基于數學大觀念理論的單元整體教學建構

董文彬

英國學者查爾斯在“作為中學數學基礎的偉大思想和理解”一文中將“數學大觀念”定義為：對數學學習至關重要的觀念的陳述，是數學學習的核心，能夠把各種數學理解聯系成一個連貫的整體。澳大利亞維多利亞州教育和兒童早期發展部將“數學大觀念”界定為：是思考數學某些關鍵方面的一種觀念、策略或方法，涵蓋并聯系著其他多種觀念和策略;是一種理想化的認知模型，它提供了支持進一步學習和概括的組織結構或參考框架;無法明確界定，但可以在活動中觀察。查爾斯認為數學大觀念應當居于數學學科的核心位置，并且能夠用其將數學構建為連貫的整體。澳大利亞維多利亞州教育和兒童早期發展部認識到數學大觀念對于關鍵知識、技能、思想方法的學習具有重要價值，并指出數學大觀念應當落實到實踐中去，并可以在活動中觀察。由此，數學大觀念的本質內涵應是：結構、聯系和遷移。

“比的認識”作為“數與代數”領域兩種數量關系教學的核心內容，是發展學生模型思想的重要學習載體，在小學數學課程中占有十分重要的地位。教學中，應依據教材和學情，基于數學大觀念理論對“比的認識”進行單元整體教學建構，發展學生的數學模型思想這一數學素養。

一、基于數學大觀念的概念解釋和本質思考

“比的認識”這一單元屬于“數與代數”領域內容。在單元教學時，我先對“比”的概念解釋和“比”的本質進行了系統梳理與思考。

（一）“比”的概念解釋

由此可見，相比于《辭海》和現行教材，我國臺灣地區教材對“比”的概念解釋——對并置的兩個量對等關系的記錄，更接近“比”的本質。

（二）“比”的本質思考

東北師范大學史寧中教授認為，“比”的本質其實就是兩個數量倍數關系的表達和度量。度量包括兩個要素：一是度量單位;二是度量單位的個數即度量值，也稱“量數”。通過測量，用“量數=量/度量單位”表示度量的結果。物體的長度、面積、體積、質量等具有可度量的屬性，而顏色、形狀、質地等屬不可度量的屬性，要用“比”來記錄對等關系。

關于度量與“比”的本質聯系，具體體現如表2。

由此可見，與度量相比，“比”能找到與其一一對應的本質屬性。如果這種一一對應的本質聯系姑且算作“比”的外在特征的話，那么用“比”記錄兩個量的對等關系，進而刻畫物體不可度量屬性的可比性則是“比”的內在表現。

二、基于數學大觀念的單元教材分析

在理清關于“比”的概念解釋、進行“比”的本質思考基礎上，基于數學大觀念，我對單元教材分析如下。

（一）縱向梳理教材——構建知識體系

“比”是對兩個數量之間倍數關系的表達和度量。以北師版教材為例，關于兩個數量之間關系的認識與學習路徑，體現如圖1所示。

“比的認識”是在第一學段經歷了比較（比大小）、除法意義與倍的認識、分數的初步認識、以及第二學段分數的再認識、百分數的認識基礎上展開學習的。從比差到比率，“比的認識”更加凸顯數量關系的豐富性、聯系性、獨特性（比不僅能刻畫同類量的關系即倍比關系，也能刻畫不同類量的關系即衍生的量）。從常量世界到變量世界，“比的認識”也是后續學習比例，正、反比例以及第三學段函數等其他有關方面知識的重要基礎。特別需要說明的是，“比的認識”是在學生已經學習過分數乘（除）法的意義和計算、分數的意義及基本性質以及分數與除法的關系基礎上繼續學習的，這些知識都是學習本單元內容的直接基礎和重要經驗。“比的認識”是對分數意義認識的豐富，是分數的認識在經歷了前兩個階段（分數的份數定義、商的定義）之后的第三階段（“分數的比”的定義），理解“比”的本質意義能夠幫助學生進一步完善認知結構和構建知識體系。

