讓“研究性學習”為“數學建模”插上飛翔的翅膀

秦紅

《普通高中數學課程標準（2017年版）》將數學建模作為六大核心素養之一，同時“數學建模活動與數學探究活動”更是作為單獨的主題貫穿高中數學課程，必修6個課時，選擇性必修4個課時，這是前所未有的。如何在高中開展數學建模活動課，推進數學教學改革，提升學生的數學建模素養以及應用數學的能力，是廣大一線教師普遍關心的問題。

一、問題提出

綜合實踐活動課程中包含研究性學習，要求學生在3年內每學年完成1個課題研究或項目設計，以開展跨學科研究為主。筆者所在學校一直組織學生認真開展研究性學習，學生通過自由組合小組，經歷選題、開題、做題、結題四個階段，最終提交一份研究性學習報告。而數學建模活動的課程定位是“作為基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動”，教學要“以課題研究的形式開展，課題研究的過程包括選題、開題、做題、結題四個環節”，故數學建模活動課是否可以依托學生的研究性學習更好的開展？

《課標（2017版）》明確要求數學建模活動以課題研究的形式展開，而在《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》（國辦發[2019]29號）中強調：“在全面實施新課程、使用新教材的過程中，要積極探索基于情境、問題導向的互動式、啟發式、探究式、體驗式等課堂教學，注重加強課題研究、項目設計、研究性學習等跨學科綜合性教學，認真開展驗證性實驗和探究性實驗教學。”由此以研究性學習的教學方法進行數學建模活動既符合《課標（2017年版）》對數學建模活動教學的要求，更符合新時代育人方式改革的要求，以學生發展為主，改變學生的學習方式與教師教的方式，讓學生主動的探索、實踐、發現和解決問題。本文以本校情況為例，談談利用研究性學習開展數學建模活動的過程。

二、前期調研與動員準備階段

通過調研學生以往研究性學習完成情況發現，學生主要選擇文科類進行研究，較少有數學、物理、化學等理科的研究。結合對學生的問卷調研研究發現，由于數學建模活動課程實施不夠，學生的體驗感不強，從而學生并不明確研究性學習可以研究數學里的哪些內容，同時學生對數學建模活動沒有足夠的認識，普遍具有畏難心理;另一方面數理化生的成績對研究性學習的開展也有較大的影響。針對上述情況，在新一屆高一教學中我們作了如下努力：

第一階段：了解數學建模的發展史及其現實意義

學生在學習數學的過程中總有一個問題困擾著：學習數學有什么用？日常生活中好像除了購物算賬之外很難看到數學的蹤跡，但數學來源于人們生產和生活的需要，生活中好似看不到，只是由于日常生活的數學規律一般隱藏在生活的深層。而數學建模正是聯系數學與外部世界的橋梁，是數學通向實際應用的必經之途。數學建模可以拉近人們在心靈上與數學的距離，促使人們在應用的過程中更好的品味數學、理解數學和熱愛生活。我們要讓學生明確生活中其實處處都是數學的身影，而自己只是缺乏一雙發現的眼睛。而數學建模將會讓我們擦亮雙眼，用數學的眼光觀察世界。在這一階段教師可布置學生自主查閱數學建模的發展情況，明確數學建模在國內外的現狀，同時推薦學生閱讀相關數學建模的書籍，讓學生對數學建模有一定的了解，同時也點燃學生進行數學建模研究性學習的激情。

第二階段：技能培訓——查閱資料、論文書寫、信息技術輔助

數學建模是一項系統的研究活動，研究性學習也需要學生以科學研究為主進行課題研究，對學生的綜合能力要求較高，故教師應培養學生相應的研究的能力，所謂“授人以魚，不如授人以漁”，高一學生在進行研究性學習之前，我們會相應地培訓學生利用網絡數字資源查閱資料，介紹數字資源庫，如中國知網CNKI中小學數字圖書館、廣州數字圖書館等中文數據庫的使用方法。同時也利用信息技術課以及數學課培訓學生數據處理的能力，讓學生學會常用的軟件如Excel工作表格、GeoGebra、Matlab等的使用。而論文書寫則主要是給學生欣賞往期《中學生數學建模及數學綜合實踐征文》中獲獎的文章，學習論文書寫格式等等。

三、高中數學教學中滲透數學建模知識

在高一階段每周的正常數學教學課時中嵌入與學習內容相關的數學建模內容，在數學知識講解的過程中不斷加強學生將現實問題轉化為數學問題的能力，并能經歷從現實背景的分析中歸納、提煉數量關系并得到模型的過程，通過新教材的建模例題、習題的內容表述來滲透“建立數學模型、解決實際問題”的要求。

