立足考題促思維 引領課堂提素養
——基本不等式求二元函數最值問題的復習課堂設計

江西 黃邦活

不等式是高中數學的一個重要內容，而基本不等式是不等式中的核心，是用來解決最值問題的一個重要工具，是高考常考的一個重要知識點.根據《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)(以下簡稱《課程標準》)中基本不等式的要求屬于“理解應用層次”，結合《中國高考評價體系》中的考查內容與考查要求，立足發展學生思維，提升學生核心素養，對基本不等式求二元函數最值問題精心設計了一堂高考復習課，供參考，不足之處敬請指正.

1 教學內容及解析

1.1 內容

1.2 內容解析

基本不等式主要用于解決函數的最值問題，特別是二元函數的最值問題，盡管基本不等式不是解決最值問題的唯一工具，但它是求解此類最值問題的一個最基本、最有效的工具.若能正確合理轉化使用，則可以簡化求解過程，達到事半功倍之效.

2 教學目標及解析

2.1 教學目標

(1)結合實例，掌握基本不等式求最值的原理，能運用基本不等式解決一些最大(小)值問題；

(2)結合實例，能用函數關系把握基本不等式的結構及變換，能根據結構特征編題及變式，激發學生自主探究的積極性，培養合作交流意識，提升學生提出問題和分析解決問題的能力，落實邏輯推理、數學運算核心素養.

2.2 目標解析

結合例1，教師引導學生用函數的眼光去學會分析、思考、探究，在結構上與基本不等式進行比較，找出差異，通過“減元”“分離”“配湊”等手段，等價變形轉化，創設能用基本不等式求最值的條件，運用“積定和最小”，達到求最值的目的.

數學教育家波利亞指出：“如果不變式問題，我們幾乎不能有什么進展.”根據例1的條件與目標的結構，互換條件與目標形式設計簡單變式1讓學生逆向思考，直接根據例1整體配湊，容易收獲成功；改編條件設計變式2，增加梯度，對比發現合理“減元”可簡化過程與運算，掌握“配湊”技巧.通過學生思考、交流，展示解題思路與過程，提高數學活動的有效性，體會化歸與轉化思想方法及解題策略，提升學生分析、解決問題的能力，建構和發展邏輯思維.

結合例2及練習，進一步鞏固“減元”思想與“配湊法”的基本思路，拓展延伸，引導學生深入探究，抓住問題的內在聯系，由表及里，由淺入深，善于變通與發現，整體思考，運用“1”的整體代換或換元思想，簡化運算，進而培養學生學會學習，形成良好的學習習慣；培養創新意識，將數學核心素養落到實處.

引導學生自主梳理，提綱挈領，厘清知識間的來龍去脈，完善認知結構，培養歸納概括能力，養成良好的反思習慣.

重點：基本不等式求二元最值問題解題的策略建構.

難點：如何創設運用基本不等式的條件，特別“定值”.

3 教學設計

3.1 考題呈現，引入主題

引言：同學們，一腔熱血備高考，滿腹經綸方成功.今天多一分拼搏，明天多幾分笑.備考需要智慧，在學習上多動腦筋、多下功夫，向更高的目標奮進！高考試題是所有試題材料中的精品，是命題專家們的智慧結晶.請看下面一道高考題，讓我們一起探究吧.

設計意圖：通過教師的簡短語言，激發學生學習的熱情，提高學生學習的信心.

【例1】(2020·江蘇卷·12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是________.

(學生先獨立思考，教師觀察，按照波利亞的解題思想進行對話、引導，進入主題)

教師：這個問題的條件是什么？要解決一個什么樣的問題？

眾生：條件是一個等式，它需要求的是代數式的最值問題.

追問1：涉及多少個變量？

眾生：兩個.

追問2：我們知道一個變量的函數可稱為一元函數，那么兩個變量的目標函數我們可稱之為什么函數？

眾生：二元函數.

教師：對，這個問題實際上就是二元函數的最值問題.二元函數的最值問題是高中數學階段中非常重要的一類問題，也是高考中的一個熱點與難點問題.那么，根據我們所學的知識，可以用什么知識來求解呢？

(學生議論紛紛)

學生1：線性規劃、基本不等式.

追問3：哪個更合適？

學生1：當然是基本不等式.

追問4：理由呢？

學生1：用線性規劃的話，條件與目標函數的幾何特征明顯，盡管給出問題的目標函數表示點(x,y)到原點的距離的平方，但條件幾何特征看不出來.

教師：說得很好.那么，如何運用基本不等式求二元函數的最值呢？

設計意圖：從分析問題的角度出發，通過師生對話，辨別問題的類型，引入主題，激發學生的求知欲望，最大限度地調動學生學習的主動性與參與性.

