壓縮感知理論在地學空間數據重構中的應用進展①

王 燦，李曉鵬，宣可凡，蔣一飛，紀景純，賈仁浩，劉建立*

壓縮感知理論在地學空間數據重構中的應用進展①

王 燦1,2，李曉鵬1，宣可凡1,2，蔣一飛1,2，紀景純1,2，賈仁浩1,2，劉建立1*

(1 中國科學院南京土壤研究所，南京 210008；2 中國科學院大學，北京 100049)

空間數據重構是根據離散、稀疏的點位數據構建介質屬性完整空間分布的過程，地學領域中通常采用基于地質統計學的方法。壓縮感知是21世紀信號處理領域的重大理論突破，地學領域的學者將其作為一種空間數據重構的新方法，在流體運動模型的靜態參數反演和土力學性質重構中取得了良好效果。本文在簡述壓縮感知數學理論的基礎上，闡述了基于該理論的空間數據重構方法在地學領域的研究進展，分析了該方法在土壤特性空間數據重構中的可行性，并提出了幾點潛在的研究方向。

壓縮感知；空間數據；土壤特性

巖石和土壤都是多重因素交互作用下的產物，具有明顯的空間變異特征[1]。充分掌握其空間分布及變化情況是工程設計、土地資源管理等生產實踐活動實施精準決策的前提。由于完整空間數據的測量難以實現，學者們將測量數據與數學理論模型相結合，提出了多種空間數據重構方法。

地質統計學(geostatistics)是地學領域主流的空間數據重構方法之一。該方法在二階平穩假設的基礎上，利用樣本的空間位置信息計算半方差函數，通過克里格法得到預測點的無偏估計，能夠有效避免數據強行擬合多項式產生的邊緣效應[2]。然而，實際的地學特性通常不滿足二階平穩假設，而且半方差函數模型的選擇和鄰域樣本數量的定義都具有主觀性。半方差函數的質量受到實測數據量及數據采集規則的影響[3]，有限的樣本數量會降低半方差函數中相關參數的準確性，進而影響重構的精度和有效性[4]。作為表達空間結構的工具，半方差函數僅能把握空間上兩點之間的相關性，而無法表征復雜的空間結構和幾何形態的地質特征[5]。此外，盡管克里格法提供了方差作為預測點誤差和不確定性的度量指標，但由于它與數據值無關，且與估計誤差的相關性很差，因此在實際中難以應用[6]。多點地質統計學(multiple-point simulation)是在地質統計學基礎上提出的一種隨機模擬方法，該方法以馬爾科夫隨機場(Markov random fields)為支撐，使用“訓練圖像”代替半方差函數重構空間數據，可以看作是地質學中的標準方法。“訓練圖像”能夠有效描述多點之間的結構性和相關性，克服了傳統地統計學在復雜結構特征表征方面的不足，但模擬過程中隨機性強，難以控制其模擬效果[7-8]。

為了克服傳統方法的不足，探索一種對樣本采集要求較低且兼顧數據空間相關性的空間數據重構方法成為地學領域研究的熱門方向之一。壓縮感知(compressive sensing)[9-12]是21世紀信號處理領域的重大突破，該理論證明：只要信號在原始域或某種變換域中能夠被稀疏表達，就可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將變換所得高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解優化問題即可從這些少量的投影中以高精度重構出原信號[13]。在壓縮感知理論的諸多應用中，基于單像素的圖像恢復為空間數據重構提供了新思路。

目前，基于壓縮感知的空間數據重構方法已經被應用于流體運動模型的靜態參數反演和土力學性質重構的相關研究，并取得了一定的研究成果，然而針對污染物濃度、水鹽含量以及養分狀況等土壤特性的相關研究尚未展開。本文將在簡要介紹壓縮感知數學模型的基礎上，闡述該方法在地學領域的研究進展，分析該方法在土壤特性空間數據重構中的可行性，并提出幾點潛在的研究方向。

1 壓縮感知數學理論基礎

1.1 信號采集模型

(1)

1.2 限制條件

1.2.2 信號非相干性 整合式(1)、式(2)，得到下式：

(3)

