變式為金鏈 模型是核心 進階是關鍵
——條件概率與全概率公式單元的變式思考

浙江 何曉禹 余繼光

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)要求，在概率教學中，應引導學生通過具體實例，理解隨機事件獨立性與條件概率之間的關系，能進行簡單計算.為此，條件概率、乘法公式與全概率公式復習的重要途徑就是選取經典問題，從不同角度拓展形成變式題，讓學生理解隨機事件獨立性與條件概率的聯系，盡可能挖掘課本例習題對建立條件概率概念的重要性，課本習題是教材編寫者精挑細選后才定下的，具有鮮明的導向性、典型性、基礎性等特點，在鞏固、培養和發展學生對隨機事件的獨立性與條件概率概念的理解具有舉足輕重的地位和作用.

變式教學是中國基礎教育的精髓，變式問題串是變式教學的物質基礎，數學教學中實施變式教學必須研究變式問題串.概率知識是有系統的，有結構的，引入變式教學后，實現由“反復練習”向“理解學習”的轉變.變式問題串通過自己的系統與結構，揭示概率知識系統與邏輯結構.通過問題串進行變式教學可以多角度理解條件概率概念，有層次地推進乘法公式與全概率公式的教與學，在有序問題解決途徑指引下，經過有層次的變式訓練，使學習者對條件概率概念和思想方法得到理解與掌握.

1.隨機事件的獨立性

1.1 研究目標及背景

在復習隨機事件的條件概率之前，先復習隨機事件獨立性，通過課本經典問題理解隨機事件獨立性概念——什么是隨機事件的獨立性？如何判斷隨機事件的獨立性？2021年新高考數學概率題背景就是抽球模型中的隨機事件獨立性.

母題選?。阂粋€袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異，

(Ⅰ)(2019年人教A版普通高中教科書數學必修二第246頁試驗2)采用有放回方式從袋中任意摸出兩球，設A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”，分別計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發現？

(Ⅱ)(2019年人教A版普通高中教科書數學必修二第248頁例1)采用不放回方式從中任意摸球兩次，設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立？

解題探究：(Ⅰ)首先明確樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，

A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}，

B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，

AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}

觀察發現P(AB)=P(A)P(B)，定義具有這一特征的兩個事件A與B，稱其相互獨立.

(Ⅱ)樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，m≠n}，

A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，

此時P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A與事件B不相互獨立.

1.2 變式角度分析

從上述問題發現，有放回抽樣與無放回抽樣、樣本空間情境的變化對事件獨立性有著直接影響，在具體操作過程中，通過計算事件積的概率來判斷事件獨立性，因此，變式角度，一是問題情境；二是有、無放回抽樣；三是樣本空間容量大小變化，一般而言，數學命題專家會在這幾個方面進行變式.

變式方向一：小球個數增加，有放回抽樣條件下，關注隨機事件間的獨立關系.

【變式1】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

解題探究：首先要知道兩個事件相互獨立的概念，

由于P(甲丁)=P(甲)P(丁)，故選B.

解讀：這是根據教材一枚骰子投擲兩次所形成的36個基本事件而設計的一個檢測獨立性概念的題，此題說明，高考命題專家以小球為抓手，問題情境對所有人公平.

變式方向二：小球個數增加，無放回抽樣條件下，關注隨機事件間的獨立關系.

【變式2】有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

解題探究：方法一：利用兩個事件相互獨立的直觀意義判斷，即如果事件A和B的發生互相不受影響，則事件A和B是相互獨立的，否則不獨立，

根據題意，可以判斷樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}共有36個樣本點，

對于事件甲所包含的樣本點為A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)};

對于事件乙所包含的樣本點為B={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)};

對于事件丙所包含的樣本點為C={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)};

對于事件丁所包含的樣本點為D={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.

方法二：利用獨立的一般定義，

于是P(AD)=P(A)P(D)，故選B.

變式方向三：改變問題情境，判斷隨機事件間的獨立性.

