基于深度學習理念下的教學設計

龐宇中

在深度學習的引領下，從單元整體結構把握內容的聯系，顯示數學教學本應具有的研究價值，真正引發(fā)學生自主、有方向、有價值地完成學習任務，不僅符合數學學科特征，也對學生數學學習興趣、核心素養(yǎng)的提升大有裨益。所謂深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學習過程。在這個過程中，學生能掌握學科核心知識，理解學習過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎扎實的優(yōu)秀的學習者，成為未來社會歷史實踐的主人，這是教育部對深度學習的定義。

深度學習不是教學模式，而是教學思想、教學理念。它要求顯示出教學本來該有的樣子，能引發(fā)學生主動學習，當然這不等同于學生的自學，深度學習的前提是有教師引領，這其中教學必然是存在的，學習內容是有挑戰(zhàn)性的學習單元，這個過程中每個學生都能沉浸在學習中，人人都能有所收獲，深度學習的任務是提高能力，形成優(yōu)良品格，就數學而言當然包括核心素養(yǎng)的提升。如何讓教學有深度、有價值，關鍵在于對課例的整體把握。所以有意義的教學活動，在建立聯系的基礎上，要形成結構;通過問題引領，體驗交流與頓悟，讓學習真正發(fā)生;利用單元整體教學，發(fā)現深度學習點。筆者即以浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊——“三角形的初步認識”為例，談談自身的教學主張。

一、單元整體構建

在整體架構的過程中，對研究對象來說，首先需要思考以下幾個問題：三角形的知識（內容）是按照怎樣的邏輯展開教學的？理解什么叫“三角形的初步認識”，初步之后干什么？又應該如何展開教學？浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊——“三角形的初步認識”的單元目錄主要包含以下內容：1.1認識三角形，主要研究三角形概念及要素關系，一些簡單的性質定理;1.2和1.3是命題證明等語言邏輯，暫且撇開不談;1.4和1.5是全等三角形的相關內容;1.6是尺規(guī)作圖，具體是操作層面上的問題。如果以現階段流行的大概念理念，可以將三角形初步梳理如下：

其中大部分與教材相似，而相似三角形在研究難度上要大于全等三角形，部分學習方法是可以與全等三角形進行類比的，因此將相似三角形內容置后學習，也導致了重心的性質延后。而內心是圓相關的內容，也是需要延后學習的，這也就確定了三角形初步學習的內容。

另外，三角形初步之后的進一步研究該如何進行，思考這個問題，對整體把握、深度學習有著非常關鍵的作用，也是形成聯系架構的規(guī)劃方向。可以從以下三個方面進一步研究，第一，是研究維度加深，例如研究完中線的性質，很容易引導學生去聯想三角形有幾條中線，三條中線可能產生何種特殊的位置關系或者數量關系，三條中線的交點又會和中線本身，和三角形的其他要素產生何種關系。以此類推，三條角平分線、三條高線等，持續(xù)深入地挖掘要素之間的關系;第二，將要素或者圖形特殊化進行研究，也就是所謂的特例的研究，比如等腰三角形、等邊三角形等，在要素特殊化的過程中，要素關系也會產生相應變化，使研究成果更加豐富;第三，關聯性的復雜化，也就是從聯系上入手，從全等的等量關系到相似的比例關系，可以看作一種復雜化，但也因此大大增加了研究的輻射面，使涵蓋面更加廣泛。

