高考三角解答題“與面積、周長有關的問題”變式教學研究

陜西 安文華

高考三角解答題常見與面積、周長有關的問題，可以作為目標求值或求取值范圍，也可以作為條件解三角形.解三角形是處理三角形的邊角關系的有效手段，將面積與周長置于問題中，可使題目更加綜合和靈活，更方便一題多變、一題多解的變式教學.

1.研究背景——三角解答題在高考中的考查特點

新課標、新高考實施以來，高考對三角函數的考查呈現出新的特點.一是三角試題的總體題量有所控制，如：2021年全國甲卷、乙卷均無三角解答題，理科試題僅一個選擇一個填空，文科試題一個選擇一個填空.2021年新高考Ⅱ卷只有一個三角解答題，沒有選擇填空題.二是部分試卷有結構不良三角解答題，如：2021年北京卷第16題、2020年新高考Ⅰ卷第17題、2020年北京卷第17題.三是解答題的考查以正、余弦定理的應用為主，無論題目初始條件或目標狀態是否涉及面積與周長，其本質仍然是解三角形.

2020-2021年高考試題三角解答題知識考點

續表

2.研究目標——三角解答題“與面積、周長有關的問題”

我們知道高考三角解答題主要考點為正弦定理、余弦定理的簡單應用，即解三角形，解三角形的本質是測量，是在三角形的邊與角及面積、周長等基本量中給出若干求其他量或者其他量的取值范圍.知識方面，正、余弦定理反映了三角形邊與角的基本關系.能力方面，通過邊角互化、三角恒等變形、代數運算、數形結合，能夠反映考生邏輯推理、數學運算、直觀想象的核心素養.

三角形是最基本的幾何圖形，三角是連接幾何與代數的橋梁，通過邊角關系、面積與周長，能夠構建三角形的幾何特征及相關數量關系，與面積、周長有關的問題相當于邊角關系“高階”問題，能夠更加綜合地聯系各知識點，對學生閱讀理解能力、信息整理能力、分析問題及解決問題的能力有更高的要求，在復習備考中以這些問題為主線能更有力的組織變式教學，更深入地理解相關知識，更熟練地掌握運算方法和技巧.

3.解題探究——母題及變式題解法探究

我們知道，在高考復習中，一輪復習：以知識為主，解題鞏固.二輪復習：以解題為主，知識再現.在教學中進行一題多解、一題多變的訓練，是為了加深學生對知識及相互聯系的理解，提高學生的思維遷移能力和解題能力.在教學中進行一題多變的訓練，常規思路有：追根溯源，在充分挖掘考點和題源的基礎上，開展變式訓練；通過設計與母題的條件、情境類似的問題，開展變式訓練；通過變換問題的提問方式，開展變式訓練.

3.1 已知對邊對角

【例1】(2020·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3，求△ABC周長的最大值.

方法二：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

【變式】上題中求△ABC面積的最大值.

方法二：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

所以9=b2+c2+bc≥3bc，即bc≤3(當且僅當b=c時取等號)，

我們可以看到求面積或求周長這兩個方向總是類似的，在這樣的問題和變式求解過程中，方法一可以由正弦定理將目標表示為角的一元函數求值域.方法二也可以由余弦定理構造b+c與bc的關系，核心是將它們作為整體來看，通過基本不等式將“和”與“積”的關系相互轉化.方法三是結合幾何意義來判斷和估算，作為代數求解的輔助和檢驗手段，起到相互印證的作用.這樣的考法在歷年高考題中是較經典的，如下題：

【例2】(2013·全國卷Ⅱ理·17)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=bcosC+csinB.

(1)求B；

(2)若b=2，求△ABC面積的最大值.

【變式】上題中求ac的最大值.

所以由一題多解的變式訓練可以幫助學生解一道題，會一類題，發現問題的最優解.

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周長.

【例4】(2016·全國卷Ⅰ理·17)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(1)求C；

上述例3，例4就是在已知對邊對角的條件下補上面積的條件來求周長，作為代數運算的方法，將兩邊之和與兩邊之積看作整體是常用技巧.

3.2 已知一邊一角

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

變式練習可以求△ABC周長的范圍.通過一題多解、一題多變，可以在復習過程中用一個題目將散落的知識點像珍珠一樣串起，讓這些刻板的知識變成鮮活的經驗，讓這些工具在使用過程中磨礪出無往不利的鋒芒.

3.3 已知一邊及另兩邊之比

我們知道，已知一邊為定值，又知另兩邊之比，則這兩邊公共頂點的軌跡為“阿氏圓”，在此條件下，可以求解三角形面積或周長的范圍，當然如果還有其他條件，則變成求值問題.

【例6】(2021·上海卷·18)已知△ABC中，A,B,C所對邊分別為a,b,c，且a=3,b=2c.

(2)若2sinB-sinC=1，求△ABC的周長.

【變式】△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且bccosC+c2cosB=2ab.

方法一：由①出發，記△ABC的面積為S，

這樣發散思維的好處是勾連起各個知識點，如二次函數、正弦型函數、解析幾何等內容，開闊視野和思路，為學生建立起路路通、路路達的信心，起到綜合復習的效果.

3.4 已知一邊及另兩邊之和

如果已知一邊及另兩邊之和，則這兩邊公共頂點的軌跡為橢圓.

(1)求cosB；

(2)若a+c=6，△ABC的面積為2，求b.

這里代數解法的特點仍然是關注a+b與ab的關系，難點是控制角C的范圍，而條件較隱蔽，正是有了橢圓的幾何意義使得我們可以在預知答案的前提下克服思維的盲區和漏洞.

【變式2】在①△ABC的周長為6，②asinB=2，③ab=4這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.若問題中的三角形存在，判斷△ABC的形狀；若問題中的三角形不存在，說明理由.

本題為結構不良問題，若選①，則有

其中，c=2,a+b=4的幾何意義為點C在以A,B為焦點的橢圓上，由幾何意義可判斷△ABC的存在性(略)，下面進行證明.

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(cosC+1)，即ab(cosC+1)=6,

此時△ABC為等邊三角形.

若選③，則得到此時△ABC為等邊三角形(解略).

本題以已知一邊及另兩邊之和為例，結合幾何意義得橢圓的軌跡，由數形結合的方法能夠更直觀地判斷解的存在，這是我們分析問題、解決問題的依據，先有信念上的判斷，后有邏輯的證明，是因為我們信，才加以邏輯證明，在發現與提出問題、分析與解決問題這“四能”的培養過程中，邏輯推理固然重要，直觀想象更應得到重視.結構不良問題具有多種評價解決方法的標準，在確定恰當的行動方面，沒有明確的方法，需要學習者表達個人對問題的觀點或信念，對促進學生素養的養成和能力的提升具有深遠意義.

4.解三角形內容的備考建議

三角是聯系幾何與代數的橋梁，三角與向量、復數、平面幾何、立體幾何、解析幾何、參數方程與極坐標等數學知識有著較為緊密的聯系，高考中呈現了這一內容的基礎性、綜合性和應用性的特點.