數形結合方法在高中數學教學中的應用

數和形是數學中的兩個基本概念，一切數學問題的討論都是由數與形的提煉、發展和演變而展開的，因此，數形結合在數學教學過程中有著重要作用。數形結合是把數或數量關系與圖形對應起來，利用數量關系來研究圖形的性質或者借助圖形來研究數量關系的一種重要的數學思想方法。“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數與形相互印證轉換，人們通過形來觀察數的問題，從而揭示出數的幾何意義，同時也需要利用數分析圖形的代數意義，從而將數量和圖形結合在一起，最終找到解決數學問題的辦法。在高中階段的數學教學中，數形結合可以將抽象問題具體化、復雜問題簡單化，同時，數形結合能夠鍛煉學生雙向思維的能力，幫助學生建立知識聯系，并深刻揭示數學問題本質的方法。

一、多維度探討數形結合思想

數形結合的實質就是把抽象的數字和具體的圖形結合起來，教師要引導學生依據數與形既對立又統一的特點，通過觀察圖形的方式，剖析數與式的構造，從而引發聯想，使數學問題變得更簡單易懂。

（一）從新課程標準對思維能力的要求看數形結合

《高中數學新課程標準》指出，探究型課程概念的提出為高中數學教學打開了新思路。數形結合方法與探究性課程的結合，能夠促使學生主動探索多種解題思路，擺脫固化的解題套路，這有助于培養學生的數學思維：一是數形相融，教師要指導學生將形象思維和抽象思維結合起來，做到“先具象后抽象”，這樣既可以加深學生對數與形概念的理解，又可以培養學生的辯證思維；二是教師要引導學生從多個角度、多層次進行數學思考，建立遞進式的思維習慣；三是教師可以運用將數字與圖形結合的教學方式，幫助學生建立由靜止到動態的思考模式，即從運動、變化和聯系的角度思考問題，從而掌握數與形的本質。從這三點可以看出，將探究型課程與數形結合方法結合，并將其融入高中數學教學過程中，可以更大程度地發揮出數形結合方法在教學中的優勢。

（二）從高考題設計背景來看數形結合

隨著數學教學改革的深入，高考數學命題呈現出多元化的特點，增設了開放型、情境型、探究型等試題類型。《普通高等學校招生全國統一考試大綱》指出，數學學科的命題要在考查數學基本知識的基礎上，注重對學生數學思想和解題方法的考查，更要注重對學生數學能力的考查。數形結合類型的題目在高考中經常出現，數形結合的運用不僅能看出學生對數學的符號語言的理解和應用能力，也能體現出學生對數學的綜合運用能力。因此，教師要多將數形結合的思想用于實際教學中，注重對學生數學創新能力的培養，并對學生知識理解的精確性、深刻性、全面性進行考查，幫助學生掌握不同數學知識之間內在的聯系。

二、數形結合方法優勢分析

（一）提高數學認識，加強知識掌握

在高中數學教學過程中，教師要充分、有效地運用數形結合的數學思想方法，讓學生樹立全面、科學的數學觀念。概念是數學的重要組成部分，是經過大量的邏輯推導得出的結論，這些抽象性的數學概念給學生的學習造成了一定阻礙，數與形的結合可以幫助學生更好地掌握數學概念，加深對數學本質的認識。教師指導學生掌握數形結合的方法，可以讓學生對數學的抽象概念進行更深刻地理解，幫助學生系統地建立起高中數學知識體系和框架，從而更好地掌握數學知識，減少對數學學習的畏難情緒。

（二）銜接知識內容，促使學生思考

數形結合方法有利于學生將不同階段所學的數學知識銜接起來。高中數學的教學內容比較復雜和抽象，對學生的思維、計算、空間想象、數學語言等方面的能力有更高的要求。從高中數學的教學內容來看，數形結合由抽象到具體的轉變過程與學生對數學的認識規律相吻合，所以，教師要在教學過程中將二者有機地結合，促使學生主動進行數學思考，使學生具有更靈活的數學思維。

（三）激發學習興趣，提高驗算能力

在教學過程中，教師可以用數字和圖形向學生描述代數的概念，讓他們更好地理解問題的實質，激發他們對數學的興趣。另外，盡管教師反復強調答題后要仔細驗算檢查，但部分學生還是沒能養成良好的驗算習慣。數形結合方法不僅能幫助學生更快地解題，還能促使學生養成良好的解題習慣，幫助學生樹立驗算意識，提高學生的做題準確率。

（四）促進數學教學發展

“形”能將數字具體化，學生只有掌握了較為科學的數學思維，才能更好地將數與形有機地聯系在一起，并正確地推斷出數與形的關系。可以說，數形結合的運用，對數學學科的蓬勃發展起到了很大的促進作用。

三、數形結合在高中數學的實際應用

數形結合要充分發揮“形”的直觀性和“數”的精確性，二者互為補充。其具體運用有兩種情況：一是利用數字的精確性，說明圖形的性質；二是通過圖形的直觀性，厘清數量關系。

（一）以形助數

以形助數，即把抽象問題具體化，它是利用圖形直觀地解釋數字間的關系，例如以函數的圖形來表示函數的特性。學生可以通過細心觀察和學習圖形的方式，理解其內部的數量關系。

1.在函數中的應用。很多數學問題都能運用數軸解決，而數軸就是“形”的一種。在高中數學教學過程中，教師可以通過建立數軸的方式，使學生進一步理解函數深層的含義，發現其數值意義，如交點、極值等。教師要指導學生運用數形結合的方法，通過坐標軸來表示函數意義，使學生更好地了解函數。比如，在學習三角函數的過程中，教師會指導學生建立一個坐標軸，幫助學生了解相關問題的含義，從而縮短學生解題的時間，提高解題的效率。

