寫錯因思對策是提升數學學科素養的有效途徑

吳什艷

一、問題的提出

《高中數學課程標準》（2017版）課程目標增加了“以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培養和提高學生的數學核心素養”。同時也指出了數學核心素養是“具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質”，是數學課程目標的集中體現，是學生在數學學習的過程中逐步形成的。

數學解題是學生學習數學的最重要學習活動，但同學們進入高中階段后數學解題的出錯率陡然增加，當我們學生出現解題錯誤時一般情況下都是老師針對學生的錯題作簡單講評，或是學生對一下正確答案自己糾正一下，或是做錯題集了事。但是我們不難發現有些錯誤，不管老師評講多少次，學生還是一錯再錯，使我們老師感覺非常無奈。因此我們《學科核心素養視角下高中“課外數學寫作”學習方法的研究》（批準號為2019YQJK458）省級課題小組成員對這方面進行了研究，發現主要原因是這些方式處理錯題時，老師在課堂上由于時間有限，學生人數較多，沒法對所有錯題出錯原因進行深度剖析，更沒法針對每一位學生特點進行講評;因此我們同學對自己做錯題的原因認識比較膚淺，沒有進行深入理解，故也沒能找到有效的防錯治錯方法與策略。針對這些問題與原因，我們課題組成員對錯題僅是我們老師在課堂上課評的方式進行了改進，引導學生針對自己所做的錯題利用課堂內外時間進行數學寫作，使學生通過這一學習方式的改進，使學生能針對自己的錯題原因進行深度思考，從而能找到有效的防錯治錯對策與方法，進而助力學生的數學學科素養生成。

二、數學錯題寫作

所謂數學錯題寫作就是以數學錯題為素材進行寫作，寫作內容主要是學生對一類錯題或專題進行錯因分析，并且針對錯因制定防錯治錯對策。主要形式可以個人針對自己在某一內容經常會犯的錯誤進行寫作，這也可是老師針對大部分同學們經常會犯的共同錯誤指定內容及寫作題目進行小組合作寫作。

三、案例顯現

案例1（個人自寫案例）

平面向量錯題分析與對策

錯題集

1.判斷下列命題的真假：

①若∥，∥，則∥

②已知與共線，則A，B，C，D四點共線.

③判斷真假：若·=·，則=或=

④（·）·=（·）·

錯解：①真命題，②真命題，③真命題，④真命題。

2.已知=（n，4），=（1，n）若向量與共線且同向，則n=

錯解：由已知條件得=（n，4），=（1，n），由與共線得n2=4，∴n=±2。

3.已知=（2，1），=（x，1），x∈R，與的夾角為θ，若θ為銳角，則x的取值范圍是__.

錯解：∵cosθ=，且θ為銳角，∴cosθ>0，

即>0，解之得x>-，故x的取值范圍是（-，+∞）

錯因分析：

1.沒有正確理解有關概念。如1.①中沒有理解好零向量可以與任意向量共線，故看到∥，∥，就錯誤地認為∥是正確的。②把向量共線與直線共線的概念混淆了，故當看到與共線就錯誤地認為直線AB與直線CD是同一條直線故判斷A，B，C，D四點共線.正確的。第2題沒有正確理解兩向量成角與兩條射線成角的概念，故錯誤地把向量與所成角看成∠CAB而出錯。

2.審題不夠細心。如第2題在審題的時候雖然注意到了=（n，4），=（1，n），且與=（1，n）共線得n2-4=0，n=±2，但卻忽視了它們還有同向的條件，故錯填了±2這個條件。

3.沒有弄清楚向量的等式性及向量的運算法則。如1③由于沒有真正弄清向量的等式性質，而錯誤地把實數的等式性質ab=ac可得a=0或b=c當作向量的等式性質，故而錯誤認為是·=·，則=或=正確的，再如又如1④，也是由于沒有弄清向量的數量積運算法則，把實數中運算法則（ab）c=（bc）a錯誤當成向量的運算法以致于把（·）·=（·）·看成是正確的。

4.等價轉換時出了差錯。如3題中與的夾角為θ為銳角等價成>0，錯漏了與共線且方向相同時，時與的夾角為θ=0，此時>0也成立的。

5.計算能力差。如對于第3題在計算時θ為銳角時利用這條式子>0進計計算，這不僅僅是等價轉解時出了差錯，即使是做了等價轉換那么還要計算一條式式≠1，顯然這運算量很大，也是很難保證運算正確。