1.3 信號重構

在信號滿足稀疏性和RIP條件的前提下，原本難以解決的欠定方程組求解被轉換為凸優化問題[20]，可以將其作為線性規劃問題使用BP算法、OMP算法[21]等諸多方法求解。

除滿足上述兩個要求外，測量矩陣的維數需要滿足式(10)[22]：

式中：>0為某個固定常數。

2 空間數據重構應用及展望

2.1 流體運動模型的靜態參數反演

反演問題是石油工程、水文地質等領域建立地下環境流體驅替行為預測數學模型的重要組成部分，主要包含模型參數反演、初始條件反演、邊界條件反演、源或匯反演及混合反演5類，其中靜態模型參數(儲層或含水層水力特性)的反演是主要研究方向[23]。由于未知參數的數量遠大于已知的觀測數據，這一反演過程是不適定的(Ill-posedness)，由此導致反演結果的不穩定性和非唯一性[24]。

2.1.1 反演問題的參數化與正則化 為減輕不適定性的影響，參數化(parameterization)和正則化(regularization)被引入反演問題。參數化的目的是減少未知參數的數量，主要有空間域參數化和變換域參數化兩種形式。空間域參數化以分區(zonation)為代表，將合并類似區域并為其賦值作為參數化手段，具有較大的局限性[25]。變換域參數化是近年來參數反演研究的新趨勢之一，其本質是數據的壓縮。在空間相關性的前提下，該方法通過特殊的變換函數將空間域參數投影至變換域，實現模型參數的降維表達，從而有效降低反演過程中的不適定性。參數化變換形式主要有基于協方差的正交分解以及特殊函數兩種，前者主要包括截斷奇異值分解(TSVD)、主成分分析(PCA)和Karhunen-Loeve變換(KLT)[26-27]，后者主要包括離散余弦變換(DCT)和離散小波變換(DWT)[28-29]，其中基于特殊函數的變換更加高效且魯棒性更強。正則化以先驗模型、靜態數據或參數平滑度等要素對不適定問題的解施加限制，從而穩定不適定問題的解，并約束解在合理條件下再現觀測數據[30]。Tikhonov正則化是反演中常用的方法，通過L2范數對解施加約束。此外，在壓縮感知理論提出之前，以全變分(total variation)為代表的L1范數約束主要被應用于邊緣檢測問題和分段平滑特性的重建[31]。

2.1.2 基于壓縮感知的反演框架 壓縮感知的出現，為參數化和正則化的結合提供了理論基礎。Jafarpour等[32]將基于參數化和正則化的地質參數反演問題表達為：

2.1.3 壓縮感知框架下的參數化方法研究 參數化方法是壓縮感知框架下的主要研究內容之一。在使用參數化方法進行反演時，傳統方法利用先驗信息構建固定的基向量空間，而壓縮感知框架下的參數化則是由算法從較大的低頻基向量空間中構建出與觀測數據相適應的動態子空間。DCT和DWT是壓縮感知框架下兩種主流的參數化方法，Jafarpour等[33]首先利用DCT驗證了壓縮感知框架在動態數據集成反演問題中的可行性，隨后將DWT與融合卡曼濾波(ensemble Kalman filter)結合，實現了DWT條件下的反演[29]。Calderón等[34]發現，DCT比DWT更加符合壓縮感知理論中的RIP條件，從而能夠獲得更優的反演結果。但是，另有研究發現，基于結構化壓縮感知理論， DWT域參數的群稀疏結構與標準稀疏正則化相比具有更強的約束性，能夠獲得更加準確的反演結果[35-37]。此外，由于不適定反演無法考慮表示復雜結構的高頻基向量，因此DCT和DWT均存在無法捕捉參數場復雜結構的問題。Khaninezhad等[38-39]通過字典學習(dictionary learning)構造地質字典，解決了這一問題；并用實例展示了基于稀疏字典的參數正則化方法在儲層性質估計方面相比于TSVD參數化反演的優越性[40-41]。

