巖石損傷本構(gòu)方程的研究和應(yīng)用

余秀平，劉保川，吳軍國，胥克明，高飛，楊旭

（中鐵四局集團(tuán)第二工程有限公司，江蘇 蘇州 215131）

1 引言

巖石本構(gòu)關(guān)系的研究是巖石力學(xué)工作者關(guān)注的重點。實際工程活動中，巖體基本上是經(jīng)過地質(zhì)活動后的損傷巖體，因此，對巖石損傷本構(gòu)方程的研究顯得尤為重要。由曹文貴教授，徐衛(wèi)亞教授[1,2]引進(jìn)的巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布的概念，建立了巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型，發(fā)展了損傷本構(gòu)方程的研究，但是其模型的建立是基于莫一條試驗曲線的，不具有普遍性。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，基于D_P準(zhǔn)則和材料存在應(yīng)變閥值[3]的事實，對損傷本構(gòu)方程進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，并對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了擬合處理，提高了普遍適用性，以期對實際巖石工程實踐有更好的指導(dǎo)作用。

2 損傷本構(gòu)關(guān)系的建立

Lemaitre應(yīng)變等價性原理[4,5]認(rèn)為在有效應(yīng)力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變與同種材料無損時發(fā)生的應(yīng)變等價。傳統(tǒng)的損傷理論認(rèn)為力不能通過損傷傳播，然而在巖石受壓過程中，巖石微元破壞后還可以傳遞部分壓應(yīng)力和剪應(yīng)力。根據(jù)文獻(xiàn)[2,6]，假定破壞面積對壓應(yīng)力和剪應(yīng)力的傳遞效果一樣，設(shè)傳壓系數(shù)為cn。因為巖石破壞微元在空間3個主方向的投影面積和總面積比率都一樣大，所以各個方向的損傷都用D來表示，則巖石損傷本構(gòu)關(guān)系為：

式中：{ε}為應(yīng)變矢量，{σ*}為有效應(yīng)力矢量，{σ}為名義應(yīng)力矢量，[C]為彈性柔度矩陣，D為損傷變量。

3 巖石微元強(qiáng)度和損傷變量的計算

3.1 基于D_P準(zhǔn)則的巖石微元強(qiáng)度的求取

基于D_P準(zhǔn)則表示的巖石微元強(qiáng)度為：

常規(guī)三軸試驗中，可以測得巖石名義應(yīng)力σ1，σ1=σ3以及應(yīng)變ε1，由（1）式和虎克定律可以求出對應(yīng)的有效應(yīng)力和應(yīng)變：

把式（3）～（8）代入式（2），得巖石微元強(qiáng)度表達(dá)式為：

3.2 基于Weibull分布的巖石損傷變量的確定

巖石是一種非均質(zhì)材料，內(nèi)含大量隨機(jī)分布的裂隙、空洞、界面等缺陷，因此，巖石微元在壓力作用下的破壞也應(yīng)該是隨機(jī)的。假定巖石微元破壞的概率與應(yīng)力、應(yīng)變有關(guān)，且微元強(qiáng)度服從Weibull分布，則概率密度函數(shù)為：

定義巖石損傷變量D為：

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的研究：任何形式的材料內(nèi)部缺陷或微損傷，其演化過程同時依賴于應(yīng)變和應(yīng)變率，即D=D(ε,)。對于恒應(yīng)變率過程，損傷演化存在某個應(yīng)變閾值。由剛性壓力機(jī)做巖石力學(xué)試驗得到的全應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖1。

圖1 巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線

可知在OA和AB階段內(nèi)，巖石通常呈彈性性質(zhì)，有時在OA段也有殘余變形，AB段可能出現(xiàn)細(xì)微的開裂，但是巖石的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)這兩階段中并無大的改變，所以我們把屈服強(qiáng)度B點對應(yīng)的應(yīng)變εb定義為應(yīng)變閥值[8]，則損傷變量可以表示為：

聯(lián)立式（6），（7），（8），（11）可得巖石三軸全應(yīng)力-應(yīng)變曲線為：

再聯(lián)立式（12），（13）可得巖石損傷統(tǒng)計本構(gòu)方程為：

4 參數(shù)m,F0的計算與修正

4.1 參數(shù)m,F0的計算

參數(shù)m，F(xiàn)0的求取一般有兩種方法。

①通過對本構(gòu)方程進(jìn)行2次對數(shù)變換和線性擬合求m，F(xiàn)0。過程如下：

對式（13）進(jìn)行對數(shù)變換得：

再對式（15）進(jìn)行對數(shù)變換得：

令b=ln(a)，x=ln(k)，F(xiàn)0則可以表示為：

擬合曲線可以表示為：

通過線性回歸得到m，b的具體值，再代入到式（17）即可求得F0。

②通過求應(yīng)力對應(yīng)變的偏微分，再代入應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值點求m，F(xiàn)0。過程如下：