【變式3】設甲、乙、丙三組紡織機器，已知在某一小時內，甲、乙都出現故障的概率是0.05，甲、丙都出現故障的概率是0.1,乙、丙都出現故障的概率是0.125.且甲，乙，丙三組機器分別出現故障的概率為0.2，0.25，0.5，則

( )

A.甲與乙相互獨立，但乙與丙不獨立

B.甲與丙相互獨立，但甲與丙不獨立

C.乙與丙相互獨立，但甲與乙不獨立

D.甲、乙、丙兩兩獨立

解題探究：已知P(甲)=0.2，P(乙)=0.25，P(丙)=0.5，且P(甲乙)=0.05，P(甲丙)=0.1，P(乙丙)=0.125，

由于P(甲乙)=P(甲)P(乙)，

P(甲丙)=P(甲)P(丙)，

P(乙丙)=P(乙)P(丙)，

所以甲、乙、丙兩兩獨立，故選D.

1.3 變式規律及研究

上述問題串說明，變式命題主要是對問題的樣本空間和問題情境進行改變，檢測應試者判斷隨機事件獨立性的能力，解決問題的基本功是事件的古典概率計算，近期新高考數學概率相關問題著力點在隨機事件獨立性方面.

2.隨機事件的條件概率

2.1 研究目標及背景

現實問題情境中，大量的隨機事件是不獨立的，特別是在某一事件發生的前提下，對另一事件的影響的可能性，就需要研究條件概率，根據《課程標準》水平測試要求，隨機事件的條件概率的研究目標如下，

①結合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率;

②結合古典概型，了解條件概率與獨立性的關系;

③結合古典概型，會利用乘法公式計算概率;

④結合古典概型，會利用全概率公式計算概率.

母題選取:(2019年人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第三冊第45頁問題2)假定生男孩和生女孩是等可能的，現考慮有兩個小孩的家庭，隨機選擇一個家庭，那么

(Ⅰ)該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？

(Ⅱ)如果已經知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？

解題探究：記男孩為b，女孩為g，樣本空間為Ω={bb，bg，gb，gg}，且所有樣本點是等可能的，記A={選擇的家庭中有女孩}={bg，gb，gg}，B={選擇的家庭中兩個小孩都是女孩}={gg}.

此例揭示：研究條件概率，要關注隨機現象中的事件A，B，積事件AB是什么？樣本空間的變化，樣本容量有多大？此問題可以歸結如下數學模型：

某袋內有1個白球1個黑球，從中接連取二次，每次取一球，取后放回，問二個都是白球的概率是多少？

2.2 變式角度分析

由于現實社會中，隨機現象的復雜性，要從復雜的現實情境中剝離出具體事件，隨機事件的條件概率涉及積事件概率；樣本空間的變化；樣本容量——具體與一般的變化，抽樣方式——放回或不放回的變化；具體數據與一般數據的變化等等，因此，變式角度非常豐富，創新思考的意識要非常強.

類型一 隨機事件的條件概率

變式方向一：理解條件概率概念及概率表達形式的區別.

【變式1】假設有2個事件A，B，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結論一定成立的是

( )

A.P(AB)≤P(B|A)

B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(B|A)=P(A|B)

D.P(B)=P(B|A)

根據條件無法判斷事件A與B獨立，所以選項B不一定成立；

此變式在于評價學生對條件概率概念的理解及邏輯推理能力.

變式方向二：增加樣本空間容量，體驗條件概率計算方法.

【變式2】袋子中有10個大小相同的小球，其中7個白球，3個黑球，每次從袋子中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，求:

(Ⅰ)在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率；

(Ⅱ)兩次都摸到白球的概率

解題探究：以Ai表示“第i次取得白球”，i=1，2.

此變式在于學生體驗條件概率與積事件概率的計算過程.

類型二 乘法公式的應用

變式方向三：在抽象數據條件下，體驗乘法公式的計算方法.

【變式3】(一般模型)某袋內有a(a≥2)個白球b個黑球，從中接連取三次，每次取一球，取后不放回，問三個都是白球的概率是多少？

解題探究：以Ai表示“第i次取得白球”，A1=(白球，球，球)，A2=(球，白球，球)，A3=(球，球，白球)，這里“球”不論是白是黑均可，

以Ai表示“第i次取得白球”，i=1,2,3，要求P(A1A2A3),

此變式提升數據的抽象性，以及積事件概率計算的一般模型.

類型三 全概率公式的應用

變式方向四：在具體數據條件下，體驗全概率公式的計算方法.

【變式4】(具體數據)已知甲箱內有3個白球2個黑球，乙箱內有2個白球3個黑球，現從甲箱中任取一球放入乙箱，然后從乙箱中任取一球，則事件A：“從乙箱中取得白球”的概率為

( )

解題探究：以H1(H2)表示事件“自甲箱中取出的球為白(黑)球”，

此變式在于學生體驗利用全概率公式解決問題的一般計算過程.