3.2 引領探究，深入建構

教師：我們知道，基本不等式是不等式中的第一個基本定理，它的結構優美簡潔，是求函數最值的一個最基本最有效的工具與方法，也是高考常考的一個重要知識點.在前面，我們已經學習了基本不等式，請問哪位同學能先告訴我它的內容是什么？

學生2：“積定和最小”及“和定積最大”.

追問6：能舉個簡單的例子嗎？

追問7：這樣做，行嗎？

學生2：哦，忘了，使用基本不等式來求最值還必須滿足“正、定、等”三個條件.

追問8：對呀，“正、定、等”是運用基本不等式求最值的三個條件，缺一不可.你給出的這個例子，還要改正哪些地方？

學生2：a,b為正數，當且僅當a=b時取最值.

教師：很好!請大學再仔細觀察、分析、思考一下，看誰先能快速運用基本不等式正確解決這個問題呢？

設計意圖：通過引導學生簡單回顧基本不等式的內容、運用求最值的一般原理，喚醒學生的記憶，調動學生的原有知識儲備、認知結構，實現對數學活動的參與，主動去探索、思考.

3.2.2 深入思考，建構思維

學生3：老師，根據題目條件中有“兩項的和為定值”，目標式也是“兩項的和”，不是“兩項的積”，用“積定和最小”及“和定積最大”這兩個原理求解有點困難.但是，根據條件是等式，我就先想到用“減元”思想.

教師：是的，解答多變元問題時，“減元”應該是首選的數學思想方法，也是常規方法.通過“減元”，能使解題方向更加明確，解題方法更加明朗.請你在黑板上展示一下解題過程，并說出理由.

由于減少變量的常規方法有兩種:一種是代入消元，一種是整體處理，即換元.觀察條件的等量關系、字母的次數，可以看出x2用含y的字母來表示比較簡單，從而解得x2代入目標式轉化為一元函數，將①式分離，轉化為②，最后運用基本不等式求最值.

學生4(很快舉手示意)：要考慮“減元”后y的取值范圍，這樣判斷運用基本不等式中的“等號”是否成立.

追問9：是的，那怎樣得到y的取值范圍？

學生4：可以根據條件放縮得y4≤1，也可以由等價變形后中的x2≥0，解得0

教師：細節決定成敗，有時因一個小小的失誤，功虧一簣.我們要注意解題的細節，如減元后要注意變量的取值范圍，運用基本不等式特別要注意“等號”能否取得.

教師：剛才用“減元”將問題解決了.請問哪位同學還有不同的解題思路嗎？請走上講臺，當一次“小老師”.

學生5：我是這樣想的，看到“目標”是求和式的最小值，就會去嘗試 “積定和最小”，嘗試將已知條件湊成“積”的形式進行轉化，設法尋找兩項的“積”為定值，再求“和”的最小值.由條件得(5x2+y2)·y2=1，將(5x2+y2)+y2與要求的最值x2+y2進行比較，通過對y2配上系數“4”，有(5x2+y2)+4y2=5(x2+y2)，且(5x2+y2)·4y2為定值“4”.

教師：好極了！著眼代數式的結構特點進行嘗試、分析、比較，從結構上的差異尋找條件與目標的聯系，運用“配湊”法，用好“系數”，是運用基本不等式求最值的一個關鍵突破點，也是常用的策略與方法.

設計意圖：通過啟迪、展示學生思維，引導學生主動探索、主動發現，在學生已有經驗和知識的基礎上，形成用基本不等式求最值的基本解題策略，培養學生養成思考問題的良好習慣.

3.2.3 變式鞏固，發散思維

教師：剛才兩位同學很不錯，為達到解題的目的，充分發揮了基本不等式求最值的解題功能.請大家思考下面一組變式，你能用基本不等式解決嗎？

變式1：已知x2+y2=1(x,y∈R)，求5x2y2+y4的最大值.

變式2：已知5x2y2+y2=1(x,y∈R)，求x2+y2的最小值.

(學生獨立思考、探究，與同桌或小組成員交流、討論、比較；教師巡視、觀察，了解學生解題情況，展示正確解答的過程)

教師：先看變式1，哪位同學來說一下解題思路，并展示過程.

學生6：先減元，由條件解得x2=1-y2，將其代入目標式，再轉化為兩項的積后，湊系數得“和”為定值，進而求得“積”的最大值.

學生7：由于目標是求最大值，因此朝著“和定積大”方向，根據例1的整體配湊，可以很快解決.

教師：真棒！這兩位同學都能學以致用，從不同的方向切入進行思考，尋找正確的解題方向，運用基本不等式順利求得最大值.