例如：在2019版高中數學教材必修一中有這樣一道習題：某商場經營一批進價為30元∕件的商品，在市場試銷中發現，此商品的銷售單價（單位：元）與日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關系。

1.根據表中提供的數據描出實數對的對應點，根據畫出的點猜想與之間的函數關系，并寫出一個函數解析式;

2.設經營此商品的日銷售利潤為（單位：元），根據上述關系，寫出關于的函數解析式，并求銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？

為提升學生的解題興趣，授課時可將題目情境改編一下。2020年國家允許擺地攤政策后，快過年你想掙錢換新手機，于是在家人的幫助下批發一批進價為30元∕件的中國結，假設在試銷中發現，中國結的銷售單價（單位：元）與日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關系。

中國結每件賣多少元時？你能獲得最大日銷售利潤？

改編情境讓學生更有代入感，能真正的感受到解決一個實際問題的樂趣。在解決這個問題的過程中，可以和學生一起探討數據的處理方法，如畫散點圖、數據的擬合，給學生展示用信息技術來處理數據的機會。通過解題學生也能經歷構建函數模型解決具體問題的過程。雖然課本中數學應用題是源于生活但總與生活有一些出入，教學時鼓勵學生可以自己從生活中去發掘具體的例子真正的解決實際問題，讓學生充滿研究的興趣，最終在研究性學習中找到施展拳腳的機會。

四、數學建模的研究性學習的正式開展

隨著高一課程的深入，教材在“指數函數與對數函數”之后，緊接著安排了“建立函數模型解決實際問題”的數學建模活動，課題名為“特定室溫條件下剛泡好的茶水多長時間可以達到最佳口感”，利用這一教材內容在班級內開展數學建模示范教學，在教師的帶領下讓學生體驗完整的建模的環節，為學生自主進行研究性學習打好基礎。

一個完整的數學建模活動主要包含四個環節：選題、開題、做題、結題。首先由學生自主組合成若干個小組，分工完成教師布置的任務清單：1. 了解廣東的茶文化，找到影響茶水口感的因素，并確定哪些是主要因素;2.以小組為單位，收集茶水的溫度隨時間變化的數據;3.回顧已學的函數數學知識，為建立適當的模型奠定基礎。這些工作在課前完成，既能讓學生充分的建立小組、分工合作，又可以給學生充足時間了解影響茶水最佳口感這個現實情境背后的信息，能自發提出有數學價值的問題研究，并能親自經歷數學建模中數據采集這一環節重要環節。同時利用課堂進行選題開題展示;建立模型，分析誤差;優化模型，檢驗模型;聯系實際，解決問題;歸納小結，拓展提升。在建立模型階段，鼓勵學生提出不同的模型，通過數據分析，辨析模型的優劣，最終選用合適的指數模型，應用模型代入數據得到剛泡好的茶水最佳飲用時間大約是7分鐘。

在《數學建模教學與評估指南》一書中對于教師如何將標準教科書中的問題過渡到完整的建模周期給了幾個指導原則：1.從小問題著手;2.用引導性的問題和課堂討論，以此支持初步經驗的形成 ;3.使用普遍地日常經驗來激發數學方法的使用;4.使用小型的建模情境，使得只需一兩個要素便能組成一個完整的建模周期;5.與家長和管理者分享你的目標和教學實踐。研究茶水最佳飲用時間問題恰好符合這些原則，利用這個小的課題研究讓學生能體驗一次完整的建模過程，學生自己開展研究學習做好準備，同時具有生活氣息的數學問題也能讓學生學會用數學的眼光分析現實生活中的問題，也能與家長分享研究的過程和結論。

萬事具備，只欠東風！最后就是學生們自己選擇感興趣的課題進行研究性學習，通過學生的活動，教師感慨：學生永遠是值得我們信任的。有的學生研究《數學》第一冊三角函數章節有一個拓廣探索：幫助電力部門制定一項“消峰平谷”的電價方案;有的學生選擇去北京天安門看升旗儀式的時間等;有的學生還從天貓雙11優惠活動研究怎樣購買商品才能省最多的錢……雖然有些結果還是稍有不足，但已經完全達到了我們作數學建模的目的，我們的學生學數學終于不是只“解題”，我們學會了“解決問題”，且是生活中的問題，我們學會用數學的眼光看世界，以及用數學的思維去解決日常生活中的問題。

培根說“數學是打開科學大門的鑰匙”，而數學建模活動能為學生們打開一扇了解數學應用的窗口，而研究性學習則為數學建模提供研究的機會，借著這個東風，望數學建模活動能開展得紅紅火火。

【本文系廣州教育學會2019年教育科研課題“高中數學建模活動課程的實踐研究”（課題編號：KTLX1201930168）階段性成果】

參考文獻：

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