理解清楚前后關聯與知識定位，更有助于教師進行單元整體構建，讓每一個部分都變成有意圖、有邏輯體系、有育人價值的重要環(huán)節(jié)。

二、邏輯主線生成

在單元整體架構下，不難發(fā)現，三角形初步的整個基調是先研究一個三角形，再研究兩個三角形之間的關系。三角形作為第一個學習的封閉直線型，奠定了后續(xù)幾何學習的導向，依照概念（定義、分類、表示）——性質——聯系（結構）的研究方法確定了幾何研究的邏輯思路，以要素間的關系為切入點進行性質的探究。比如，在教材中可以以三角形的基本要素，即邊與角為例，在通過要素間的關系定義概念后，即可探究角與角之間有內角和為180°的確定的數量關系，邊之間有任意兩邊之和大于第三邊的不等關系，角與邊之間有大邊對大角的對應關系，當然某些更為具體的關系會在后續(xù)學習中繼續(xù)探索。而兩個三角形之間的關系依照圖形之間的形狀、大小、位置等特征進行定義，初步學習中主要研究最特殊的全等關系，而在研究一個三角形后，即可通過對應關系有效傳遞某些特質，這就是三角形初步學習所要達到的效果，也就是教師需要有序呈現給學生的知識邏輯。這樣的認知過程是可復制的，對后續(xù)特殊三角形或四邊形等其他幾何圖形的學習是具有提供類比模板的效果的，這也是對深度學習的一個重要導向。而知識邏輯生成的前提是必須符合學生的認知邏輯，比如學生更習慣從單一靜態(tài)圖形到多樣的組合圖形，或者動態(tài)圖形;從簡單的問題上升到復雜問題;從一般到特殊（有時也會從特例先入手）等，在符合學生認知邏輯的基礎上的整體架構才更能實現其價值，與知識邏輯交相輝映，實現事半功倍的效果。

三、具體內容設計

整體架構與邏輯主線的形成是大方向實現的重要導向，但每一個課時環(huán)節(jié)也都是至關重要的，下面就如何教好某一個知識進行深入研究。筆者以基本要素“三角形的重要線段”為例進行教學設計，重點解決以下問題：“三角形的重要線段”是如何教學的？一條線段的教學，整合起來要達成怎樣的教學目的？這個過程到底講述了怎樣的數學“故事”？揭示了三角形怎樣的空間結構？在認識和學習幾何圖形的過程中，給將來學習，研究幾何圖形以怎樣的啟示？

（一）內容與內容解析

本節(jié)課選自浙教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“1.1認識三角形”的第二課時。本章是初中階段學習的第一個直線型幾何圖形，也是初中第一個具體深入研究的幾何圖形。七年級已經學習了幾何初步以及相交線、平行線的基本內容，對幾何已具備學習基礎，針對幾何圖形的重要組成要素：點、線、角等進行了較為深刻的認識，尤其是它們之間的關系，如大小關系、位置關系等，有助于著手研究具體的幾何圖形。作為第一個具體學習的幾何圖形，三角形的學習對后續(xù)幾何學習有著至關重要的影響。它作為幾何學習標志，為幾何學習提供了類比與轉化對象，形成了幾何學習的一般思路，為后續(xù)不論要素學習、特殊圖形學習，還是其他圖形學習提供了方法與理論基礎。三角形三線的學習是在三角形定義與基本性質學習后深入學習的內容，三角形的基本性質主要產生與角、邊等基本要素之間的對應關系，如果研究的視野僅僅聚焦于此，難免太過單調，也無法體現三角形反映的空間性質，因此加入外角、高線、中線和角平分線等研究對象，能大大提高對三角形的認知，使三角形的性質變得更加豐富多彩。

對三線的定義，可以仿照三角形的定義，采用“屬+種差”的定義方式，實現研究方法的統一，性質的探索依然可以利用三角形性質研究時重點打造要素關系，三線的性質反映了三線參與后與三角形本身的要素之間產生的定性、定量關系，為解決線段相等、角相等、比例相等、面積相等問題提供了新的方法和依據，更反映了大多數空間的基本性質。因此本節(jié)課的內容是平行線、三角形等知識的延續(xù)和深化，同時也為后續(xù)學習奠定了堅實基礎。筆者用如下框圖闡述了三角形三線的知識結構：在具體研究過程中用到了推理的思想，具體體現在類比、歸納和演繹思想上。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：三角形三線的性質及其應用。

（二）目標與目標解析

本節(jié)課的目標定位為：1.理解中線、高線、角平分線的概念;2.探索并發(fā)現三角形三線的性質;3.嘗試證明三角形三線的部分性質;4.能根據定義或性質進行有關的計算和證明。達成目標1的標志是：學生能用文字語言、符號語言、圖形語言描述三線的定義，知道性質的研究是以定義為出發(fā)點的。達成目標2的標志是：學生能通過觀察、操作、測量、運算等方法發(fā)現三角形三線的性質，能用文字語言和符號語言準確表示性質的含義。達成目標3的標志是：學生能利用已知的知識用符合數學邏輯的語言證明部分性質成立。達成目標4的標志是：學生能利用性質進行推理證明，解決相關問題。

