素養視域下圓錐曲線的內切圓問題探究與反思
——以2021 年全國甲卷理科第20 題圓錐曲線問題為例

梁興為

（福清元洪高級中學，福建 福清 350300）

2021 年全國甲卷理科第20 題是一道優質圓錐曲線綜合題，全面深入地考查了解析幾何的知識.既要求學生有較強的綜合能力和應變能力，也很好地體現了對數學運算、邏輯推理等數學核心素養的考查［1］.筆者認真研讀這道題，嘗試對其進行研究、剖析、引申、拓展、應用、反思，并給出圓錐曲線教學建議，以期提升教師、學生數學思維，拓展學生數學視野，培育學生數學素養.

一、試題呈現

（2021 年全國甲卷理科第20 題）拋物線C 頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l:x=1 交C 于P，Q 兩點，且OP⊥OQ，已知M(2,0)且M與l相切.

（1）求C，M的方程；

（2）設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與M相切.判斷A2A3與M的關系，并說明理由.

二、試題剖析

（一）素養定位

這是一道以拋物線為基礎，融合直線、三角形、圓、拋物線的圓錐曲線綜合題，題目很好地考查了學生分析問題和解決問題的能力，滲透了數形結合和化歸轉化思想，主要考查學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.題目內涵豐富，有很好的教育教學功能.

（二）思路分析

1.第（1）問依托特殊直線x=1 與拋物線C：y2=2px的交點構成三角形，特殊的圓與x=1 相切為題目主干.設出P，Q 坐標，轉化垂直條件為方程1 -2p=0，解得p=利用待定系數法由M與l相切求得半徑為1.故拋物線C：y2=x，M方程為(x-2)2+y2=1.從素養視角看，此問主要考查學生的直觀想象和數學運算素養.

2.第（2）問依托第（1）問求出的特殊圓，在拋物線上取三點構成三角形，若兩邊與該圓相切，通過代數法探究另一邊也與該圓相切，實質上是拋物線內接三角形與圓相切問題.此問要求學生具有較強的直觀想素養、邏輯推理素養和數學運算素養方能順利解 答.先設坐標Ai(yi2,yi)(i=1,2,3)，寫出直線A1A2,A1A3,A2A3方程，轉化M與A1A2，A1A3相切條件可得方程 (y12-1)y22+2y1y2+3 -y12=0，(y12-1)y32+2y1y3+3 -y12=0，觀察方程特點可知y2,y3是關于y的二次方程(y12-1)y2+2y1y+3 -y12=0的兩不相等的實數根，于是根據韋達定理可得如下條件：y2+y3=，將其代入點M到直線A2A3的距離公式運算化簡得d=r.

三、探究過程

高考題是命題專家依據國家課程標準，依托現用教材體系，根據教育部考試中心要求精心打磨而成，它兼具多功能，既有考綜合、考能力、考素養的功能，又有知識生長拓展功能，還有教學啟示作用.本文嘗試對這道圓錐曲線題目進行如下探究.

（一）延伸探究

如果仔細研究題目，不難發現本題第（2）問體現了拋物線上運動變化中的某種不性.M為拋物線上一內接三角形A1A2A3的內切圓，發現當A1在拋物線上移動時，A2,A3也隨之在拋物線上變動，但M與此三角形A1A2A3的相切關系保持不變.將其一般化，并給出證明.性質1 過拋物線上任一點引拋物線一內接三角形內切圓的兩切線，使其交拋物線于另兩點，則這兩點的連線必與此圓相切.

1.寫出符合性質的已知求證：已知：P 為拋物線C：y2=2px(p＞0)上動點，過P 作M方程為(x-t)2+y2=r2(r＞0)，（其中t=）的兩切線PA，PB，使兩切線交C 于A，B 兩點.求證：AB 與M相切.

2.證明思路：先設P,A,B的坐標，寫出直線PA,PB的方程，轉化M與PA,PB相切條件后可知a,b是如下關于y的一元二次方程兩不等實根.

(c2-r2)y2+4pcry+(r4+4pr3-c2r2)=0，于是由韋達定理有a+b=，將韋達條件代入圓心M到直線A2A3的距離公式中化簡得d=r，所以M與AB相切.

［說明］聞杰在《神奇的圓錐曲線與解題秘訣》［2］中也給出類似結論.

（二）類比探究

橢圓、雙曲線、拋物線三圓錐曲線聯系緊密，很多性質具有共性［3］.它們在定義、方程、幾何性質具有很多相似性，啟示可以進行類比遷移、猜想論證，借助超級幾何畫板動態功能輔助探究，可將上述拋物線中性質拓展推廣到橢圓雙曲線中，即橢圓雙曲線也有相應的內切圓性質.性質2 過橢圓上任一點引橢圓一內接三角形的內切圓的兩切線，使其交橢圓于另兩點，則這兩點的連線必與此圓相切.性質3 過雙曲線上任一點引雙曲線一內接三角形的內切圓的兩切線，使其交雙曲線于另兩點，則這兩點的連線必與此圓相切.性質2 和性質3 可類似性質1 證明.

（三）應用示例

筆者將上面探究結果特殊化并修改調整數據，如下所示：

1.若P 為拋物線C：y2=x上動點，過P 作M方程為(x-t)2+y2=1 的兩切線PA，PB，使兩切線交C 于A，B 兩點.問是否存在t，使對任意的動點P，直線AB與M相切？

解析：設出P,A,B坐標，先考慮特殊情況P(0,0)，轉化M與A1A2相切得方程=1，又y12=|t+1 |，解之得t=2 再通過代數運算證對任意的點P，直線AB 與M:(x-2)2+y2=1 相切.事實上，可求得圓心M到直線AB的距離d=

故M與AB相切時t=2.

