一次生成性課堂的教與學

湖北 馮愛龍

新課程背景下生成性課堂是教學的亮點，它解放了教師、學生和教材，使課堂教學煥發出生命活力；生成性也是新課程背景下的課堂教學難點，課堂“開放了”“生成了”，就可能出現“無序”的狀態，這就給教師帶來了挑戰，很難預測教學目標的達成度.教師在面對“節外生枝”的課堂突發事件時，要客觀、準確地評價學生“意外”的思維方式與解題方法，因地制宜改變原來的教學計劃，讓數學課堂更具“動感”，使得不可預測的課堂“意外”更好地激發學生的思維、演繹新的情形，并成為學生掌握學科知識技能、提升核心素養的增長點.下面筆者結合一節習題課的片斷教學，談談課堂教學應急處理的心得體會.

一、真題呈現

題目：如圖，已知點C的坐標是(2，2)，過點C的直線CA與x軸交于點A，過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B.設點M是線段AB的中點，求點M的軌跡方程.

二、真題破解

1.預料之中的“一題多解”

分析：教師引導學生依據條件畫出圖形，分析題意，學生積極回應，討論歸納出如下四種途徑:

生2(定義法)：觀察出“Rt△ACB與Rt△AOB有公共的斜邊AB”這個隱含條件，根據平面幾何知識得|MO|=|MC|，即點M的軌跡就是線段OC的垂直平分線，由點斜式方程得所求方程為x+y-2=0.

前三種解法學生都感覺到“平面幾何味道”很濃,需要運用平面幾何知識等價轉化；后一種解法主要是用參數方程的思想,學生接觸很少,沒有可以模仿的例題,獨立解決有困難,需要教師的鋪墊與歸納.實際上以上四種解法都是解決此類問題的通性通法，基本符合學生的認知與思維水平，當然也是教師備課時首先要準備的，預設通過題組訓練來鞏固與強化，進行歸納總結與推廣.課堂教學按既定方案和流程繼續運行.

2.突如其來的“節外生枝”

具有鮮明主觀能動性的學生，作為一種活生生的力量，往往是帶著自己的知識、經驗、思考、靈感與期盼參與課堂教學活動.當同學們正忙于欣賞上述四種通法時，有一位同學提出一種新的解法，用初中平面幾何知識通過作輔助線，將點的坐標與線段的長度相互轉化，最終建立動點M的坐標滿足的方程.于是就請該生上講臺在黑板上展示他的解答過程：

當其他同學正在為他的精妙解法叫彩時，又有一位同學站起來.他說上述解法只考慮了點M在第一象限這一特殊情形，顯然思維不嚴謹.

葉圣陶先生說“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導”.為了進一步激發學生的思維熱情與探究欲望，于是就臨時放棄了原來既定的教學預設，組織學生繼續討論并完善此解法的后續過程.

師：以上兩位同學接力使這道題得到較為完美的解答，既訓練了學生的思維嚴謹性，又培養了學生的合作意識.對照前面幾種做法，這種解法顯然較為煩瑣，請同學們討論“造成這種煩瑣的原因是什么？”

生7：這種解法是想通過幾何推理論證將點的坐標轉換成相應線段長度，建立起點M的坐標所滿足的方程.但隨著圖形的變化，點的坐標與線段的長度并不總是相等的.因此要分類討論，也就顯得煩瑣些.

學生在初中進行了大量的平面幾何推理訓練，對解析幾何所倡導的幾何問題代數化的思想與方法并沒有深刻體會，遇到幾何問題很容易按慣性思維習慣去思考或分析.通過上述幾位學生的解法比較，讓學生從中深刻體會到坐標法在解決此類問題中的優越性，從而對解析幾何思想方法有了實踐上的認識.對于此類問題的解法，通過學生們的相互討論、補充，本節課的教學任務與目標基本達成，對筆者而言臨場及時調整教學設計無疑是一次成功的被動嘗試.在準備進行課堂訓練與總結提升的教學環節時，一個新的意外發生了……

3.一波又起的“合作探究”

生8：如果把剛才同學的解法與坐標法結合起來考慮，怎么求出的曲線方程有兩個呀？

師：說說自己的思考，我們一起來分析.

