基于多分辨率動態(tài)模態(tài)分解的電磁信號時頻-能量分析

鄭建擁, 魏光輝

(陸軍工程大學石家莊校區(qū)電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點實驗室, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

由于現(xiàn)代電子產(chǎn)品如5G手機、虛擬現(xiàn)實和物聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展和普及,電磁環(huán)境變得非常復雜。伴隨而來的復雜電路系統(tǒng),包括非線性元件、不連續(xù)結(jié)構(gòu)和復雜的激勵信號,會遇到串擾、輻射泄漏、高次諧波以及由此產(chǎn)生的非線性電磁輻射等問題,已經(jīng)成為射頻干擾和寬帶輻射雜散發(fā)射的噪聲源。通常,這些信號和輻射只能被記錄和呈現(xiàn)為時域或頻域信號,而環(huán)境中電磁輻射的動態(tài)變化也對信號處理和工程技術(shù)提出了高要求。因此,正確實時分析和解釋電磁輻射的更多物理特性具有重要意義。為了解決這一問題,學者們提出了一種對傳統(tǒng)掃頻測量的頻率數(shù)據(jù)進行傅里葉反變換的頻域瞬態(tài)建模方法。然而,這種方法需要在頻域和時域分辨率之間進行權(quán)衡,通常需要大量的測量時間才能達到預期的效果。為了解決這一問題,出現(xiàn)了幾種時域電磁干擾(electromagnetic interference,EMI)測量系統(tǒng),利用數(shù)字信號處理技術(shù)減少測量時間,如模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器和數(shù)字示波器。這些時域EMI測量系統(tǒng)具有多分辨率、全頻譜、省時、低成本等優(yōu)點。隨后,經(jīng)驗模態(tài)分解,也被稱為Hilbert-Huang變換,將時變數(shù)據(jù)集分解為幾個內(nèi)在模態(tài)函數(shù),提供對測量結(jié)果的物理解釋。然而,由于時域測量方法的限制,對保留信號完整性至關(guān)重要的輻射場空間信息丟失了。隨著時域數(shù)值方法和先進的空間實驗技術(shù)對電磁輻射、時變輻射場數(shù)據(jù)的高空間分辨率分析的發(fā)展,學者們開發(fā)了基于空間特征提取來定義物理特征輻射的領(lǐng)域。尤其是,奇異值分解可以從微帶線的輻射場中提取模態(tài),其中每個模態(tài)由特征幅值來區(qū)分。還有研究將奇異值分解和時域有限差分相結(jié)合,可以提取出所有可能的傳播模態(tài)和倏逝模態(tài)而不需要有復雜三維結(jié)構(gòu)的先驗知識。然而,上述空間分析方法中丟失了時域信息,因此在分解的結(jié)果中沒有明確的時間物理意義。

針對這些信號分析方法時-頻-空間不兼容的問題,動態(tài)模態(tài)分解(dynamic mode decomposition,DMD)被開發(fā)出來。DMD來源于庫普曼理論和動力系統(tǒng)的結(jié)合,是一種無方程的、數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法,可以在短時間內(nèi)對復雜系統(tǒng)中的時空相干結(jié)構(gòu)進行評估甚至預測,已成為一種處理時空信號的新工具。DMD方法的核心是將本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)這一空間降維技術(shù)與時域傅里葉變換相結(jié)合。更準確地說,DMD方法在數(shù)據(jù)收集范圍內(nèi)生成一個線性動力系統(tǒng)的最小二乘回歸。在具有可觀測狀態(tài)的動態(tài)系統(tǒng)中,基于局部線性假設(shè),該方法可以得到動態(tài)系統(tǒng)的主模態(tài)及其變化規(guī)律。該方法通過低維分解狀態(tài)來捕捉非線性動力場的主要特征,產(chǎn)生非線性偏微分方程的可觀測值,并在全球電力系統(tǒng)和大規(guī)模神經(jīng)記錄中提取顯著的時空模式。但是在諸多研究中,DMD多用于流體動力學、振動力學等動力學領(lǐng)域,而在電路和電磁輻射信號分析等電動力學方面,并沒有很深入的研究。在射頻信號分析方面也沒有時空耦合的分析方法。

