并聯式運載器上升段廣義超螺旋有限時間控制

羅世彬, 李曉棟, 王忠森, 徐 騁

(1. 中南大學航空航天學院, 湖南 長沙 410083; 2. 復雜系統控制與智能協同技術重點實驗室, 北京 100074)

0 引 言

可重復使用飛行器多采用升力式面對稱構型,具有升阻比高的特點和長航程與強機動能力,將可重復使用飛行器作為載荷與助推火箭并聯捆綁發射,載荷的幾何形狀和空間體積不受約束,可提高火箭的運載能力,并可實現助推火箭傘降回收,具有較強的應用價值。

并聯式運載器垂直發射后的一段時間內舵面效率較低,采用搖擺發動機來調整姿態,發動機關機后則采用氣動舵來調整姿態,其上升段飛行空域大、速域寬,經歷發動機關機等過程,不可避免地受到總體、結構參數偏差和風干擾等各種不確定性因素的影響,這就要求姿態控制系統在惡劣的飛行環境下具有高可靠性、參數適應能力和較強的抗干擾能力。

由于滑模控制方法對系統的模型不確定性、外部干擾等具有較強的魯棒性,基于滑模的運載火箭姿態控制得到了廣泛研究。自適應滑模控制方法可以有效解決由滑模控制中的不連續控制項引起的系統抖振問題。文獻[9]提出了一種自適應模糊滑模控制方法,以應對運載火箭強參數不確定性和大干擾條件下的姿態控制問題。文獻[10]設計了自適應滑模反步控制器專門用于運載火箭滾轉通道控制,保證系統具有理想的跟蹤能力。文獻[11]針對運載火箭在大擾動下的姿態穩定控制需求,設計了自適應積分滑模控制器,在干擾上界未知的情況下對其進行自適應估計,實現了運載火箭高精度姿態控制。文獻[12]和文獻[13]分別將動態面控制、自適應反演和自適應滑模觀測器技術結合,研究了運載火箭的姿態控制問題,并且仿真效果良好。

隨著對控制性能要求的不斷提高,基于滑模的有限時間控制方法在運載火箭中也得到越來越多的關注。文獻[18-20]利用干擾觀測器對干擾進行快速高精度估計,提出了基于擾動觀測補償策略的有限時間滑模控制方法,實現了參數不確定和復雜干擾下運載火箭飛行高精度姿態穩定控制。文獻[21]基于滑模控制和自適應動態規劃技術,設計了集容錯穩定控制與優化補償于一身的智能控制方法,解決了運載火箭主動段發動機搖擺機構故障下的有限時間控制問題。文獻[22-23]將運載火箭執行機構故障及不確定性一并視作總擾動，設計了有限時間滑模容錯控制方法,獲取了良好的動態性能和較強的魯棒性。

高階滑模控制方法將高頻切換控制轉移到滑模變量的高階導數上,有效抑制了滑模抖振,同時保留著傳統滑模的良好特性,但對高階滑模面的導數信息的需求,無疑大大增加了在線計算的復雜度。為了避免求解滑模面導數信息,且仍保留二階滑模的收斂精度及小抖振特性,現發展起來了一種更為有效的二階滑模控制算法——超螺旋算法。通過該算法設計的連續控制輸入,無需滑模面的導數信息,且能在連續有界的匹配干擾影響下使滑模面及其導數有限時間收斂至零。文獻[30]針對運載火箭垂直回收的姿態控制問題,基于擴張狀態觀測器提出了一種基于改進超螺旋的終端滑模有限時間控制方法,其對模型不確定和外部擾動具有較強魯棒性,可以對姿態指令進行準確快速跟蹤。

本文將姿態控制器的魯棒設計作為目標,同時研究有限時間控制問題,提出了一種基于廣義超螺旋的自適應滑模有限時間控制方法,將應用于單輸入單輸出(single input single output, SISO)系統的廣義超螺旋算法拓展應用到多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)耦合非線性系統,降低了控制系統設計的難度和復雜度,同時系統的有限時間穩定性容易得到保證。首先,考慮模型不確定和外部干擾對并聯式運載器的影響,建立了面向控制的模型。其次,基于廣義超螺旋算法設計了一種固定時間狀態觀測器,解決了部分飛行狀態不可測問題,為后續控制器設計提供基礎。進一步地,基于觀測器對狀態的估計信息和廣義超螺旋算法,設計了一種自適應滑模有限時間控制器,保證了姿態跟蹤誤差有限時間收斂。然后,利用Lyapunov穩定性理論證明了系統的有限時間穩定特性。最后,通過對比比例-微分(propotional and differential, PD)控制,充分驗證本文所提控制方法的魯棒性、高精度和良好的動態性能。