變式方向五：在抽象數據條件下，理解全概率公式的計算方法，檢測代數式運算能力.

【變式5】(抽象數據)已知甲袋內有a個白球b個黑球，乙袋內有c個白球d個黑球，a,b,c,d∈N*，現從甲袋中任取一球放入乙袋，然后從乙袋中任取一球，求事件A：“從乙袋中取得白球”的概率.

解題探究：以H1(H2)表示事件“自甲袋中取出的球為白(黑)球”，考慮在H1，H2出現時，事件A的概率,

此變式在數據抽象狀態下，全概率公式應用的一般模型.

變式方向六：改變問題情境，貼近現實，體驗全概率公式的應用，這是用數學眼光觀察世界教育理念的落腳點，引導學生用數學的思想方法解決現實問題.

【變式6】(情境轉變)飛機機組由一架長機兩架僚機組成，一同飛向某目的地進行轟炸，但要到達目的地，一定要有智能導航系統，而只有長機有此設備，一旦到達目的地，各飛機將獨立進行轟炸，且每架飛機炸掉目標的概率均為0.3，在到達目的地之前，必須經過導彈陣地上空，此時任一飛機被擊落的概率為0.2，求目標被炸掉的概率.

解題探究：三架飛機飛往目的地去轟炸時，必須經過導彈陣地上空，任一飛機被擊落的概率為0.2，因此有以下各種可能：

(1)在導彈陣地上空長機被擊落，此時按題意不管僚機是否被擊落，都不可能有飛機到達目的地了；

(2)在導彈陣地上空兩架僚機都被擊落，只有一架長機沒有被擊落，此時只有一架長機到達目的地；

(3)長機沒有被擊落，其中一架僚機被擊落，此時有兩架飛機到達目的地；

(4)三架飛機均通過導彈陣地上空而到達目的地.

首先，對現實情境中的事件進行梳理：

設B0={沒有飛機到達目的地}，B1={只有長機飛到目的地}，

B2={長機與一架僚機飛到目的地}，B3={三架飛機都飛到目的地}，

A={目標被炸掉}，

其次，對問題中數據進行表達：

P(B0)=0.2，

P(B1)=0.8×0.2×0.2=0.032，

P(B3)=(0.8)3=0.512，

P(A|B0)=0，P(A|B1)=0.3，

P(A|B2)=1-0.7×0.7=0.51，

P(A|B3)=1-0.7×0.7×0.7=0.657，

此變式創設復雜的現實情境，檢測學生利用全概率公式來解決實際問題的能力.

類型四 復雜現實情境的綜合應用

變式方向七：改變問題目標研究方向，在解決目標問題過程中，運用全概率公式，計算條件概率.

【變式7】(尋找原因)已知甲箱內有3個白球2個黑球，乙箱內有2個白球3個黑球，丙箱內有2個白球2個黑球，現任取一箱，再從箱中任取一球，結果發現是白球，則在事件A“此球為白球”條件下，事件H1“此球屬于甲箱”的條件概率P(H1|A)為

( )

此變式既學會運用全概率公式計算概率，又會尋找原因，計算條件概率.

變式方向八：將教材中學到的思想方法用于解決現實問題，并在解決問題過程中運用全概率公式，這是新高考數學命題的基本理念.

( )

解題探究：首先，對現實情境中的事件進行梳理：

記A為“遲到”，H1,H2,H3，H4分別表示“乘飛機”“乘船”“乘汽車”“乘高鐵”，

其次，對問題中數據進行表達：

此變式創設復雜的現實情境，檢測學生利用全概率公式來解決實際問題的能力.

2.3 變式規律及研究

隨機事件的條件概率、乘法公式、全概率公式應用變式設計，以小球為抓手，由易到難，然后改變情境，貼近現實.正如前面所言，此類問題變式角度頗多，呈現形式多樣，問題情境多變，然而，所有問題的解題探究思路的順序是固定的，即第一步，審題過程中，將問題中的隨機事件尋找出來，排列好，并用數學符號表達好；第二步，將隨機事件的概率與條件概率，從問題中尋找到，表達好；第三步，將問題情境中需要解決的問題尋找出來，表達好.

3.總結