（二）橫向對比教材——把握“比”的本質

關于“比的認識”，對比人教版、蘇教版和北師版教材的編排我們發現，無論是人教版、蘇教版還是北師版教材，都通過創設豐富的情境，如牛奶與果汁的關系、國旗長與寬的關系、照片的像與不像、路程與時間的關系、總價與數量的關系等，讓學生經歷從具體情境中抽象出“比”的過程，充分感知“比”、體會“比”的意義。各版本的教材都從兩個角度呈現了“比”的意義：一個是用“比”刻畫兩個同類量之間的關系，另一個是用“比”刻畫兩個不同類量之間的關系。最終都呈現了對“比”的概念解釋：兩個數相除又叫做兩個數的比（北師版、蘇教版表述）;兩個數的比表示兩個數相除（人教版表述）。

在內容編排上，本單元提供多種問題情境和呈現方式，讓學生經歷從具體情境中抽象出“比”的過程，體會引入“比”的必要性以及“比”在生活中的廣泛存在，并按照“比的意義—比的化簡—比的應用”的順序進行學習，層層進階，深入理解“比”的意義，建構“比”的模型，在不斷深入學習中發展學生的模型思想，提高問題解決能力。

三、基于數學大觀念的單元學情分析

為了解學生在學習“比的認識”之前對“比”的理解程度，我對六年級學生進行了前測調研。為避免“問題2”對“問題1”造成干擾和提示，用兩個班共計74人測試“問題1”，用另外兩個班共計69人測試“問題2”。

問題1：你在生活中聽過或見過“比”嗎？請你用自己喜歡的方式把它表示出來。（意圖：調研學生對“比”的生活經驗和認識程度）

問題2：有一種泡泡液，要把它調制成泡泡水來吹泡泡。按照說明，其中1：2是什么意思？你知道該怎樣使用這種泡泡液嗎？（意圖：調研學生對配比情境中“比”的意義的理解狀況）

“問題1”的調研結果分析如表3。

通過對六年級兩個班共計74名學生的前測可見：

其一，學生都聽過或見過他們心中的“比”。說明對于生活中的“比”有著豐富的經驗和表達，但僅有35.1%的學生舉出了數學意義上的倍比關系的例子。而舉例并能正確解釋的學生只占31.1%，且其中有8.1%的學生舉例時還涉及賽場上的比分，另有4%的學生無法對“比”做出解釋。由此可見，有近七成的學生沒有觸及“比”的本質，不能理解“比”的意義。

其二，有13.5%的學生對“比”只停留在的字面意義層面上的認識。部分學生對“比”的認識仍停留在感性比較上，比如誰比誰長得好看，誰比誰寫字好;當教師提到百分比的例子時，因為這部分學生還未學習百分數，之所以能提及百分比，也只是因為百分比中有“比”這個字而已。有4.1 %的學生僅掌握舉例形式的“比”的知識，如“比”和除法、分數的互化，“比”的化簡等。為進一步了解他們是怎么寫出來的，我對這部分學生進行了追訪，通過追訪發現，學生僅是通過課前預習或家長告知而獲得了對“比”的程序性或技能知識，而對“比的意義”的認識還是模糊不清的。

其三，高達45.9 %的學生所舉的都是生活中比差關系的例子。比如比大小、比多少、比長短等，說明比差關系是學生認識比最原始的基礎和經驗，也是本單元理解“比的意義”的最大障礙，必須加以區分。特別需要說明的是，有18.9%的學生談及了賽場上的比分，這說明在本單元“比的意義”的基礎上，對二者進行區分十分有必要。

通過對六年級另外兩個班共計69名學生關于“問題2”的前測（如表4）可見：

其一，對于現實生活簡單配比情境中的“比的意義”，有79.7%的學生能夠從份數和倍數關系的角度作出正確解釋，且其中還有2名學生聯系了分數意義來對“比”作出解釋。這說明在本單元建立“比的意義”學習之前，學生已經有了一定的知識經驗。份、倍、分數等這些知識經驗有助于學生理解“比的意義”，為建立“比”的關系模型提供必備的學習基礎。配置泡泡水這樣的配比情境十分貼近學生生活，多數學生都有吹泡泡的生活經驗，這樣的經驗能夠幫助他們解釋“比的意義”，說明創設這樣貼近學生生活的配比情境對于本單元學習是十分必要的。

其二，有20.3%的學生對“比的意義”作出錯誤解釋或完全解釋不清，需引起教師的特別重視。另外，即便學生能解釋簡單情境中“比的意義”，也未必真正建立了“比”的關系模型。因此，本單元需要創設豐富的問題情境，幫助學生在問題解決中逐步建立、拓展和豐富“比”的模型，層層深入理解比的意義，深化對“比”的本質認識。