1 運動建模與問題描述

并聯式運載器由助推火箭和可重復使用飛行器組成,兩級平行豎立、并聯捆綁,采用垂直方式進行發射。上升段采用搖擺發動機和氣動舵進行控制,其中發動機采用面對稱布局,僅在俯仰平面內做單擺運動,其擺動同時影響繞質心運動和質心運動。

運載器的運動方程由兩部分組成,即描述質心運動的平動方程和繞質心運動的轉動方程。本文通過飛行器的繞質心運動來獲得姿態信息,重點研究其姿態控制問題。為便于研究,假定飛行器為面對稱的剛體,箭體坐標系為慣性主軸系,忽略慣性積的影響,給出以下繞質心運動方程:

(1)

(2)

(3)

考慮模型不確定和外部干擾的影響,并將運載器繞質心運動方程寫成矩陣方程形式:

(4)

=diag(,,)

(5)

建立姿態跟蹤誤差系統:

(6)

總擾動連續可微,其本身及其導數未知但一致有界。

本文的控制目標是,基于廣義超螺旋算法來設計控制輸入,提高并聯式運載器的抗干擾能力和響應的快速性,克服模型不確定和外部干擾帶來的不良影響,保證姿態跟蹤誤差有限時間收斂。

2 預備知識

對于∈,即=[,,…,],sig()=[||sign(),||sign(),…,||sign()],sign()為符號函數。

對于狀態量,∈,設計以下SISO系統:

(7)

(8)

式中:為有界干擾;,>0;,,≥0;12≤≤1≤。文獻[17]構造了包含系統狀態的Lyapunov函數((),),并對其求導,經過變換得到以下不等式:

(9)

式中:,,>0。通過以上步驟可以證明系統(7)為固定時間穩定的廣義超螺旋系統,具體證明過程此處不再贅述。

對于∈(=1,2,…,),0<≤1,>1,有以下不等式成立:

(||+…+||)≤||+…+||

(||+…+||)≤-1(||+…+||)

定義∈為狀態量,為控制輸入,給出以下非線性系統:

(10)

若系統(10)存在正定且連續的函數()滿足

式中:,>0,0<<1,>1,則該系統固定時間穩定。

若系統(10)存在正定且連續的函數()滿足

式中：>0,0<<1,則該系統有限時間穩定。

若系統(10)存在正定且連續的函數()滿足

式中:,?>0,0<<1,則該系統實際有限時間穩定,即系統狀態能在有限時間內收斂到平衡點的鄰域。

定義狀態向量,∈,給出以下非線性系統:

式中：0<<1,,是使++為Hurwitz多項式的正常數,則該系統有限時間穩定。

3 基于廣義超螺旋的自適應滑模有限時間控制方法

本文控制系統結構如圖1所示,將應用于SISO系統的廣義超螺旋算法拓展應用到MIMO耦合非線性系統,來開展固定時間狀態觀測器和自適應滑模有限時間控制器設計。一方面,利用觀測器對不可測狀態的估計信息,進一步結合自適應控制技術和滑模控制技術,實現各類不確定下的高精度姿態跟蹤控制。另一方面,傳統的PID控制和基于Lyapunov穩定性理論的方法只能得到漸進穩定的結果,即只有當時間趨于無窮大時系統狀態才能收斂,為了控制目標盡快實現,基于廣義超螺旋固定時間控制理論來設計控制系統,同時也能降低系統設計的難度和復雜度。

圖1 控制系統結構Fig.1 Structure of control system

3.1 固定時間狀態觀測器

(11)

(12)

式中:=diag(1, )和=diag(2, )為三階的增益對角矩陣,1, ,2, >0;,,≥0;12≤≤1≤。

針對式(6)所示跟蹤誤差系統,假設系統輸出和控制輸入已知,且系統總擾動有界,采用式(11)所示的狀態觀測器,其估計誤差和將在固定時間收斂。

建立估計誤差系統:

(13)

根據引理1,選取合適的Lyapunov函數, ((1, ),2, )(=1,2,3)并求導可得

(14)