教師：接下來，看變式2，

學生10(展示7)：由條件得y2(5x2+1)=1，

教師：太棒了！這三位同學一樣能根據不同的條件，創設運用基本不等式的條件，將問題正確求解.請同學們對“學生8”與“學生9”展示的過程進行比較，有什么聯系與區別？

學生11：他們都是“減元”思想，但是“學生8”在“減元”后，可直運用“積定和小”，而“學生9”在“減元”后，需要添項湊積為常數，“學生8”的解題過程相對簡單，運算量也較小.

教師：很好，同是“減元”，過程與運算量卻有不同，因此，“減元”思想，需要根據目標與條件，合理“減元”，提高解題效率.

設計意圖：通過簡單的變式訓練，突出基本不等式的工具性，促使學生在“做數學”的過程中始終處于積極的狀態，鞏固落實 “減元”“配湊”思想方法在解題過程中的運用，體驗成功，增強自信心，進一步激發學生學習的積極性與主動性，形成獨立思考和合作交流的好習慣.另外，通過解法的比較，培養學生能在同一個問題中選取合理的運算途徑，優化解題過程，促進學生有效發展，提升邏輯推理、數學運算核心素養.

3.2.4 探究延伸，創新思維

教師：“百尺竿頭，更進一步”，很多問題的解決不能一蹴而就，我們還需要進一步深入思考、探究、分析、解決.請大家再思考下一個例題.

教師：此題與例1及變式1、變式2在形式或結構上有什么不同？

眾生：前面的條件與“目標”都是整式，而此題條件是整式，“目標”是分式.

教師：對，可否用一樣的思想方法，用基本不等式求解呢？可以與同桌或小組成員一起交流、討論、探究、分享.

(學生深入分析、思考、探究；教師關注學生動態，引導學生善于變通、合作學習，鼓勵創新)

例如，觀察注意到“學生12”嘗試“減元”思想，由已知條件得到a=1-2b，代入目標式通分后，得到一個復雜的式子時，感到運算不下去，甚至束手無策.此時，教師應及時引導其與同桌進行交流、探討，或幫助其克服困難，調整策略，注意運算細節等.

學生12(解法1)：因為a+2b=1，所以a=1-2b，

教師：非常好！這位同學選用了“減元”策略，不僅注意了運算細節，將目標式逐層恒等變形、轉化，還利用“1”的代換，為運用基本不等式創設條件，順利實現了解題目標.

教師：太棒了！這位同學能從式子的結構入手，方向明確，將條件中的“1”整體代換，轉化倒數結構，大大地簡化運算，縮短路徑，提高解題質量.

教師：還有其它解法嗎?

學生14：有.

教師：請說一下解題思路與過程，與大家分享.

教師：妙！這位同學通過變更主元，巧設變量，運用“換元”策略，“打包”處理，不僅起到了“減元”的作用，還縮短了解題路徑.特別是在題設條件與所求結構聯系不明朗時，可以合理假設新變元，讓問題明朗化，達到化繁為簡，化難為易的目的.

設計意圖：“以學生的發展為本”，鼓勵發現、探究，擺脫慣性，引導學生更深入思考、分析、解決問題，拓展學生思維；同時，培養學生獨立思考問題、自主解決問題的能力和合作意識，以及勇于實踐和善于創新的精神.

3.2.5 自主演練，超越自我

知識就像航船上的風帆，依靠它，你會航行得更遠；知識就像雄鷹身上的翅膀，憑借它，你會飛得更高.面對挑戰，勇于探索，超越自我.

通過以上學習，請完成以下練習：

設計意圖：增加思維梯度，提高學生的模式識別能力，激發學生的潛能，實現超越和突破，培養學生自主探索、勇于挑戰的能力.

3.3 總結反思，提煉升華

結合本節課，我們今天學到了什么？談談你是如何運用基本不等式求二元函數的最值.

設計意圖：引導學生總結學習過程，讓學生習得的數學思想方法更深刻、更明晰，培養學習的反思意識與習慣，促進學生思維的完善與發展.

3.4 檢測反饋，達成目標

(1)已知x,y為正實數，且xy+2x+4y=41，則x+y的最小值為________.

答案：8

設計意圖：為學生提供廣闊的探索空間，加深知識的舉一反三、融會貫通，培養學生的學習自覺性與終身學習的習慣.

4 教學后記

蘇霍姆林斯基說：“如果教師不想辦法使學生產生情緒高昂和智力振奮的內心狀態，就急于傳授知識，那么這種知識只能使人產生冷漠的態度，而使不動感情的用力勞動帶來疲勞.”課堂教學是一個雙向的過程，是教師的教和學生學的統一，既要注重學生的主體性，也要發揮教師的主導作用.要想提高復習課的效率，就應想方設法最大限度地調動學生的積極性與主動性，讓學生真正的參與到數學復習課的教學中來.才能真正提高數學復習課的有效性.