同時,在時間和空間上的多尺度系統(tǒng)建模,已經(jīng)滲透到工程、生物和物理科學的現(xiàn)代理論和計算工作中。數(shù)據(jù)驅(qū)動的創(chuàng)新方法和算法規(guī)避了連接微觀和宏觀尺度效應(yīng)的重大挑戰(zhàn)。這種多分辨率分析(multi-resolution analysis, MRA)一般是基于小波變換或加窗傅里葉變換來執(zhí)行的。Kutz整合了DMD分解與小波理論,將MRA的概念與最近興起的DMD相結(jié)合,提出一種產(chǎn)生低維時空模態(tài)的技術(shù),提出的多分辨率DMD(multi-resolution DMD, mrDMD)能夠自然地整合空間和時間,方便地分離多尺度時空特征,并建立近似的動力學模型。

mrDMD兼具DMD的所有優(yōu)點。首先,不需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法所要求的訓練過程,避免了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所需的大量數(shù)據(jù)和訓練時間。其次,這種純數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法不受時頻分辨率限制,可以實現(xiàn)基于數(shù)據(jù)的實時分析。第三,提取的DMD頻譜和動態(tài)模式分別在時域和空間域提供了明確的物理意義。最后,提出的方法可以降低維數(shù)。分解后的動態(tài)模態(tài)中已經(jīng)包含了線性和非線性系統(tǒng)的主要特征。mrDMD最顯著的改進,是增強了頻率捕捉的能力,并且在醫(yī)學檢測、圖像處理、非線性分析等領(lǐng)域取得了良好的成果。但在電磁領(lǐng)域,還沒有相關(guān)應(yīng)用。

本文首次將mrDMD引入到電磁信號分析領(lǐng)域,在mrDMD的基礎(chǔ)上結(jié)合時頻分布,提取各模態(tài)瞬時能量特征,并對電磁輻射信號進行分析。且首次從時-頻-空間-能量4個方面多角度動態(tài)偵測電磁環(huán)境,解決了電磁信號時-頻-空間-能量分析不兼容的問題。這個新方法可以為大規(guī)模EMI分析提供強有力的工具。

1 DMD理論基礎(chǔ)

DMD方法將時空相干的數(shù)據(jù)分解為一組動態(tài)模式,這些動態(tài)模式來源于給定系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)快照或測量結(jié)果。數(shù)據(jù)收集過程涉及兩個參數(shù):,每個時間快照的空間測量的數(shù)量;,時間快照的數(shù)量。DMD中時間快照的間隔可以是不規(guī)律的,但是為了敘述方便,設(shè)定快照間隔的時間相等:

=-1+Δ

(1)

式中:采集時間開始于,結(jié)束于;為整數(shù)計數(shù)單位,Δ為數(shù)據(jù)采集時間間隔。在mrDMD方法中,由于算法提取的是多時間尺度時空結(jié)構(gòu),快照總數(shù)會發(fā)生變化,數(shù)據(jù)快照被排列成一個×矩陣。這將在下一章詳細解釋。

=[(),(),…,()]

(2)

式中:向量為維列向量,是在數(shù)據(jù)采集點上感興趣的系統(tǒng)狀態(tài)變量的個測量值,目的是挖掘數(shù)據(jù)矩陣中重要的動態(tài)信息。接著,截取中的一個×分矩陣,定義為

(3)

DMD方法近似于所謂的庫普曼算子的模態(tài)。庫普曼算子是一個線性的、無限維的算子,具體的過程是對其最佳擬合線性算子的特征分解進行近似,該算子將時刻的狀態(tài)與下一個時間的狀態(tài)+1相關(guān)聯(lián):

+1≈

(4)

(5)

由此,式(4)可以寫成如下形式:

(6)

相反地,DMD通過應(yīng)用基于POD投影矩陣的秩約化表示來繞過的特征分解。DMD算法具體如下。

(7)

(8)

(9)

式中:的列是特征向量;是包含相應(yīng)特征值的對角矩陣。

最后,可以從和中重建的特征分解。的特征值由給出,的特征向量(即DMD的模態(tài))由列給出:

(10)