（三）教學問題診斷

小學已初步接觸過三角形的相關內容，但小學階段對幾何的學習主要停留在實驗幾何的范疇，進入初中通過幾何初步以及平行線的學習，進行了一些推理證明的訓練，對論證幾何有了一定的認識，但這種訓練只是初步的，需要進一步鞏固和提高。另外，對三角形三線的性質，基于小學時的經驗和幾何直觀，學生能猜想出一些，但要無序散漫地尋找，還是有序理性地求索，此乃關鍵。教學中要讓學生在以往經驗的引導下自主探索，從要素關系入手，在特殊條件的引領下進行思考，發(fā)現新的結論，體會其對空間性質的深刻影響。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點：三角形三線性質的探索與證明。

（四）教學過程

環(huán)節(jié)一：獲得對象。在紙片上任意畫一個三角形，觀察小組內所畫三角形是否相同，并說出他們的共同點是什么？（教師將零散的知識塊，串聯成研究幾何圖形的一般思路）。設計意圖：通過繪制三角形的過程，重現要素關系定義幾何圖形的方法，回顧三角形的定義，通過交流共同點回顧三角形的性質與分類，熟悉通過要素關系研究定理的過程，形成研究幾何圖形的一般思路。畫一條線段把所畫的三角形分成兩個三角形。問題一：相互觀察，所畫線段是否一樣？問題二：這樣的線段可以畫幾條？問題三：這些線段有什么共同特點？問題四：隨著點P的改變，被分成的兩個三角形是否發(fā)生了變化？問題五：在變化過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化？設計意圖：中線、高線、角平分線一定不是憑空出現的，三線之間也必然會有內在聯系，在整體設計、深入理解的前提下，給出引領三線的重要線段，將視角從基本要素邊上轉移到頂點與對邊一點的連線段上，為之后三線的生成提供母體。通過問題串的設計，引導學生去確定研究對象，思考變化中的不變量，經歷性質的產生過程，例如三角形的面積之比等于底邊之比等，為后續(xù)的性質發(fā)現提供了方法指導。

小組討論，當點P運動到哪些特殊位置時，可以得到更為特殊的線段AP。設計意圖：秉承從一般到特殊的理念，引導學生從不等到相等，從一般的角到特殊角，從變化過程中的最長或最短、最大或最小等角度，進行要素的特殊化處理，在如此系統的操作過程的引領下，中線、高線、角平分線的產生不僅自然，而且統一。給出中線、高線、角平分線的定義。設計意圖：定義的給出以要素關系為出發(fā)點，由此可將三線的定義整合，中線是頂點到對邊中點的連線;高線則可看作過頂點作對邊的垂線所產生的垂足與此頂點的連線;同樣的，三角形的角平分線則是角的角平分線與對邊的交點與該角頂點的連線，如此定義也可幫助學生理解相應線段出現的位置差異，如三角形的形外高，同時進一步明確三角形的三線是從頂點出發(fā)的三條線段，也與后續(xù)如中垂線、中位線等概念進行有效區(qū)分。

環(huán)節(jié)二：探索性質。接下去分別就三條特殊的線段進行性質探索。以高線為例：問題一：若AP為高線，此時被分成的兩個三角形變成何種三角形？問題二：這些三角形的邊、角較一般情況會產生何種新的特征？問題三：對高線你還有其他能想到的嗎？問題四：除了以上的定性關系，從定量上來看高線還有別的特點嗎？設計意圖：探索要素關系是研究性質的基本方法，在前面的活動中讓學生聚焦于被分割的兩個三角形以及它們的要素。在高線的特殊條件加入后，引導學生觀察要素經過條件感染后產生的明顯變化，學會從邊、角等方面有序羅列，從而發(fā)現如直角三角形、銳角三角形之間的互余關系，邊之間的定量關系等。隨后的追問將問題引到更加深沉的地步，比如高線是頂點與對邊交點連線中最短的，引出其重要的度量屬性，而談到面積又會產生化斜為正的重要思想，這樣的發(fā)現過程學生必然是沉浸其中的。