式中：Fc為巖石在峰值點的微元強(qiáng)度，通過把

σc，εc代入式（9）可以計算出具體值。再把σc，εc帶入式（13）得：

聯(lián)立式（19），（20），整理后可得：

其中：

然后把巖石應(yīng)力-應(yīng)變試驗的相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可得到具體值。

4.2 參數(shù)m,F0的修正

由式（14）表示的損傷本構(gòu)方程是建立在單條試驗曲線上的，因此在反映不同應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系時仍然存在誤差[9]。為了反映多條試驗曲線的綜合情況，通過建立m，F(xiàn)0與圍壓σ3的關(guān)系，對其數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，得到他們之間的關(guān)系式，達(dá)到參數(shù)修正的目的。引用文[10]中的數(shù)據(jù)，見表1。

不同圍壓下?lián)p傷統(tǒng)計擬合參數(shù) 表1

對m-σ3，F(xiàn)0-σ3的散點分布分別進(jìn)行二次多項式進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖2，圖3所示。

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圖2 參數(shù)m隨圍壓σ3變化的關(guān)系

圖3 參數(shù)F0隨圍壓σ3變化的關(guān)系

擬合后的關(guān)系式分別為：

相關(guān)擬合系數(shù)分別為0.9145，0.9758。把式（26），（27）代入式（14），再選取合適的傳壓系數(shù)，如令cn=0.80，即可得修正后完整的損傷本構(gòu)方程：

5 損傷本構(gòu)方程的應(yīng)用舉例探討

巖石微元體拉，剪作用是同時存在的，因此哪一個先達(dá)到臨界狀態(tài)，便以哪種形態(tài)發(fā)生破壞，所以用單一的破壞準(zhǔn)則來研究巖石破壞是不全面的。

5.1 張拉破壞

最大拉應(yīng)變理論認(rèn)為巖石破壞是由拉應(yīng)變引起的，而在巖石三軸壓縮試驗中，最大拉應(yīng)變發(fā)生在最小主應(yīng)力方向上，因此定義巖石張拉破壞時的強(qiáng)度指標(biāo)T為：

式中：ε3為巖石最小主應(yīng)變，壓為正，拉為負(fù)。

5.2 剪切破壞

當(dāng)巖石剪切應(yīng)變γ超過臨界值即可認(rèn)為發(fā)生剪切破壞。由八面體剪應(yīng)變理論定義臨界值γ0：

常規(guī)三軸試驗中，σ2=σ3，所以，ε2=ε3，可化簡為：

式中：ε1和ε3是巖石的最大主應(yīng)變和最小主應(yīng)變，壓為正，拉為負(fù)。把式（28）表示的曲線中某一點所對應(yīng)的相關(guān)數(shù)據(jù)分別代入到式（33），（35），然后再比較T和γ0，即可知道巖石以何種形式破壞。

巖石發(fā)生張拉破壞還是剪切破壞已經(jīng)有了相應(yīng)的判別方式，而通過試驗擬合T和γ0與圍壓的關(guān)系，以期建立比較精確的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則是下一步研究的重點。

6 結(jié)論

①為了反映巖石破壞后能夠繼續(xù)傳遞力的能力，在傳統(tǒng)有效應(yīng)力計算方程中加入傳遞系數(shù)cn，更加符合實際情況。

②針對材料在恒應(yīng)變率過程中損傷演化存在應(yīng)變閾值，對巖石損傷本構(gòu)方程進(jìn)行了分段處理，與傳統(tǒng)方法相比提高了對巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合度。

③對Weibull分布模型參數(shù)m，F(xiàn)0的求取提出了兩種方法，即傳統(tǒng)的二次取對數(shù)法和應(yīng)力對應(yīng)變?nèi)∑⒎址ǎ?shù)進(jìn)行了擬合修正。

④舉例說明了損傷本構(gòu)方程的應(yīng)用，同時也提出了不足之處，以及討論了當(dāng)前工作的難點所在，指明了下一步研究的方向。