得到所有特征值和特征向量以后,就可以構(gòu)造未來所有時間的預測解。為了方便,首先重寫=ln()Δ,然后給出所有未來時間的近似解():

(11)

現(xiàn)在只剩下計算初始系數(shù)值(0)。如果考慮=0時刻的初始快照,那么結(jié)合式(11)得出的=,通常不是一個方陣,所以其解一般表示為

=

(12)

式中:表示在Matlab中通過pinv命令解出的Moore-Penrose偽逆。偽逆等價于在最小二乘(最佳擬合)意義上找到最佳解決方案。到此,完成DMD的基本推導。

2 mrDMD

mrDMD的靈感來自于視頻處理和傳輸中分離慢模塊和快模塊的技術(shù),其可以遞歸地從給定的快照集合中分離出低頻或緩慢變化的內(nèi)容。一般來講,需要合適地選擇快照的數(shù)量,以便DMD提供所采集到的動態(tài)數(shù)據(jù)的近乎全秩的近似模態(tài)。因此，可以選擇,使所有的高頻和低頻內(nèi)容都存在。在mrDMD中,最初以同樣的方式選擇,這樣就可以完成一個近乎全秩的近似。從這個初始的數(shù)據(jù)傳遞過程中,最慢的模態(tài)被分離出,然后數(shù)據(jù)域被分成兩部分,每部分有/2個快照。之后還會對這兩部分的快照再次執(zhí)行DMD。再次分離出最慢的模態(tài),并繼續(xù)執(zhí)行算法,直到期望的終止。在數(shù)學上,mrDMD在第一輪DMD過程如下:

(13)

式(13)中的第一個和表示慢模塊動態(tài),而第二個和是所有其他的。因此,可以計算第二個和,得到矩陣:

(14)

接著,在2上進行第二輪DMD分解,主要注意的是,2已經(jīng)被分為兩部分:

(15)

(16)

3 時頻分布

近年來,時頻分析在信號處理領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注。時頻處理方法是將信號顯示在一個完整的空間中,可以提供更多的信號信息,是結(jié)合頻域和時域發(fā)展起來的信號處理方法,而且這些方法在非平穩(wěn)信號處理中更為實用。但是,目前信號的振幅或功率譜不能提供信號頻率如何隨時間變化的信息,而這一信息對于調(diào)頻或非平穩(wěn)信號非常重要。尤其是目前工程技術(shù)要求實時分析變化的電磁信號的多種特征信息。

為了使mrDMD能更進一步地提取電磁信號的能量特征,采用蔡氏分布(Choi-Williams distribution,CWD)方法觀察所有模態(tài)的時頻分布:

(17)

的值指定了在時間-頻率平面上去除重疊部分的剩余信號的數(shù)量。研究表明:

(1) CWD是實值;

(2) 信號在時間(或頻率)上的移位導致相應(yīng)的分布移位;

(3) 在每個頻率上所有時間的CWD的積分等于該頻率上信號的頻譜密度;

(4) 每一時刻的CWD對所有頻率的積分為該時刻的瞬時功率;

(5) 在整個(,)平面上的積分等于總信號能量。

需要注意的是,在時頻域檢測信號的特性比單獨在時域或頻域檢測信號的特性要容易得多。為了提取電磁信號的時-頻-能量這3種相互關(guān)聯(lián)的特征信息,沿時間軸和頻率軸的時頻平面,將整個平面劃分成不同的區(qū)域,然后通過積分可以獲得每個區(qū)域的能量隨時域(頻域)動態(tài)變化的具體過程。CWD可以詳細描述沿時間軸、頻率軸和整個時頻平面的能量變化,而能量變化的細節(jié)更能提供有用的信息。而整體特征,例如時頻平面的總能量,可以通過求和獲得,也可以為電磁信號分析提供一部分參考。

具體而言,首先將時頻平面劃分為小的、相等的窗口,然后計算每個窗口的能量(,其中和分別表示沿時間和頻率的坐標)。這些能量歸一化后的總和為時頻平面的全部能量。對信號細節(jié)的分析具體可以通過調(diào)節(jié)小窗口的大小和數(shù)量來掌控。而沿不同方向的積分(時域軸和頻域軸)可以獲得不同類型的信號特征信息。