以中線為例：問題一：若AP為中線，此時被分成的兩個三角形有何特征？問題二：這些三角形的邊、角、周長、面積之間較一般情況會產生何種新的特征？問題三：對中線你還有其他能想到的嗎？設計意圖：三線性質的探索過程是可以相互借鑒的，當然除了聯系之外，也需要體會三者之間存在的差異，相較于高線分成的兩個直角三角形，中線所分的三角形不是特殊三角形，而需要通過中線帶來的直觀的線段相等入手，引導學生從一般情況發(fā)現的結論入手，得出并證明三角形之間面積相等的重要結論，自然的，周長之間的關系也是容易一并生成的，后續(xù)的追問能讓學生體會類似中線所產生的結構對旋轉對稱的重要作用。

以角平分線為例：問題一：若AP為角平分線，此時被分成的兩個三角形之間會產生何種聯系？問題二：除了角度相等以外，邊之間是否也存在特殊的關系呢？問題三：除了研究數本身以外，還可以從它們的和、差、積、商去研究他們的數量關系（展示和差積商，總結規(guī)律）。設計意圖：角平分線對三角形的影響是重要，但是生澀的，許多的性質定理需要通過后面的知識方可證明，但對定理的發(fā)現，可以為學生提供思想方法與技術支持，在幾何畫板展示變化過程中的不變量，更容易讓學生發(fā)現角平分線對邊之間比例關系的影響，提高學生的探索欲望，也堅定其嘗試證明的決心，真正實現深度學習。

環(huán)節(jié)三：應用新知

1.在△ABC 中，D是BC邊上的一點，若S△ABD=S△ADC，則AD是△ABC的（? ? ?）。

A.高線? ? B.中線? ? C.角平分線? ? D.垂直平分線

2.如圖，ΔABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，AD平分線∠BAC。過點D作DE⊥AB于點E，則∠ADE的度數是（? ? ? ）。

A.45°? ? ? ? ? ? B.50°? ? ? ? ? ? C.55°? ? ? ? ? ? D.60°

3.已知△ABC中，AC=5cm，中線AD把△ABC分成兩個小三角形，且△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，你能求出AB的長嗎？設計意圖：通過性質的應用及時鞏固性質，讓發(fā)現的性質成功著陸，進一步體會三角形三線對三角形的特殊作用。

環(huán)節(jié)四：梳理小結。問題一：研究對象（三角形的三線）是如何獲得的？問題二：我們是如何研究三線性質的？問題三：三線的性質有哪些應用之處，在應用時需要注意哪些要點？問題四：你還可以從哪些角度進一步研究三線的性質？設計意圖：小結的過程往往就是方法總結的過程，也是我們進行練習和架構的重要環(huán)節(jié)，回顧整個研究思路，能進一步鞏固研究幾何的一般套路，在整體統一的認識與學習后進一步體會三角形章節(jié)的整體框架，真正做到心中有底，又不失熱情。隨后的追問為學生提供了新的研究線索，可以從一條到三條之間的聯系，可以著手于特殊三角形的三線等方面，讓學生學習的熱情不會隨著課時結束而終止。

（五）教學反思

深度學習的內涵遠不止于此，除了課內要教給學生的內容以外，教師仍需不斷強化學生對數學學習的熱情、素養(yǎng)等許多方面，激發(fā)其自主探索的動力，潛移默化中使之領會數學的魅力。比如，三角形三線的學習中，希望學生能從中線：面積相等;角平分線：邊的“對稱”比例關系;高線：距離（最短通路）等方面，體會到研究對象的根本屬性：對象具有對稱性，對象構成距離空間，對象的度量特征。這恰恰反映了空間的本質，后續(xù)的研究將永遠圍繞三件事展開，在點滴中或許就形成了學生對幾何研究的整體性了。

四、幾點思考感悟

數學知識不是零散的、碎片式、雜亂無章的信息，而是有邏輯、有體系、有結構的知識，基于深度學習的課堂教學，要充分考慮學生已有的認知經驗，統觀整體的知識架構，在教師的引導下，根據當前的學習活動區(qū)聯想、調動、激活以往學習的經驗開展當下的學習。整體觀念的視角下，三角形三線的學習理應是一氣呵成的，不是獨立分散的，所以教師不能局限于教材中簡單的性質，如今這種大膽的嘗試使獲得的性質更具有整體性，能更完整地反映空間本質，符合學生的認知規(guī)律。性質發(fā)現的過程是學生自主交流、思維碰撞的過程，實現了從直觀到演繹推理的過程，有助于增強學生的邏輯推理能力和語言表達能力，提高學習興趣，沉浸于環(huán)環(huán)相扣的問題解決中，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力。

（宋行軍）