防錯治錯對策

1.上課是要認真聽課。有些概念法則理解出錯就是沒有認真聽課造成的。如第1題，課堂上老師這類問題早已在課堂上分析過，但是由于自己上課時注意力不集中，沒有聽清老師的分析，對這個問題沒有正確的理解造成的，故上課時應該認真聽課。

2.課堂上所做的筆記要隔三幾天翻看一下。有些問題老師課堂上講得很清楚，自己也能聽明白理解得了，還做了筆記，但是由不經常翻看，故忘記了。如第1題，上課時雖然沒有認真聽課，其實是做了筆記的，若能及時進行翻看，把不明白的地方及時弄明白，把該熟記的地方記熟就不會出現這類問題的錯誤了。

3.做題時要審準題。如第2題這么簡單的題之所以做錯就是因為審題不準出錯的，因此在計算時要記得認真審準題，做完題后要抽空復查一下，不要慌里慌張的，要保持平常心態，做到會做的題都能都能做對。

4.這段時間要多做點題，特別是數學題。可能近段時間少做數學題，特別是計算題吧，在考試時做題題感很差，等價轉換時總會錯漏條件;做計算題時計算起來很生硬，有點患得患失的感覺，做起計算題時不僅速度慢還很容易出錯，甚至很簡單的計算題都會算錯。故這段時間要多做點數學題練練手感，總結點計算經驗和方法， 提高點計算的準確率和速度。如第3小題，若平時能多點做題及早累積到經驗：“兩個非零向量與的夾角為θ為銳角等價于>0且λ即x1x2+y1y2>0且x1y2-x2y1≠0。”那么在解這題時不僅提高了準確率，也大大提高了解題速度。

案例2（此例是由老師指定內容，由學生小組合作完成）

直線與平面所成的角錯因分析與對策

近段時間，大家在做立體幾何中的線面成角問題時總是會出現錯誤，以至于這類題丟分嚴重，我們學習小組經過合作研究發現主要有如下幾點原因。

1.線面成角的有關知識不熟悉。如有些同學出現了直線與平面所成角的余弦值為負數，把直線的方向向量的余弦值當作直線與平面所成角的余弦值等。

2.解題方法技巧掌握得不全面。大部分同學都比較熟悉同向量法求線面成角問題，但對幾何法掌握得不是很好，故一旦遇到一道空間直角坐標系難以建立時，我們的同學又不會從幾何法出發來想解法就亂來了， 而會幾何法的同學也僅僅是知道定義法，對于平行轉移法、等體積法也沒有掌握，故造成解題思路過于狹窄，而遇到不是自己熟悉的方法可以解決的問題就出現較大的失誤面丟分，甚至拿不到分的現象。

3.書寫表達不規范。很多同學表達沒有按立體幾何題計算題的常規步驟“一作、二證、三計算”進行書寫表達。大部分同學欠的是證明這個步驟，有的同學寫了也沒有按三段論格式來表達;也有的同學欠的是作圖說明這個步驟，有的同學更離譜的是有作圖說明，但沒有把輔助線作出來。

4.作圖不規范。如有的同學建立空間直角標系時沒有按斜二測畫法來畫圖，有的同學三條坐標軸的正方向上沒有畫出箭頭。其它地方主要表現在畫圖時虛實不分，沒有按“可見地方畫實線，不可見地方畫虛線。”原則畫圖，而出現主要是輔助線者畫虛線。這可能是受初中畫圖思維影響吧。

5.計算能力欠佳。這是個很嚴重問題，很多同學本來是知道怎樣做線面成角問題的，但是由于計算能力太差了，故總是算出結果是錯誤的而丟分，實在是太可惜了。

鑒于以上原因，我們制定了以下的應對策略。

1.熟記并理解直線與平所成角的定義與有關性質定理，每兩位成學結成一對，相互督促檢查，做到每一位同學都能熟記并理解有關概念與定理。

2.平時做題時要學會一題多解，學會從多個角度分析問題，掌握從多種解決問題的方法，在考試劃進才能做到得心應手而不至于無從下手導致亂寫。

3.書寫要按立體幾何的計算題的“一作、二證、三計算”的解題步驟進行表達，證明過程也要按三段論格式進行書寫，做到“重論據、有條理、合乎邏輯”的要求。

4.熟記作圖法測，按規則做圖，這方面大家以后注意點，應該很快就可以糾正過來的。

5.想方設法提高自己的計算能力。計算能力的提高很大程度上只能依靠自己，故大家這段時間有空多做點計算有關題目，積累點計算方面的經驗，把自己的計算能力提上來。

四、案例分析

以上案例1是一位高一學生在學習平向向量單元練習時針對自己所犯的錯誤而自定內容與題目寫的，案例2是在高三復習時針對學生學習線面成角時布置的定向內容定向命題經學習小組討論，再由學習小組長執筆寫成的。由這兩個案例我們不難看出，高中生進行數學錯題寫作至少有如下幾方面好處。

