基于超螺旋滑模的船載穩定平臺鎮定控制

劉文吉, 杜佳璐,*, 李 健, 李 諍

(1. 大連海事大學船舶電氣工程學院, 遼寧 大連 116026; 2. 大連海事大學船舶與海洋工程學院, 遼寧 大連 116026)

0 引 言

作業中的船舶在風、浪等作用下產生橫漂、前進、升沉、橫搖、縱搖和艏搖運動,不可避免地威脅到船上設備的運行安全[1]。船舶動力定位系統可抑制船舶的橫移、前進和艏搖運動[2-3],而船舶的橫搖、縱搖和升沉運動需要通過船載穩定平臺來隔離其對船上設備的影響,從而使船載穩定平臺上支撐面相對慣性空間保持穩定,使船上設備安全平穩作業。實際中,船載穩定平臺是一個具有高度非線性、強耦合、變負載的多變量系統[4-6],并遭受隨機變化且不可預知的海洋環境引起的船舶搖蕩運動對其產生的擾動,導致船載穩定平臺運動數學模型具有動態不確定和擾動不確定,加大了船載穩定平臺鎮定控制難度。

自20世紀50年代至今,陀螺式穩定平臺研究已相對成熟。針對艦載雷達穩定平臺,文獻[7]將模糊邏輯控制與傳統比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)相結合,設計模糊PID控制器,較好地克服了系統非線性因素的影響。文獻[8]采用灰色滑模算法設計陀螺穩定平臺穩定控制器,有效減小了系統非線性摩擦擾動的影響。文獻[9]和文獻[10]分別根據自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)的思想設計了陀螺式平臺鎮定控制器,有效提高了系統的魯棒性。然而,陀螺式平臺由于其自身結構的限制,其承載能力低。

相較于陀螺式平臺,并聯平臺具有承載能力高等優點[11-13]。文獻[14]針對一個并聯三自由度船載平臺,根據測得的船舶橫搖、縱搖和升沉運動量進行運動學反解,解算出平臺每個液壓缸的期望伸縮量,并設計位置PI控制器,協同控制3個液壓缸,補償船舶橫搖、縱搖和升沉三自由度運動,使船載平臺上支撐面保持平穩,從而隔離船舶運動對船上設備產生的擾動。針對3-SRR/SRU型并聯三自由度船載平臺,文獻[15]在運動學反解基礎上,設計了PID控制器,實現了船載平臺穩定控制。文獻[16]將滑模控制和PID控制相結合,為3-RPS型并聯平臺設計了代理滑模穩定控制器。文獻[17]設計了一種3-SRR/RCR型并聯三自由度船載平臺及其非線性模型預測鎮定控制器,仿真結果表明所設計的平臺鎮定控制器在控制性能和能效方面優于傳統的PID控制器。針對一款Stewart結構船載平臺,文獻[18]提出一種基于船舶運動預報的模型預測控制策略,并通過實驗驗證了該控制策略的有效性及高精度。上述文獻均未考慮船載穩定平臺所遭受到的未知外界擾動的影響,這是不實際的。針對2UPS-RPS-PS型并聯三自由度冗余驅動穩定平臺,考慮穩定平臺建模誤差及遭受的外部干擾,文獻[19]在動力學分析的基礎上,提出了基于終端滑模的平臺穩定控制策略,計算機數值仿真及樣機物理實驗驗證了穩定控制策略的有效性。針對3-RRPRP/RS并聯復合驅動的三自由度船載穩定平臺,考慮穩定平臺所遭受的內部及外部干擾,文獻[20]將滑模變結構控制方法與擴張狀態觀測器(extended state observer,ESO)相結合,提出了基于ESO的船載平臺滑模變結構鎮定控制策略,計算機數值仿真及樣機物理實驗結果表明所提出的鎮定控制策略能補償船舶運動。針對并聯三自由度船載平臺,文獻[21]考慮到平臺橫搖、縱搖、升沉運動之間存在耦合及所遭受的動態不確定與未知外界擾動,將其視為總擾動,構造ESO,實時估計這個總擾動,并設計PID反饋控制律,實現平臺的穩定控制。

本文針對并聯三自由度船載穩定平臺(下文均簡稱為船載平臺),同時考慮存在動態不確定以及風、浪等引起的船舶搖蕩運動對船載平臺造成的未知外界擾動,構造超螺旋擴張狀態觀測器(super-twisting extended state observer,STESO),進一步,提出基于STESO的超螺旋滑模(super-twisting sliding mode,STSM)鎮定控制方案,使得船載平臺上支撐面漸近調節于慣性空間中某一期望的位姿,并保持不變,使船載平臺隔離船舶的橫搖、縱搖和升沉運動對船上設備運行安全的影響。