4 仿真實驗

為驗證本文的方法,利用Matlab的simulink工具箱,建立了兩個方向正交、頻率不同的二維時空耦合的射頻電磁信號模型,并在加入高斯白噪聲后合成混合信號,通過上述方法流程進行處理。

信號1沿軸正方向傳播,設(shè)置為10 ns。的頻率設(shè)置為100 MHz,其公式如下:

=sin(-2π)cos(2)exp()

(18)

信號2沿軸正方向傳播,的頻率設(shè)置為50 MHz,其公式如下:

=sincos(2-π)exp()

(19)

兩個信號的動態(tài)傳播演示如圖1所示,分別截取了總信號和兩個分信號一個周期的傳播形態(tài)。

圖1 仿真信號動態(tài)演示Fig.1 Dynamic demonstration of simulated signal

需要注意的是,圖1中代指各信號周期,不代表具體時間。接下來對總信號進行mrDMD處理,分解后的前三階模態(tài)如圖2所示。

圖2 mrDMD結(jié)果Fig.2 Results of mrDMD

需要注意的是,圖2中黑色箭頭代表的是電磁波的傳播和振動方向。如圖2所示,mrDMD清晰地將不同頻率和不同方向的兩個時空耦合信號分離開來,而第三階分解模態(tài)代表了高斯噪聲。

圖3是經(jīng)過CWD的總信號時頻分析結(jié)果。圖4是經(jīng)過CWD的兩個分信號時頻分析結(jié)果。可見,mrDMD對兩個信號和噪聲的分離效果比較理想。結(jié)合圖3和圖4,可以采集更多電磁信號的時-頻-能量信息。

圖3 總信號CWD分析結(jié)果Fig.3 CWD analysis results of total signal

圖4 兩個分信號CWD分析結(jié)果Fig.4 CWD analysis results of two subsignals

為了定量理解所提出方法的精度,使用均方誤差(mean squared error, MSE)函數(shù)作為誤差指標:

(20)

式中:()為實際電磁信號(場)的強度；()為DMD分解后重組或者預測的電磁信號(場)強度;將兩個分信號組合后得到重構(gòu)信號,并計算重構(gòu)信號和實際信號的MSE,如圖5所示,MSE的平均值在-18 dB以下,驗證了方法的良好效果。第5 ns時,MSE最大的誤差主要來自仿真中的數(shù)值誤差和分解中的殘差誤差。

圖5 重組信號和原信號的MSEFig.5 MSE of the recombinant signal and the original signal

需要注意的是,mrDMD要求每個時間快照保存的空間點的數(shù)量應(yīng)該大于快照的數(shù)量,且mrDMD在觀察時需要等間隔的時間采樣。另外,觀測中的噪聲會干擾式(8)中的矩陣,使分解結(jié)果失真,從而使預測或重組的性能變差,對于長時間預測尤其如此，而且mrDMD方法只適合于分析非平穩(wěn)電磁信號。此外,DMD方法可以看作是庫普曼算子的有限維近似,其中觀測函數(shù)是數(shù)據(jù)本身。因此,在DMD方法中重建和預測的效果完全依賴于數(shù)據(jù),這也就對信號的探測和采集提出了更高的要求。

5 結(jié) 論

以精確、實時的分析電磁信號的時空-頻率-能量特征,適應(yīng)目前動態(tài)變化的電磁信號分析的工程要求為目的,首次提出了對電磁射頻信號進行多重特征分析。采用mrDMD和CWD分析方法,對電磁信號的時間、空間、頻率、能量特征進行了采集。可得出以下結(jié)論:

(1) mrDMD可以有效地分離出時空耦合的不同頻率的射頻電磁信號和噪聲,并且可以精確地捕捉信號的運動狀態(tài);

(2) CWD視頻分析技術(shù)可以應(yīng)用于mrDMD分解出的模態(tài)的時頻分析,在時-頻-能量特征的采集方面具有比較理想的效果;

(3) 仿真實驗結(jié)果證明了提出的電磁射頻信號時空-頻率-能量分析方法的可行性,可以為抗電磁干擾提供一定工程參考。