一時間教室里炸開了鍋，全班同學被這個結論給驚住了.如果說剛才的“節外生枝”令人“小吃一驚”，這位同學的解法和結論真是“石破天驚”.這時候教師就要耐心引導學生明確問題的真正癥結——“眼見為實”，應該讓事實說話，讓孩子們自己說服自己，這樣他們認識問題的角度才會更全面，理解題意的思維也會更嚴謹.

師：如果這位同學所求的點M的軌跡方程真的有兩條，那么前面四種方法都出問題了嗎？如果求得的方程x-y=0是多余的，那么這個結論又是從何而來的呢？

學生又陷于思考與討論之中，幾分鐘后，又有一位同學站起來發言.

生10：上述解法是誤看條件了，以為△ABC是等腰三角形，并利用等腰三角形的性質構造出相應的坐標等式.但題目條件并不能保證“△ABC是等腰三角形”，實際上所求得的軌跡方程x-y=0也不滿足“CA⊥CB是直角”這個條件.如果檢驗一下，也能發現這個問題.可見求動點的軌跡方程時“第五步檢驗”環節還真不能少，難怪老師反復強調曲線方程的概念和求解步驟，以后同學們可真得注意了.

這節課就在一波未平一波又起的探究互動過程中結束了，雖然題組訓練沒能展開，但由于及時轉變教學流程，對學生的思維因勢利導，整節課學生的思維活躍起來了，探究積極起來了.正如贊可夫所說“教學法一旦觸及學生的情緒和意志領域，觸及學生的精神需求，這種教法就能發揮高度有效的作用”.正所謂“失之東隅，收之桑榆”，通過引導使學生感受到坐標法解軌跡問題的優越性，深化了對曲線與方程之間的內在聯系的理解，未嘗不是一種更大的收獲.

三、反思感悟

1.教學設計是教師通過自身認知對教材內容的謀劃與建構，既需要直面課堂和學生，又不能被教材所局限，是一個不斷探究、思考、學習和實踐的動態推進過程.本節課的設計由一道常規的習題引入，呈現出“低起點、高立意、深互動、活思維”的教學生態，雖然在教學過程中出現了諸多“意外”，打亂了課前預設程序和教學內容，逼迫自己“忍痛”放棄教學預設，但是通過有深度、有力度的理性思維延展教學，整合初高中數學思想方法，引導學生深度探究和提煉解題方法，讓師生在思維碰撞中不斷生成智慧的火花，提升了學生的數學核心素養和思維層次.也讓筆者對數學知識的理解和體系建構方式、學情的認知與課堂生成狀態都有了全新的認識，深刻體會到備課不能拘泥于課本與資料，要敢于質疑、不迷信權威，要善于運用數學的思維提出自己的不同見解、多維度思考，這些正是數學核心素養的體現.教師還要善于把握課堂教學動態，用心捕捉、及時搜集、有效篩選學習活動中瞬間的生成，讓學生在動態生成中得到全面、健康的發展.

2.重視學生在學習過程中的思維和能力發展，關注學生的過程性“錯誤”，將課堂中自然生成出來的“意外”作為新的教學資源，引導學生學會多問幾個“為什么”，學會質疑、答疑，敢于嘗試、變式，教會學生挖掘知識背后蘊藏的數學思想方法，增強對未知領域的探索與深化.通過教師機智巧妙地引導與運用，使之“化腐朽為神奇”，成為課堂的另一種精彩.軌跡方程的求解或軌跡的確定是平面解析幾何中的一個基本問題與熱點問題，在教學中要結合經典真題，通過合理的分析、研討、借鑒與應用，進行多視角思考、變式、拓展、總結與歸納，從而借題發揮，探索破解問題的一般性規律與策略，真正達到“做一題，通一類，會一片”的“以小見大”的教學目的，減少“題海戰術”解題式教學，讓學生積極、主動地投入到課堂學習中去，使教與學的過程充滿挑戰與活力，達到數學核心素養自然提升的境界.本節課后半場在學生主動思考、大膽質疑的互動中達到思維最強磁場的效果，通過不斷追問、解疑促發學生的質疑和反思，讓學生自然生成一串串“念想”，激發學生的“憤”與“悱”，促進學習的深入，深化學生的思維品質.