從一道高考真題反思高考命題與備考

甘肅 陳鴻斌

本文通過對2021年全國乙卷理科第9題進行探究,分析了高考創新試題的特點和命題趨勢,進而反思高三二輪復習中的應對策略,為一線課堂教學與測評考試提供參考.

1.真題呈現

(2021·全國乙卷理科·9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作,其中第一題是測量海島的高.如圖,點E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”.則海島的高AB=

( ).

2.似曾相識

本問題其實是初中所學知識,蘇教版初中數學教材九年級下冊數學活動：測量建筑物的高度.

測量底部不可直接到達的物體的高度問題,對于初中生來說不是個難問題,可按下面的步驟進行(如圖所示)：

(1)在點B處安置測角儀,測得∠GFD=α.

(2)在點B與物體CG之間的A處安置測角儀(A，B與C都在同一條直線上),此時測得∠GED=β.

(3)測量出測角儀的高度BF=AE=b,以及點A,B之間的距離AB=a.

有了初中知識的鋪墊,2021年全國乙卷第9題就不難解決了.

3.真題解答

解：如圖，連接FD,并延長FD交AB于M,設∠BFM=α,∠BDM=β,則

4.命題特點

4.1 起點低,但在創新中設關卡

《中國高考評價體系》明確了“一核”“四層”“四翼”,高考的考查要求要注重基礎性,能夠面向大多數考生,但是也要有區分度.本題以初中數學知識為起點,考查具有基礎性,但是處在第9題的位置上,不能過于簡單,源于初中課本而高于初中課本,在仰角正切值的轉化上設了關卡,產生了區分度.雖易上手,但不易走出來,在初中數學教材中《測量建筑物的高度》的基礎上進行創新,貫通了初高中知識的銜接與融合,再次體現了高考試題的創新性原則.

4.2 著力于數學建模核心素養的考查

隨著數學核心素養的提出與踐行,近年來對學生數學建模的能力越來越重視,同時高考也側重對數學建模核心素養的考查,體現高考命題的應用性.本題就是數學建模核心素養考查的很好例證,要求學生將現實情境問題抽象成三角形的數學模型,通過求解三角形來解釋現實情境問題,從中培養學生用數學的語言表達世界的學科素養.

由此可見,本題符合選拔性的要求,通過數學建模考查學生分析問題、解決問題的能力以及數學閱讀的能力,并不是機械地死記硬背,而是以能力立意,重視對數學知識的深刻理解,以及數學思想方法的考查.新教材已經專門設置了“數學建模與數學探究活動”主線,每一章都有一個“數學建模與數學探究活動”的專題,實現了數學建模的課程化,凸顯落實數學建模核心素養的重要性.

4.3 滲透數學文化和課程思政

本題以我國魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》為素材進行命題,滲透數學史,傳播數學文化,發揚科學精神,學習數學家們的數學成果以及優良的治學品質.高考試題中滲透數學文化是近年來的一大熱點,尤其是滲透我國數學家在數學發展中的貢獻,有助于增強學生的愛國主義精神,集體榮譽感和民族自豪感,引導學科教學注重課程思政教育,弘揚正能量和核心價值觀,以立德樹人為根本任務.

5.命題趨勢

從近年來高考試題中創新題的高頻率出現來看,2022年高考創新題仍然會出現,而且具有以下幾點的命題趨勢:

(1)素材源于課本而高于課本.高考題選材于課本的頻率較高,所以高考復習回歸課本是非常有必要的.

(2)設置現實情境問題,立足于數學建模核心素養的考查.就像史寧中教授所說:要教會學生用數學的語言表達世界.

(3)滲透數學文化和課程思政.高考命題的核心是立德樹人、服務選才、引導教學.

(4)能力立意,不是簡單的生搬硬套,但是要強調通性通法,考查數學思想方法的應用,體現高考試題的綜合性.

鑒于以上的命題趨勢,自編兩道創新題與讀者分享:

【自編題1】2020年7月23日12時41分,我國首次火星探測任務“天問一號”探測器發射升空,其任務目標是通過一次發射,實現火星環繞、著陸和巡視探測.2021年3月26日,國家航天局發布兩幅由“天問一號”探測器拍攝的南、北半球火星側身影像.圖像中,火星呈“月牙”狀,表面紋理清晰.在地球上發射的物體擺脫地球引力束縛,飛離地球所需的最小初速度稱為第二宇宙速度.發射“天問一號”探測器擺脫地球引力束縛,去探測火星所需的最小初速度就要達到第二宇宙速度.設從地面垂直向上發射的“天問一號”的質量為m,初速度為v0,若它飛到無窮遠處克服地球引力所做的功為W,則第二宇宙速度為

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命題意圖：本題考查不等式、函數最值等知識，考查函數與方程的思想，考查分析問題、解決問題、實踐創新的能力以及數學建模核心素養.試題本身難度并不大,但是在情境問題中抽象出數學模型,解決實際問題,而且打破了高中物理中給出第二宇宙速度的方式,淡化了記憶具體表達形式的思維定式,突出了數學原理本質,這樣一來就稍有點難度了.同時,以我國“天問一號”探測器為背景,既突出了數學與自然科學的聯系,體現數學文化,又可以激發學生的愛國主義精神.

預設難度：0.7

【自編題2】如圖是某省2021年10月17日至2021年10月30日第二次爆發新冠肺炎疫情累計確診病例人數y的趨勢圖.

(1)分別利用這兩個模型預測2021年11月4日的累計確診病例人數(保留整數)；

(2)你認為用哪個模型的擬合效果更好一些？并說明理由.

故模型②的擬合效果更好一些.

命題意圖:本題考查回歸分析等知識,滲透時代背景,考查應用意識、創新意識,落實數據分析、數學建模、數學運算等數學核心素養.本題數學建模中多了一個模型評價環節,與后續課程接軌.

預設難度：0.7

6.一點思考

6.1 高三二輪復習應設計創新題專題復習

相當一部分學生遇到創新題通常都有恐懼心理,尤其是以現實情境為背景,往往連題都讀不懂,加上數學建模的能力較弱,以致產生放棄的心理.因此,攻克創新題,提升數學建模的能力不能停留在嘴上,應該落實在二輪備考專題復習的實踐中,設計創新題專題復習計劃和教學設計,引導學生在系統的訓練中認識創新題、走進創新題,降低恐懼心理,鍛煉數學閱讀能力,提升分析問題和解決問題的能力,掌握數學建模的一般步驟,落實數學建模核心素養.

6.2 高三二輪復習應采用大單元整體復習教學設計

一道好的考題往往是若干個核心概念的交匯,注重知識的聯系性,教師要引導學生打破現有章節的限制,將相關的知識整合在一起,采用單元整體教學設計,重新建構認知結構,有助于從整體上厘清主線與核心概念,強化通性通法,做到一通百通,觸類旁通,提升知識遷移的能力.

6.3 高三復習更需要課程思政