1 問題描述與預備知識

如圖1所示,定義北東坐標系與船載平臺上支撐面坐標系。{NE}-OneXneYneZne為北東坐標系,其坐標原點One可取為地球表面上的任何一點,OneXne軸和OneYne軸分別指正北、正東方向,OneZne軸垂直于地球表面指向下,{NE}-OneXneYneZne為慣性坐標系。{TP}-OtpXtpYtpZtp為船載平臺上支撐面坐標系,將其坐標原點Otp選在上支撐面的質心,OtpXtp軸平行于船舶中線從船尾指向船艏,OtpYtp軸垂直船舶中線指向船舶右舷,OtpZtp軸垂直于OtpXtpYtp平面指向船底。平面OneXneYne與OtpXtpYtp均平行于靜水面。

依據牛頓-歐拉法,建立船載平臺的動力學方程[22]為

(1)

式中:p=[z,φ,θ]T為船載平臺上支撐面在慣性坐標系下的位姿,由升沉位移z、橫搖角φ和縱搖角θ組成;τ=[τ1,τ2,τ3]T表示船載平臺運動控制向量,τ1為升沉控制力、τ2為橫搖控制力矩、τ3為縱搖控制力矩;τd=[τd1,τd2,τd3]T表示海洋環境引起的船舶運動對船載平臺的擾動,τd1為升沉擾動力、τd2為橫搖擾動力矩、τd3為縱搖擾動力矩;M(p)∈R3×3為慣性矩陣,其表達式為

(2)

(3)

G=[mpg,0,0]T為重力向量,g為重力加速度。

假設 2風、浪等海洋環境引起的船舶運動對船載平臺的擾動τd是未知時變的,τd,i(i=1,2,3)及其變化率是有界的。

其中,船載平臺的動態模型參數難以精確獲得;另外風、浪等對船舶運動的干擾具有明顯的隨機性,且預先是不可知的,但其所具有的能量有限。因此,假設1與假設2合理。

控制目標:在假設1與假設2的條件下,設計船載平臺鎮定控制律,使得船載平臺上支撐面保持在慣性坐標系中某一期望的位姿pd=[zd,φd,θd]T不變。

引理 1[23]考慮系統:

(4)

(5)

(6)

2 船載平臺鎮定控制律設計與穩定性分析

本節首先設計STESO,為船載平臺的總擾動提供在線估計,分析STESO的收斂性;基于此,利用超螺旋算法設計船載平臺有限時間鎮定控制律,并進行系統穩定性分析。

2.1 STESO設計

(7)

針對式(7),設計如下滑模面:

S=ε2+λε1

(8)

將滑模面S對時間求導,根據式(7),可得

(9)

將船載平臺的總擾動L(t)擴張為一個新的狀態向量N(t)=[N1(t),N2(t),N3(t)]T,得到如下增廣系統:

(10)

記

(11)

針對增廣系統式(10),構造如下形式的STESO:

(12)

證明定義STESO的估計誤差:

(13)

將式(13)對時間求導,根據式(10)和式(12),可得STESO的誤差動態方程:

(14)

(15)

將η1對時間求導,根據式(14),可得

(16)

將η2對時間求導,根據式(14),可得

(17)

將η(t)對時間求導,根據式(16)與式(17),可得

(18)

式中:

針對STESO的誤差動態方程式(14),構造如下李雅普諾夫預選函數:

V1(η(t))=η(t)TP1η(t)

(19)

式中:

將式(19)對時間求導,根據式(18)可得

(20)

式中:

(21)

根據完全平方不等式與式(21),可以得到

(22)

式中:

將式(22)代入式(20)中,可得

(23)

式中:

設計參數β1與β2滿足:

β1>2δ1

(24)

(25)

根據式(15)、式(19)以及式(21),有

(26)

將式(26)代入式(23)中可得

(27)

式中:

由引理1和式(27)可知,η(t)會在有限時間

(28)

證畢

2.2 船載平臺STSM鎮定控制律設計

基于所構造的STESO式(12),利用超螺旋算法,設計船載平臺STSM鎮定控制律:

(29)

式中:α1>0與α2>0為設計參數。

證明將控制律式(29)代入式(9)可得

(30)

(31)

將η′(t)對時間求導,根據式(30),可得

ω1=diag(|S1|-1/2,|S2|-1/2, |S3|-1/2)

針對由式(1)、式(12)和式(29)構成的船載平臺閉環控制系統,構造如下李雅普諾夫預選函數:

V2(η′(t))=η′(t)TP2η′(t)+V1(η(t))

(33)

式中:

將式(33)對時間求導,根據式(28)與式(32),可得

(34)

式中:

(35)

根據完全平方不等式與式(35),可以得到

(36)

式中:

將式(36)代入式(34)中,可得

(37)

式中:

如果設計參數α1與α2滿足

α1>2δ1

(38)

(39)

(40)

將式(40)代入式(37),并根據引理2,可得

(41)

式中:

根據引理1和式(41)可知,η′(t)在有限時間

(42)