2.構建立體幾何模型研究代數的問題。幾何知識是高中數學的重要學習內容之一，學生要充分掌握幾何模型和代數轉換的相關知識。在教學過程中，如果教師只是簡單地講解教材內容，就會導致學生對幾何問題難以理解，在后續學習過程中引發一系列的問題。因此，教師要在教學中運用數形結合的方法，使幾何模型與代數轉換的關系更為清晰，從而使學生精確地掌握相關知識點，同時可以有效地提高教學效率，使學生的數學水平得到明顯提高。

3.解決含有參數的不等式、最值問題。函數的單調性經常聯系函數圖象的升、降；奇偶性經常聯系函數圖象的對稱性；最值（值域）經常聯系函數圖象的最高點、最低點的縱坐標。學生在解含有參數的不等式時，由于要設置參數，往往需要大篇幅地推演，導致演算過程煩瑣冗長。所以在解不等式問題時，教師要引導學生學會聯系函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個或多個函數，利用兩個或多個函數圖象的上、下位置關系轉化數量關系來解決不等式的解題問題，這樣就可以幫助學生將煩瑣的運算過程簡化，從而準確、高效地解答問題。

（二）以數解形

以數解形是指通過數的變式運算，將直觀圖形數量化，以求形變得更為準確，如用代數、解析和三角的方法來說明形的幾何特性，這樣規律性較強，讓學生解題時思路更清晰，能夠快速找到解題方法。

1.代數法。學生在解答關于度量關系的幾何問題時，可以通過設未知數來表示有關線段、角度和面積，根據題中給出的已知條件和幾何定理建立與之對應的關系式，最后用代數中的恒等變換方法解方程得出結果。

2.三角法。運用三角法的題型一般是求三角函數形成的表達式的值、求三角形的角或邊長，此時學生可以將線段與角的關系轉化為三角函數關系，再通過三角恒等變化、正余弦定理、解三角方程公式法和證明三角不等式等方式來完成幾何問題的運算。

3.解析法。運用解析法解幾何問題的優勢主要體現在解題過程的規范化，學生解題思路更清晰。其解題步驟主要是通過建立直角坐標系，設置未知數，列出已知圖形上相關點的坐標和曲線的方程后，即可將幾何問題轉化為代數問題，求解后賦予代數結果幾何意義，從而得出幾何問題的解答。由于解析法有規可循，教師要指導學生避免或少用在圖形中添加輔助線的方式，這樣可以降低錯誤輔助線對圖形的影響，避免干擾學生解題思路。教師在運用解析法時要注意，對直角坐標系的選取和建立要恰當，否則會加大運算的難度。

4.復數法。復數法是指將復數作為溝通數與形之間的紐帶，進行數與形的相互轉化，利用復數知識幫助解題。復數的代數運算具有特定的幾何意義，其基本思路是：先從問題的特點出發，例如在幾何中線段建立復平面，選取相應的復數表示形式，然后再根據問題設置已知條件，將幾何問題轉化為復數問題，通過復數的推理計算最終完成題目的解答。

5.向量法。利用向量方法解決幾何問題是目前高中數學中一種新穎、活躍且經常被教師探討的解題方式，因為向量能夠真實、深刻地描繪出現實數學世界的空間形式，是溝通代數和圖形內在聯系的工具。用向量法解立體幾何題時，教師要注意建立恰當的空間直角坐標系。在解題訓練時，教師要注重鍛煉學生的空間想象能力，幫助學生學會熟練運用向量公式。

四、運用數形結合方法開展教學的注意事項

（一）不能過于重“形”

在數字與圖形的展示中，部分教師過于注重繪制精美的圖形，使畫面色彩鮮艷，以強化對學生視覺的刺激，但實際上，過度的視覺刺激會分散學生的注意力，影響學生的思考和理解，這與原本的教學目的背道而馳。教師在課上進行圖形展示的目的是更好地輔助學生學習，幫助學生了解數學的概念，所以用作說明的圖形需要簡潔明了。

（二）要培養學生的數形結合思想

由于每版教材的更新周期較長，部分教師習慣運用以往的教學經驗教學，還停留在固化老套的數學教學思維中，懈怠于創新題型和解題方法，這類教師在實際教學中僅在講解固定題型時運用數形結合方法，沒有發揮數形結合在其他題型中的解題優勢，也就難以培養學生應用數形結合解題的思維習慣。教師在教學中應通過多種途徑培養學生的數形結合思想，具體來講，可以通過推理論證、借助具體而經典的事例、對數學現象進行梳理和歸納等方法，來激活學生思維，幫助學生找到解題路徑，培養學生的數形結合思想。

（三）要創新教學方法

在教學過程中，部分教師對教學內容和解題方法形成了固化的思維和教學習慣，沒有探究新的解題思路和解題方法，忽略了對圖像的運用。在這種教學方式下，學生會對數學課堂失去興趣，甚至產生抗拒情緒。在高中數學教學中，教師應充分利用數形結合的教學形式，增強數學課堂的趣味性，創新課堂教學方法。這可以拉近師生之間的距離，充分調動學生積極性，有助于教師打造高效課堂。

總之，由于高中數學知識涉及范圍較廣，抽象概念較多，內容多而復雜，這給學生學習帶來了較大難度。教師需要指導學生在解題過程中恰當運用數形結合方法，建立由具象到抽象的數學思維，提高學生學習數學的興趣，幫助學生搭建起聯系代數與幾何的橋梁，轉換運算思維，理解抽象概念，從而將數學知識化難為易，利于學生理解和掌握。

（作者單位：甘肅省金昌市永昌縣第一高級中學）