四、基于數學大觀念的單元整體教學體系構建

基于上述單元教材與學情分析，我產生了一連串的問題與思考：兩個數相除又叫做兩個數的“比”是否能夠準確定義“比”？除法就是“比”，還是“比”就是除法？二者是等價的嗎？有了除法和分數，為何還要學習“比”？“比”獨特的價值體現在哪里？到底什么是“比”？“比”的本質是什么？為此，我擬定了“比的認識”的單元問題框架（如圖2）。

在這個問題框架下，結合大觀念理論，我對“比”的認識如下。

其一，“比”的本質是表達和度量兩個數的倍數關系，是刻畫事物某種屬性的重要模型。“比”源于同類量的比較關系，但是可以推廣到“不同類量”的情形。不同類量的“比”可以產生新的量（衍生的量）。

其二，“比”源于度量，度量解決了物體可度量的屬性，“比”更多是為了表征隱含于數量之中的、不可度量的事物屬性，這也是除法所不能及的。

其三，認識“比”可為比例的學習做準備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數關系。

其四，要在以上過程中發展學生的模型思想、度量思想，提高問題解決能力。

基于此，我在大觀念的引領下對“比的認識”進行單元整體構建，確定了“比的認識”單元學習目標和學習重難點。

【單元學習目標】

一是在大量豐富的問題情境中逐步感知“比”，理解“比的意義”及其與除法、分數的關系，能正確讀寫“比”，知道“比”的各部分名稱，理解比值的概念，能正確地求出比值。會正確化簡“比”，并能解決一些簡單的用“比”刻畫事物不可度量屬性的可比性的問題。

二是經歷從具體情境中抽象出“比”的過程，體會引入“比”的必要性以及“比”在生活中的廣泛存在與應用，能運用“比的意義”解決有關按比分配的實際問題，感受“比”的價值，豐富認識，提升思維，培養度量意識，發展模型思想。

三是作為學習共同體的一員，使學生在問題解決的過程中形成聯系的視角，培育嚴謹求實的態度、勇于嘗試的精神和持續思考的勇氣，感受數學的應用價值，享受數學思維的樂趣，獲得成功的體驗。

【學習重點】

經歷從具體情境中抽象出“比”的過程，理解“比”的意義，合理應用“比”解決實際問題。

【學習難點】

理解比的意義，感悟“比”的價值。

本單元學習主題為“作為關系的比——比的認識”，在大觀念引領下設置三個課題“比的意義”“比的化簡”和“比的應用”，共計5課時。“比的意義”設置2課時，以兩個分課題“生活中的比（一）”和“生活中的比（二）”分別進行學習，其中“生活中的比（一）”設置 1課時，在聚焦“哪幾張圖片與A比較像”的核心問題下設計學習活動，主要是指向認識“比”用來刻畫同類量關系，建立“比”的模型。“生活中的比（二）”設置 1課時，在聚焦“哪個游泳池更擁擠”的核心問題下設計學習活動，主要是指向認識“比”用來刻畫不同類量關系，拓展“比”的模型。“比的化簡”設置1課時，在“哪杯水更甜”的核心問題下設計學習活動，主要是指向再理解“比”所表示的兩個同類量關系，再認識“比的意義”，豐富“比”的模型。“比的應用”設置2課時，以兩個分課題“比的應用（一）”和“比的應用（二）”進行學習，分別聚焦“橘子怎樣分合理”和“怎樣調制巧克力奶”的核心問題下設計學習活動，主要是指向深化理解“比”用來刻畫同類量關系，再認識“比的意義”，應用“比”的模型解決問題。

本單元通過對三個主課題的學習，幫助學生逐步理解“比的意義”，建構“比”的模型，深化“比”的關系本質，以完成對“比”完整、豐富而又立體的認識。整個單元基于學生從比差到比率的思考角度，確定單元內容線索，單元構建有根基;通過對同類量與不同類量關系的刻畫與理解構建“比”的關系模型，實現建構，單元構建有邏輯;模型貫穿單元每個課時，通過單元整體構建實現模型思想發展的進階，單元構建有張力（如圖3）。

（責任編輯：楊強）