2.1.4 壓縮感知框架下的反演算法研究 在反演算法方面，模型參數反演算法的研究主要包含：基于壓縮感知本身進展的算法研究和與傳統方法結合的研究。除結構化壓縮感知外，學者們對加權壓縮感知[42]、貝葉斯壓縮感知[43-44]等理論在不同參數反演場景下的適用性展開了研究。加權壓縮感知的思想在參數正則化方法提出時就被納入反演過程，而直到最近Calderon等[45]的研究才發現其實質是對于反演過程中樣本數量要求的降低。不確定性量化是參數反演研究的一個新趨勢，通常在貝葉斯壓縮感知框架下對先驗信息和觀測數據進行概率處理，進而獲取反演結果及其統計分布[46]。Li和Jafarpour[47]通過假設變換域參數服從普拉斯分布，通過相關向量機(relevance vector machine)算法實現了壓縮感知框架下的貝葉斯反演及不確定性量化[48]，這種基于稀疏貝葉斯估計的思想促進了參數反演不確定性量化的進一步發展[49]。此外，壓縮感知與傳統反演方法的結合正在成為一個新的研究熱點，壓縮感知與EnKF的結合解決了傳統的EnKF框架無法整合參數空間結構先驗信息及無法恢復地質溝道結構的不足[50-51]；地質字典與隨機最大似然法結合形成了一種計算復雜度較低且量化不確定性的新方法[52]。

圖1總結了流體運動模型靜態參數反演中的壓縮感知反演框架，該框架是傳統參數化方法與正則化方法的融合，主要包含參數化方法、反演算法等相互關聯的研究內容。實踐表明，該框架能有效提高反演速度和反演精度，其核心思想“稀疏重構”也為傳統參數化和正則化反演方法提供了新的發展思路。

2.2 土力學性質的空間數據重構及模擬

土力學性質的空間分布和變化情況是巖土工程設計與分析的重要參數。在工程實踐中，由于樣本采集的局限性，通常將有限的樣本數據與經驗判斷或統計假設相結合，對土力學性質的空間變化情況做出推斷，這使得推斷結果有著極大的不確定性。

圖1 基于壓縮感知的流體運動模型靜態參數反演框架

在流體運動模型參數反演的基礎上，壓縮感知作為一種客觀、合理的土力學性質空間數據重構方法被Wang和 Zhao[53]引入巖土工程領域。盡管該方法在數據重構的過程中是完全客觀的，但有限樣本自身在統計上的不確定性無法消除，這會進一步傳播并影響工程的設計和分析。因此，擁有不確定性量化能力的貝葉斯壓縮感知在該領域得到了充分的研究。與石油工程、地質水文等領域針對參數化方法、重構算法展開的研究不同，壓縮感知巖土工程領域的研究內容主要集中于不同維數的空間數據重構和模擬兩個方面。

2.2.1 土力學性質的空間數據重構 在空間數據重構方面，土力學性質隨深度的變化(一維空間)是最基本的研究對象，可以將其看作根據測量分辨率和重構深度劃分的一維信號。在DWT和DCT條件下，基于貝葉斯壓縮感知的空間數據重構方法能夠在有限數據的情況下重構出具有原始數據變化特征的平滑曲線，并且其重構精度高于普通克里格插值得到的數據[54-55]。此外，由貝葉斯壓縮感知得到的統計不確定性量化指標——標準差，可以作為計算置信區間的基本參數，進而得到某個置信水平下的取值范圍，為土力學性質的空間變化提供更加客觀估計[56]。在一維空間的基礎上，Zhao等[57-58]提出了基于貝葉斯壓縮感知的二維和三維空間的地理數據重構方法，并在實例驗證中取得了理想的效果；在高空間分辨率的情況下，地理數據表現出很強的空間相關性，能夠有效保證基于壓縮感知方法在不計算協方差或選取訓練圖像的條件下，較為準確地重構空間數據。此外，該方法無需假設空間數據是平穩的，從而使基于稀疏數據的垂直土壤分區得以實現[59]。

