多角度探究一道離心率問題

四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校 (400000) 郭海峰

關(guān)于圓錐曲線離心率運算的理論基礎(chǔ)在于，圓錐曲線的三個參數(shù)滿足“勾股定理”的關(guān)系式，故只需再發(fā)現(xiàn)一個關(guān)于三個參數(shù)的方程即可計算出圓錐曲線的離心率.又因為圓錐曲線具有豐富的幾何性質(zhì)，通過選擇恰當(dāng)?shù)貐?shù)也可快速地構(gòu)建方程，進行求解.本文從五個角度探討了一道橢圓的離心率問題，并在求解的過程發(fā)掘其幾何本質(zhì).

一、題目

圖1

二、解法呈現(xiàn)

該問題的本質(zhì)即是在橢圓內(nèi)有兩條特殊直線垂直時，計算橢圓的離心率.因為出現(xiàn)的直線較為特殊，即可通過三個參數(shù)表示出所有的點，再通過垂直關(guān)系建立方程.

思路一：根據(jù)點的坐標(biāo)構(gòu)建方程

根據(jù)點A∈直線BF2以及F1C⊥AB兩個條件，利用三個參數(shù)表述出點A或點C的坐標(biāo)，再結(jié)合其在橢圓上，構(gòu)建出方程.

評注：在該解法中，F(xiàn)1C⊥AB的轉(zhuǎn)化策略是利用直線的斜率求解，同理也可通過向量構(gòu)建方程；本題也可通過橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點A或點C的坐標(biāo)，再利用垂直關(guān)系，及點A∈直線BF2構(gòu)建方程，即逆向使用上述解法.但利用參數(shù)求解，又引進了新的變量，在后續(xù)的化簡過程中運算量太大，不建議大家使用.

思路二：利用幾何性質(zhì)計算點的坐標(biāo)

根據(jù)橢圓的對稱性以及題干中的垂直關(guān)系，本題中出現(xiàn)的多個三角形具有相似的關(guān)系，利用相似三角形的線段之比也可求得點A或點C的坐標(biāo)，進而構(gòu)建方程進行求解.

圖2

評注：該解法的本質(zhì)是以線段長為基本參數(shù)，利用幾何性質(zhì)構(gòu)建方程.與上解法相比，該解法對圖形的要求較高，思維量也較大.

思路三：以角度為基本量，配合正、余弦定理構(gòu)建方程

在圖形中出現(xiàn)了多個直角三角形，如果選擇恰當(dāng)?shù)亟嵌龋纯筛鶕?jù)該角度表示出相應(yīng)的線段，再配合正、余弦定理構(gòu)建出方程求解.

圖3

評注：本題可使用的角度很多，不同地選擇決定了運算量的大小.該解法選擇△CF1F2構(gòu)建方程，讀者可以嘗試根據(jù)△CAF2來構(gòu)建方程.

思路四：利用垂心的幾何性質(zhì)構(gòu)建方程

考慮△ACF1可知，點F2為該三角形的“垂心”，根據(jù)垂心的向量形式[1]即可快速建立方程.

解法4：如圖4，因為點F2為△ACF1的“垂心”，可得

圖4

思路五：利用焦點三角形計算線段長構(gòu)建方程

根據(jù)解法3可知，若能夠計算出∠OBF2=θ的三角函數(shù)值，即可直接求解出該圓錐曲線的離心率.所以我們可以考慮其所在三角形進行求解.

圖5

評注：上述五種方法進行對比可知，解法五的運算量最小，且揭示了該問題的本質(zhì).