜到你的密碼。

劉勁苓：質(zhì)數(shù)在單元教學(xué)中有著至關(guān)重要的作用，對(duì)于質(zhì)數(shù)我們教材中還有一些數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容可以介紹給學(xué)生。比如，一對(duì)僅由一個(gè)偶數(shù)隔開(kāi)的相鄰質(zhì)數(shù)，我們將其稱為“孿生質(zhì)數(shù)”，像（3，5）（5，7）（11，13）（17，19）（29，31）（41，43）（59，61）（71，73）都是孿生質(zhì)數(shù)。還有著名的哥德巴赫猜想——任何一個(gè)比2大的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在1966年證明了“任何一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和”，引起了國(guó)際數(shù)學(xué)界的強(qiáng)烈反響。至今，這仍是“哥德巴赫猜想”證明的最好結(jié)果。

秦歷紅：中國(guó)現(xiàn)代對(duì)數(shù)論的研究最早是從什么開(kāi)始的？

劉勁苓：早在20世紀(jì)30年代，我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚就開(kāi)始研究數(shù)論問(wèn)題了，他選擇了“哥德巴赫猜想”作為數(shù)論組討論班的主題。十幾年后，華羅庚回憶他的這個(gè)決定時(shí)仍然流露出滿意的神情。他說(shuō)：“我不是要你們?cè)谶@個(gè)問(wèn)題上作出成果來(lái)，我的著眼點(diǎn)是哥德巴赫猜想跟解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系。以哥德巴赫猜想為主題來(lái)學(xué)習(xí)，將可以學(xué)到解析數(shù)論中所有的重要的方法。”

秦歷紅：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以小游戲的形式向?qū)W生介紹哥德巴赫猜想，來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化的魅力。我在教學(xué)時(shí)是這樣引入的：

生：（齊）所有大于2的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。

師：剛剛我們只舉出了一些例子來(lái)說(shuō)明，但這是一個(gè)世界難題，到現(xiàn)在沒(méi)有人能完全證明出來(lái)。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)的研究使這個(gè)難題有了很大的突破，感興趣的同學(xué)課下還可以再查找資料深入了解，期待同學(xué)們成為數(shù)學(xué)家，繼續(xù)研究這些難題！

劉勁苓：質(zhì)數(shù)中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，教材中也有一些補(bǔ)充介紹，例如有關(guān)完全數(shù)（完美數(shù)）的介紹，很多學(xué)生看到教材的介紹都要自己親自嘗試驗(yàn)證呢！除了質(zhì)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，《因數(shù)與倍數(shù)》也是滲透數(shù)論知識(shí)及相關(guān)數(shù)學(xué)文化的絕佳單元。例如，我們?cè)诮虒W(xué)《2、3、5的倍數(shù)特征》時(shí)，需要讓學(xué)生了解為什么判斷一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個(gè)位上的數(shù)，而判斷是不是3的倍數(shù)，卻要看各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和。

秦歷紅：是的，3的倍數(shù)特征在課堂上是值得花時(shí)間深入研究探討的，課堂上通?？梢杂谩皵?shù)”和“形”兩種方法來(lái)研究。以247為例，“數(shù)”的方法就是把數(shù)拆開(kāi)，把247看作“2×99+2+4×9+4+7”，2×99、4×9都是3的倍數(shù)，只要看剩余的2、4、7的和就行了，而2、4、7正好分別是247的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)。“形”的方法就是讓學(xué)生用小棒或計(jì)數(shù)器等學(xué)具，把247表示出來(lái)，學(xué)生就能在表示、擺放的過(guò)程中，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征。最終通過(guò)總結(jié)發(fā)現(xiàn)，“判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，只要看這個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)之和是不是3的倍數(shù)?！睂W(xué)生通過(guò)自主探究，會(huì)感受到理性思考的力量，也會(huì)感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美。

劉勁苓：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還有許多內(nèi)容與數(shù)論相關(guān)，需要教師挖掘其中的數(shù)學(xué)文化，并將之運(yùn)用、滲透到教學(xué)中去。我們期待更多教師重視學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的培養(yǎng)！

秦歷紅：謝謝劉老師的分享，再見(jiàn)！

（劉勁苓，特級(jí)教師，北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院，郵編：100031；秦歷紅，北京市西城區(qū)黃城根小學(xué)，郵編：100034）

*本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018 年度一般課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中‘文以化人的育人研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：CDDB18182）成果之一。