2.2.2 土力學性質的空間數據模擬 土力學性質的空間數據模擬是在隨機場理論的基礎上展開的，基于壓縮感知的空間數據模擬經歷了由低維到高維、由簡單到復雜的研究過程。在局部平均細分法[60]、協方差矩陣分解[61]、Karhunen–Loève (KL)展開[62]等諸多類型的隨機場生成方法中，KL展開能夠與貝葉斯壓縮感知結合，形成一種更加高效的BCS-KL隨機場生成方法。對于一維隨機場，依靠貝葉斯壓縮感知中表示不確定性的協方差矩陣，該方法可以跳過傳統方法中的參數輸入，由稀疏測量數據直接生成具有空間自相關性的隨機場樣本[63]。而又因為BCS-KL在生成隨機場樣本前未對樣本數據進行去趨勢處理，因此生成樣本可以反映土力學性質真實的空間變化情況[64]。若使用貝葉斯壓縮感知框架下的多任務壓縮感知(multitask compressive sensing)替代其一般形式，則可以完成互相關隨機場的模擬[65]。

在高維隨機場的模擬中，基于貝葉斯壓縮感知的“無參數”模擬方法表現出了更加明顯的優越性。由BCS-KL改進得到的2D BCS-KL方法說明了這一點：在有限數據和空間結構參數未知的條件下，2D BCS-KL能夠模擬出具有良好空間結構的樣本，無論其原始分布是各向同性還是各向異性，而傳統方法則需要通過大量樣本數據取得相應的空間結構參數作為隨機場的生成參數[66]。從模擬過程看，BCS-KL是在確定稀疏向量的解的基礎上，根據解的不確定性進行的模擬；而與之相對應的則是直接獲得不確定的解，根據不同的解重構出隨機場樣本，馬爾科夫鏈蒙特卡洛(MCMC)模擬可以實現這一過程，這種方法在高維非靜態、非高斯的隨機場模擬中得到驗證[67-68]。

目前，在巖土工程領域中已經形成了以貝葉斯壓縮感知框架為核心的空間數據重構和模擬的雙重體系(圖2)。基于該框架的重構和模擬方法在過程中無需估計相應的統計或空間結構參數，就能夠從有限的空間樣本中重構出與實際數據相近的空間結構。并且，這類方法不包含空間數據的平穩假設，因此其適用范圍更廣、實用性更強。

2.3 土壤特性空間數據重構研究展望

壓縮感知起源于信號處理領域，近年來被引入諸多研究領域，逐漸形成各領域與信號處理領域交叉融合的新趨勢。在地學領域中，已經形成了以壓縮感知為核心的空間數據重構及模擬框架。該框架下，流體運動模型靜態參數反演和土力學性質重構、模擬的效率及精度明顯提升，對于稀疏樣本的適應性明顯增強。這主要依賴于壓縮感知框架基于變換域的空間結構信息獲取方式：具有空間相關性的空間域特征參數被投影至變換域后，其空間結構信息集中于少量變換域參數，這些參數信息隱藏于每個空間域樣本中，當空間樣本在變換域相互獨立時，可以通過空間樣本獲取變換域參數，從而得到空間結構信息。這種方式為稀疏樣本的空間數據重構提供了有效保證，與傳統地統計學基于大量空間樣本的空間域獲取方式有著明顯不同[69]。

圖2 基于壓縮感知的土力學性質空間數據重構及模擬框架

土壤作為一種地質介質，其特性不僅包括土力學參數，也包括影響土壤治理措施制定和精準農業決策管理的污染物濃度、水鹽含量以及養分狀況等[70-72]。對于后者，目前常用的地統計學方法和機器學習方法以一定數量空間樣本為基礎建立數學模型，需要花費較高的成本進行數據采集[73-74]。基于壓縮感知的空間數據重構框架為上述土壤特性的空間數據獲取提供了新的思路。以較低的數據采集成本獲取相對可靠的土壤特性空間分布數據，對土壤修復、改良及農業生產等實踐活動具有重要意義。因此，需要從土壤學、環境科學等角度出發，對基于壓縮感知的數據重構框架展開更加深入、全面的研究。結合該框架在地學領域的研究現狀，本文提出以下幾點潛在的研究方向：

1)研究尺度、精度以及樣本數量之間的關系。尺度和精度是空間數據研究中兩個相互關聯的重要因素，在某一尺度下，精度的劃分決定未知參數的數量，未知參數估計的準確性與樣本數量密切相關。若劃分精度過高，則會因變換域參數數量的增加而無法完成準確估計；反之，則會因為空間域的子空間數量過少而忽略部分土壤特性的分布特征。因此，針對某一土壤特性，定量研究三者之間的關系，實行科學合理的精度劃分，是土壤特性空間數據重構的重要基礎。