［說明］本題是性質1 的應用，由2021 年全國甲卷理科第20 題的改編而得，將證明題改為探究題，先探求圓心坐標再證明相切.

［說明］本題是性質2 橢圓中相切圓性質的應用，是性質2 的一特例.

3.已知A，B，C 是雙曲線C：x2-7y2=1 上三點，M(x-2)2+y2=是三角形ABC 的內切圓，過P(-1,0)引M兩切線交C 于E，F 兩點.證明直線EF 與M相切.

［說明］本題是性質3 雙曲線中相切圓性質的應用，是性質3 的一特例.

四、反思建議

（一）探后反思

1.探究圓錐試題背景，感悟數學文化價值.高考數學試題源于教材，承載著教材中的定義、定理、公式、性質、示例、習題、閱讀等知識內容.由教材衍生出的圓錐曲線高考試題常結合圓綜合命制，如滲透圓的數學文化內容阿波羅尼斯圓、蒙日圓等.研究高考真題，探究圓錐背景，感悟數學文化價值，借助數學文化，鍛煉學生思維，培養思辨能力，欣賞圓錐之美.

2.探究圓錐試題根源，品味數學思想本質.高考數學試題表征綜合，反映知識主干，多點知識融合一題，多數學思想方法匯聚一題.探究圓錐高考試題，不僅要探究圓錐背景、思路方法、優化解法，更要關注圓錐問題本質，探討蘊含的數學實質.比如圓錐綜合題中，答案結論對特殊圖形特殊直線特殊角特殊點成立，對一般的仍成立嗎？題目中參數變化對結論影響如何？把紛繁復雜的問題簡單化，將特殊情景一般化，借助圖形分析思考，利用代數演算推證，依據參數變化分類討論，利用極端情況處理問題等，在這些探究過程中，品味數形結合、一般特殊、化歸轉化、分類討論、有限無限等數學思想，發揮高考試題的教育教學作用.

3.探究圓錐試題變式，培育數學核心素養.高考數學試題往往是重要知識的生長點.探究圓錐高考試題，不僅要關注問題本質，更要探究其蘊含知識的橫縱聯系.如高考圓錐曲線題目雖變化多端，但很多性質和結論有著千絲萬縷的聯系.對圓錐曲線題目進行有意識地探究：類比思考，題目結論對橢圓成立，對雙曲線拋物線也成立嗎？正向引申，將數字改為字母，將交點改一般點，情況會改變嗎？逆向拓展，將結論做條件，條件做結論還成立嗎？在探究中不斷變換思考的角度，對高考試題進行開發和加工、引申和拓展、類比和推理；通過剖析試題，探討知識聯系，發現探究規律；通過對高考題的“再加工再創造”，發現新知識點，收獲探究心得，領悟數學思想，在探究和體驗的過程中培育數學素養.

（二）教學建議

1.圓錐教學要重視應用文化背景.高考圓錐試題中滲透數學文化背景，2019 人教A 版教材中有很多圓錐文化示例，如2019 人教A 版選擇性必修一中：第97 頁例6 探求的軌跡就是阿波羅尼斯圓，第115 頁習題7 所求天體軌道方程就是橢圓天文背景的應用，第120 頁例2 炮彈爆炸點的軌跡蘊含著GPS 信號定位原理，第124 頁例4 雙曲線冷卻塔，第140 頁圓錐曲線的光學性質及其應用等.

據此，無論是從知識教學角度還是從提高成績角度來說，重視教材中圓錐曲線文化和應用實例都有重要的現實意義.新版教材在知識引入、探究思考、典例示范、習題練習、閱讀材料中都不惜篇幅，引入大量詳實生動的圓錐文化和實際應用，要重視并用好這些內容為教學服務.

2.圓錐教學要重視滲透數學思想.高考圓錐試題多數學思想方法匯聚啟示我們在課堂教學中要重視滲透數學思想.圓錐教學，坐標解析法是最核心的方法，通過坐標，利用代數方法研究幾何性質，借助幾何特征幫助分析問題，形數緊密聯系，數形結合的思想滲透圓錐教學的方方面面.新版教材隨時隨地強調坐標法的基本思想：依圖建平面直角坐標系，設坐標，列方程化簡得圓錐方程，再從圓錐標準方程出發，用坐標法研究圓錐曲線性質和解決延伸的各類問題.除了數形結合思想，一般特殊、化歸轉化、分類討論、有限無限等數學思想也在教材和高考真題中處處可見，教學中要重視并時時滲透.

3.圓錐教學要重視培育數學素養.新高考要求試卷不僅兼具為高校選拔人才的功能，還兼具考查學生綜合能力、應用創新和數學素養的作用.圓錐曲線是理想的考查知識模塊，高考綜合試題也很好體現這點.圓錐曲線綜合題常幾何關系復雜代數運算繁難，教學時要重視培養直觀想象和數學運算等核心素養.圓錐教學中，借助現代媒體技術和現實教具直觀感知圓錐曲線背景，經歷探究圓錐曲線的形成過程，比如探究圓錐曲線中動態軌跡問題，分析轉化運算求解最值問題，分類討論參數定值定點問題等，在推導運算過程中，分析算法優化算法，在觀察、分析、運算、推導、歸納、概括的過程中，逐步培養數學直觀和數學運算素養.

莫讓題海遮望眼，揭開霧紗顯真顏.對圓錐高考真題多維度探究，剖析圓錐問題本質，探尋圓錐知識聯系，欣賞圓錐結構之美，既提升數學思維，又啟迪教育教學，還培育數學素養.