式中:0, ,1, ,2, >0。

為分析MIMO系統的穩定性,選取以下Lyapunov函數:

(15)

對求導,并根據引理2可得

(16)

式中:0=min{0, };1=min{1, };2=min{2, }。根據引理3可知,狀態觀測器的估計誤差將在固定時間收斂。

證畢

3.2 自適應滑模有限時間控制器

選取終端滑模面:

(17)

式中:,是使++為Hurwitz多項式的正常數;=(2-);0<<1。

考慮到實際應用中指令加速度難以獲得,故實際的終端滑模面:

(18)

針對跟蹤誤差系統(6),為克服模型不確定和外部干擾的影響,增強系統的魯棒性,基于廣義超螺旋算法設計如下自適應滑模有限時間控制器:

(19)

(20)

式中:=diag(1, )和=diag(2, )為三階的增益對角矩陣,1, ,2, ≥0;,,≥0;12≤≤1<。為了提高控制的快速性和魯棒性,將1, ,2, 設計成與滑模面有關的自適應增益:

(21)

式中:1, ,1, ,1, >0;, 為滑模面閾值。

基于上述設計的控制方法,系統的穩定性分析在以下定理中給出。

對于跟蹤誤差系統(6),在固定時間狀態觀測器(11)和自適應滑模有限時間控制器(19)作用下,系統是有限時間穩定的,即跟蹤誤差,能在有限時間收斂。

對終端滑模面(18)求導可得

(22)

將控制律(19)代入滑模面導數(22)可得

(23)

當固定時間狀態觀測器穩定后,式(18)和式(23)可分別寫為

(24)

(25)

(26)

式中:0, ,1, ,2, >0。

為分析MIMO系統的穩定性,選取以下Lyapunov函數:

(27)

(28)

式中:0=min{0, };1=min{1, };2=min{2, }。

(29)

對正定的, 求導,可得

(30)

對式(26)進行放縮,可得

(31)

引入輔助變量2, >0,聯立式(31)、式(30)可寫為

(32)

令

(33)

假設自適應增益1, ,2, 有界,式(32)可寫為

(34)

式中:=min{0, ,1, ,2, }。

根據引理2,可得

(35)

將影響自適應增益的參數按以下兩種情況展開討論。

(36)

要使=0,可以通過以下自適應增益2, 來實現:

(37)

式中:

式(37)意味著,任意選取1, ≥0,總能構造兩個輔助變量2, ,2, >0來證明式(36)等號右邊為0,即=0。

綜合以上兩種情況,式(35)可寫為

(38)

為分析MIMO系統的穩定性,選取以下Lyapunov函數:

(39)

對求導,根據引理2,可得

(40)

式中:=min{};=max{}≥0。

當任意通道的滑模面均大于其閾值,即>, 時,則滿足=max{}=0,1, ,2, 按收斂到原點的方式進行動態響應;一旦在有限時間內存在≤, 使=max{}>0成立,則1, ,2, 將在有限時間到達滑模面的鄰域,最終1, ,2, 將在有限時間收斂到原點的鄰域。

證畢

4 仿真驗證與結果分析

本節利用Matlab/Simulink數值仿真,驗證所提控制方法的有效性。并聯式運載器垂直發射后一段時間內速度低,動壓尚未建立,氣動舵控制效率低,故初期僅采用發動機進行俯仰控制。發動機工作時間為52 s,50 s后推力開始劇烈減小,為保證控制系統穩定,選取50 s時刻為執行機構切換節點,發動機退出俯仰控制,升降舵介入提供后續俯仰操縱力矩,則操縱力矩可表示為

(41)

式中:

(42)

為充分驗證本控制方法的優良性能,引入PD方法進行對比仿真。考慮到搖擺發動機和氣動舵的控制能力差異較大,PD方法在執行機構切換的同時需要同步進行控制增益切換。本方法的狀態觀測器參數=50,=8,=18,=800,=25,=60,=4,=2,=1,=09,=11;自適應滑模控制器參數=100,=60,=1,=1,=1,=06,=12,=095,=012,=005,=005,=2,=2,=2,=06,=05,=05。姿態控制仿真結果如圖2～圖17所示。