2)研究構建變換域參數約束的方法。小尺度、高精度是土力學性質研究對象的主要特點，該特點使測量數據能夠充分代表某一子空間范圍內的土力學性質以及變換域的空間結構信息。因此在重構過程中，只需將基向量搜索空間控制在低頻區域，而無需施加額外約束。而污染物濃度、養分狀況等土壤特性則不同，其研究尺度遠大于土力學性質的研究尺度。大尺度下樣本點無法充分代表子空間的土壤性質，這會削弱土壤特性空間相關性的表達，同時降低變換域參數估計的準確性。這一問題可以通過施加變換域參數的約束加以解決[53]。

3)研究基于壓縮感知的混合方法。從現有研究中可以發現，壓縮感知作為空間數據重構方法并非完全獨立。當它與多點地統計學[32]、徑向基函數[75]等現有方法結合，能夠發揮出良好的空間數據重構效果；而當它與隨機場理論結合時，則成為一種靈活、有效的隨機場生成工具[63]。因此，在進行關于土壤特性的相關研究時，探索現有插值方法與壓縮感知的結合形式，或許是提高數據重構效果的有效手段。

4)關于壓縮感知本身的研究。變換矩陣與求解算法是壓縮感知理論研究中的兩個主要方面[76]。稀疏字典變換矩陣研究中的一個主要方向，目前基于K-SVD的“地質字典”被用于復雜地下特征的反演。而更加高效的字典生成方法則有待進一步探索。在面對復雜土壤特性分布時，使用更加高效的字典生成方法，構造“土壤字典”，對于提高稀疏表達效率和數據重構效果具有重要意義。此外，根據不同的數據重構目標，從不斷優化的重構算法中篩選出適用的算法，也是一個值得探索的方向。

3 結語

基于壓縮感知的空間數據重構方法充分利用了地學特征的空間相關性，具有弱化樣本采集規則以及控制結果隨機性的雙重優點，在流體運動模型的靜態參數反演和土力學性質重構中得到了有效驗證。對于不同的土壤特性，探索壓縮感知在空間數據重構中的適用性，形成完整的理論體系，可以提高土壤修復、改良及農業生產等實踐活動的數據采集效率，降低數據采集成本，為措施制定和相關決策提供堅實可靠的數據支撐。

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Progression of Compressive Sensing Applied in Geoscience Spatial Data Reconstruction

WANG Can1,2, LI Xiaopeng1, XUAN Kefan1,2, JIANG Yifei1,2, JI Jingchun1,2, JIA Renhao1,2, LIU Jianli1 *

(1 Institute of Soil Science, Chinese Academy of Sciences, Nanjing 210008, China; 2 University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Spatial data reconstruction is a process of constructing complete spatial distribution of media attributes based on discrete and sparse point data. Methods based on geostatistics are commonly used in the field of Geosciences. Compressive sensing is a major theoretical breakthrough in the field of signal processing in the 21st century, and has been regarded as a new method of spatial data reconstruction by scholars in the field of Geosciences. This method has achieved good results in static parameter inversion of flow models and the reconstruction of soil mechanical properties. This paper briefly describes mathematical theory of compressive sensing, expounds the research progress of spatial data reconstruction method based on this theory in Geoscience, analyzes the feasibility of this method in spatial data reconstruction of soil characteristics, and puts forward some potential research directions.

Compressive sensing; Spatial data; Soil properties

S11+1

A

10.13758/j.cnki.tr.2022.02.003

王燦, 李曉鵬, 宣可凡, 等. 壓縮感知理論在地學空間數據重構中的應用進展. 土壤, 2022, 54(2): 232–239.

國家自然科學基金項目(42177302、41771265、41877021)資助。

(jlliu@issas.ac.cn)

王燦(1994—)，男，江蘇鎮江人，博士研究生，研究方向為農田信息獲取與監測技術。E-mail：wangcan@issas.ac.cn