內收斂到零,則滑模面S在有限時間ts2內收斂于零。進一步,根據式(8),船載平臺鎮定誤差ε1與ε2漸近收斂于零。

證畢

3 仿真研究

為驗證所設計的船載平臺STSM鎮定控制律的有效性,以某一船載平臺為例進行仿真研究,其動力學方程式(1)中的模型參數標稱值為mp=300 kg、Ix=10.59 kg·m2、Iy=10.59 kg·m2、Iz=19.85 kg·m2[21]。進一步,將所設計的船載平臺STSM鎮定控制律與基于ADRC的船載平臺鎮定控制律進行仿真比較,以表明所設計的船載平臺STSM鎮定控制律的優越性。

3.1 船載平臺STSM鎮定控制律仿真

本節利用Fossen[25]和Perez研制的MSS(Marine Systems Simulator)軟件包,獲得海浪引起的船舶運動對船載平臺的擾動力及力矩,分別在兩種海況下對所提出船載平臺STSM鎮定控制律進行仿真實驗。

分別在2級和4級海況下進行仿真。仿真中采用ITTC(International Towing Tank Conference)雙參數海浪譜,2級海況參數選擇為波浪擴散因子數值為2、平均波向為30°、有義波高為0.5 m;4級海況參數選擇為波浪擴散因子數值為3、平均波向為120°、有義波高為2.5 m。不施加控制作用情況下的船載平臺上支撐面位姿運動仿真曲線如圖2所示。

(1) 2級海況下船載平臺動力學方程式(1)的慣性矩陣取其標稱值,即M(X1)=M0(X1)。

仿真中,設船載平臺上支撐面的期望位姿X1d=[0 m,0°,0°]T,船載平臺上支撐面的初始狀態為X1(0)=[0.1 m,1°,2°]T和X2(0)=[0 m/s,0°/s, 0°/s]T;選取所構造的STESO的設計參數為λ=1,β1=3,β2=20,所設計的STSM鎮定控制律的參數為α1=4,α2=0.3,仿真結果如圖3～圖5中實線所示。圖3為船載平臺上支撐面在升沉、橫搖和縱搖方向上的運動曲線,由圖3可知,所設計的船載平臺STSM鎮定控制律能控制船載平臺有效隔離船舶的橫搖、縱搖和升沉運動對船上設備運行安全的影響,保證船載平臺的上支撐面始終保持期望的位姿。圖4為船載平臺上支撐面升沉控制力以及橫搖、縱搖控制力矩曲線,由圖4可知,控制力及力矩是合理的。圖5為船載平臺的總擾動及其估計曲線,由圖5可知,所構造的STESO可以提供對總擾動的估計。

(2) 4級海況下船載平臺動力學方程式(1)的慣性矩陣攝動為M(X1)=(1+30%)M0(X1)。

仿真中,設船載平臺上支撐面的初始狀態、期望位姿、STESO和STSM鎮定控制律的設計參數均與2級海況下的一樣,這意味著在不同海洋環境擾動下,船載平臺鎮定控制律保持不變,仿真結果如圖6～圖8中實線所示。由圖3～圖5與圖6～圖8可知,在海洋環境擾動變大且存在模型參數攝動時,所設計的船載平臺STSM鎮定控制律展現了與2級海況下幾乎同樣的控制效果,這表明所設計的船載平臺STSM鎮定控制律對模型參數攝動和未知外界擾動具有良好的自適應能力和魯棒性。

3.2 仿真比較

本節中,將所設計的船載平臺STSM鎮定控制律與文獻[21]中的船載平臺ADRC鎮定控制律式(43)和式(44)進行仿真比較。

(43)

(44)

式中:i=1,2,3。

取設計參數b0,1=300,ωo,1=13,kp1=12,kd1=20;b0,2=13,ωo,2=13,kp2=14,kd2=48;b0,3=14,ωo,3=13,kp3=15,kd3=50,分別在第3.1節中的兩種情況下對船載平臺ADRC鎮定控制律進行仿真,仿真結果見圖3～圖8中點線。由圖3和圖4可知,在2級海況下,船載平臺ADRC鎮定控制律和本文所提的船載穩定平臺STSM鎮定控制律均具有同樣令人滿意的控制性能。但由圖6和圖7可知,在4級海況下,本文所提出的船載平臺STSM鎮定控制律的鎮定誤差較小。另一方面,由圖5和圖8可知,兩種情況下,所設計的STESO相較文獻[21]中的船載平臺構造的常規ESO的估計精度都高。上述仿真結果充分表明了本文設計的基于STESO的船載平臺STSM鎮定控制律較船載平臺ADRC鎮定控制律的優越性。

4 結 論

本文針對船載平臺存在的動態不確定以及未知外界擾動,構造了STESO,估計由動態不確定以及未知外界擾動引起的總擾動;進一步,設計了船載平臺STSM鎮定控制律,理論分析及仿真結果均證明了所設計的控制律可使船載平臺上支撐面保持在慣性空間中某一期望的位姿不變,且較船載平臺ADRC鎮定控制律控制精度高,可隔離船舶運動對船上設備運行安全的影響,從而可提高船上設備在不同海洋環境條件下的可操作性和安全性。