1.有利于學生轉變學習觀念，形成良好的數學學習習慣。數學學科核心素養是在數學學習中逐步形成的，故養成良好的數學習習慣是數學學科核心素養有效生成的必由之路。高中數學錯題寫作過程中，學生的目的就是防止同樣的錯誤不要再發生，故學生在數學寫作過程中必須積極主動地運用自己已有的知識和經驗對自己所做的錯題錯因進行深度剖析，并深刻理解，然后制定出有效的防錯治對策與策略，在小組合作寫作過程中還可以提供自己不懂問題能大膽向別人請教，傾聽別人意見與建議的機會，同時也提供了自己向有需要的錯題答疑及錯因分析同學幫助，發表自己對問題看法的機會。故高中數學通過數學錯題寫作，不僅僅能有效防止同類錯誤問題重復出現，同時也能改變以往僅僅從老師或同學學中獲得正確答案的被動學習觀念，在錯題寫作有利于同學們成成積極主動、深度學習、獨立思考、相互交流等良好的學習習慣，為學生的數學學科素養生成鋪設一條順暢大道。

2.有利于學生完善四基。所謂四基是指數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，四基不僅是正確解題的基本條件，同時也是數學學科素養生成的沃土。通過這兩個案例我們不能發現，學生不能正確解題的重要原因是對數學基礎知識的錯誤理解如案例1中對平面向量的有關概念理解出錯，案例2中對線面成角概念理解不到位等，對數學基本技能把握不位，如兩個案例中錯因分析中都提到的計算能力欠佳，對數學思想感悟不深刻，如案例1中錯因分析提到的轉化過程出現不等價現象，基本活動動經驗不足，如案例1中出錯原因之一就是受定勢思維不良影響，案例2中也提到了錯因之一就是沒有對線面成角求法、累積不全面等。從中我們不難看出，四基的欠缺會嚴重影響著數學解題的正確性，四基的完善則是正解題的基礎。而我們的學生在進行數學錯題寫作時，不僅可以發現自己在四基方面的不足，還可以有針對性地進行補缺，使自己的四基更加完善。前面的兩個案例1中的學生針對自己在平面向量的四基不足，案例2中的學生則是針對自己在線面成解方面的四基不足都做了有針對性地補漏。

3.有利于學生提升四能。四能是指發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。史寧中教授認為：發現問題和提出問題的過程是學生主動運用數學知識、技能、思想及至活動經驗進行數學抽象、數學表達、數學交流等的過程。在發現問題和提出問題之后，進一步對問題做出分析，選擇解決問題的策略、方法，最終解決問題，整個問題解決過程突出了能力培養并融入數學學科核心素養的要求，有效地支撐了數學學科核心素養的發展。錯題寫作過程不管是獨立思考如例1或合作交流如例2，都要求我們學生積極主動運用自己已有的知識和經驗對錯題錯因進行分析才能發現做題出錯的原因，并找出補救措施，防止以后再做同類問題時不再出現類似的錯誤。這個過程也是學生發現問題提出問題，分析問題及解決問題的過程，故數學錯題寫作有利學生四能提升。

4.有助于學生的書寫表達能力的提高。從我們的實踐經驗來看，學生在進行數學錯題寫作過程中不僅要把自己所想的表達出來，還要想方設法使自己想要表達的意思清楚，前后之間邏輯結構合理，語句簡潔明了等。為了要寫好一篇數學題作文必定會進行反復斟酌，甚至有時為了能準確地表達一個意思，還會與同學、老師進行互動交流。由此可見，學生的錯題寫作對提高他們的書寫表達能力是非常有幫助的。

結語

綜上可知，高中學生進行數學錯題寫作過程中，他們必修充分發揮自己的主觀能動性，充分調動自己已有的知識和經驗對題目做錯的原因進行分析，并找到防錯治錯的方法，而且還要用語言文字表達出來。這不僅能有效防止同類錯誤反復出現，而且有助于培養學生養成良學的學習習慣，完善四基，提升四能，提高學生的書寫表達能等，從而有效提高學生解題能力，提升解題的準確率，同時有利于學生學會用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數語言表達世界，進而有助于提升他們自身的數學學科核心素養。

【本文系廣東省教育科學規劃課題“學科核心素養視角下高中‘課外數學寫作’學習方法的研究”（課題編號：2019YQJK458）的研究成果】