圖2 俯仰角跟蹤Fig.2 Pitch angle tracking

圖3 俯仰角跟蹤誤差Fig.3 Pitch angle tracking error

圖4 偏航角跟蹤Fig.4 Yaw angle tracking

圖5 滾轉角跟蹤Fig.5 Roll angle tracking

圖6 俯仰操縱力矩Fig.6 Pitch control moment

圖7 偏航操縱力矩Fig.7 Yaw control moment

圖8 滾轉操縱力矩Fig.8 Roll control moment

圖9 發動機擺角Fig.9 Engine swing angle

圖10 升降舵偏角Fig.10 Pitch rudder angle

圖11 方向舵偏角Fig.11 Yaw rudder angle

圖12 滾轉舵偏角Fig.12 Roll rudder angle

圖13 俯仰角速率跟蹤誤差的估計誤差Fig.13 Estimation error of pitch rate tracking error

圖14 偏航角速率跟蹤誤差的估計誤差Fig.14 Estimation error of yaw rate tracking error

圖15 滾轉角速率跟蹤誤差的估計誤差Fig.15 Estimation error of roll rate tracking error

圖16 自適應增益k1Fig.16 Adaptive gains k1

圖17 自適應增益k2Fig.17 Adaptive gains k2

圖2所示的俯仰角跟蹤曲線表明兩種方法均取得良好的跟蹤控制效果。圖3～圖5給出了姿態角跟蹤誤差對比曲線。由圖可知,本文方法的跟蹤誤差更小:俯仰角、偏航角和滾轉角跟蹤誤差絕對值分別小于0.2°、0.01°和0.03°,具有相對更好的控制效果。在50 s俯仰通道進行控制切換時,對三通道均造成一定影響,但在有限時間控制器的作用下跟蹤誤差又迅速收斂,盡管PD控制針對不同執行機構的控制能力做了增益切換,結果仍出現了較大的跟蹤誤差。

圖6～圖8給出了操縱力矩變化曲線。從圖中可以看出,操縱力矩總體平穩,變化范圍合理。俯仰操縱力矩在2.6 s、7 s和50 s出現了劇烈變化,其原因分別為:運載器開始執行程序轉彎,俯仰通道產生偏差;馬赫數大于0.3后考慮氣動影響,氣動系數模塊接入動力學模型造成被控模型突變;俯仰通道執行機構切換造成控制力矩不連續,由原本控制能力較強的搖擺發動機切換至相對弱的氣動舵,對指令響應的實時性變差。

圖9～圖12給出了搖擺發動機和等效氣動舵兩類執行機構的動態響應曲線。由圖可知,50 s以前搖擺發動機最大擺角不超過7°,偏離零位不超過2°,具有較高的操縱效率。50 s搖擺發動機后自動歸零位,退出控制。升降舵在50 s后開始動作,平穩快速地進行偏轉、變化范圍合理,順利完成了俯仰方向上搖擺發動機與氣動力控制的交接。52 s后搖擺發動機關機,質量和質心不再變化,其零位保持不變。方向舵和滾轉舵在20 s后開始偏轉以抵消橫側向干擾。

圖13～圖15給出了固定時間狀態觀測器對角速率跟蹤誤差的估計誤差曲線。從圖中可以看出,觀測器對俯仰通道的估計誤差的絕對值不超過2.5°/s,對偏航、滾轉通道的估計誤差的絕對值始終保持小于0.05°/s的量級,具有良好的估計性能。在20 s和50 s分別受橫側向外部干擾和執行機構切換影響,估計誤差產生了有界振蕩,之后迅速恢復平穩狀態。

圖16和圖17給出了自適應增益變化曲線。由圖可知,控制增益隨著自適應算法不斷改變,實現了控制量的不過高估計。進入程序轉彎后,俯仰通道的自適應增益開始從0產生變化;橫側向20 s后受到干擾力矩的影響,自適應增益開始從0產生變化。

5 結 論

本文針對上升段面臨模型不確定和外部干擾的并聯式運載器姿態控制問題,提出了一種基于廣義超螺旋算法的自適應滑模有限時間控制方法。將SISO固定時間廣義超螺旋算法拓展應用到MIMO耦合非線性系統上,設計了一種固定時間狀態觀測器,成功實現對角速率跟蹤誤差的精確估計。在上述狀態觀測器的基礎上,將自適應控制技術與終端滑模控制技術結合,進一步基于廣義超螺旋算法,設計了一種自適應滑模有限時間控制器,保證各類不確定下的高精度姿態跟蹤控制,降低了系統設計的難度和復雜度。仿真對比結果表明,本文所提方法有效并具有一定優越性。