淺談必要性探路在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用
——以2022屆武漢市九調(diào)第21題為例

湖北 羅小兵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.筆者在教學(xué)實踐中基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)展開教學(xué)研究，2022屆武漢市九調(diào)第21題充分體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

我們在進行數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化時，要求這種轉(zhuǎn)化是等價的，也就是說既要滿足充分性，又要滿足必要性，但在很多時候為了找到問題的突破口，比如含參不等式的恒成立問題，可以找到使問題成立的必要條件，又由于必要條件得到的參數(shù)取值范圍是必須滿足的取值范圍，所以在對充分性進行驗證時只需要限定在這個范圍內(nèi)進行即可，這就是“必要性探路”.問題的關(guān)鍵是在證明必要性時，我們究竟該取什么值？為什么取這個值？這都是值得我們深思的問題.

1.試題呈現(xiàn)與解法探究

【試題再現(xiàn)】題1：已知函數(shù)f(x)=2(x-2)lnx+ax2-1.

(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

(1)答案略；

評析：對于解法一，優(yōu)點是比較符合學(xué)生的認知水平，參變量分離也是解決恒成立問題的通性通法；缺點是計算量大，很多學(xué)生在求導(dǎo)時出現(xiàn)問題，同時在后續(xù)分析過程中會涉及隱零點問題，也有一定難度，難以得到最終結(jié)果.

對于解法二，我們在感嘆方法巧妙的同時又心生疑惑：為什么取值是1，而不是定義域內(nèi)的其他值，而且代入1正好是參數(shù)的取值范圍.當(dāng)學(xué)生帶著這樣的疑惑來向老師求助時，作為傳道授業(yè)解惑的教師，有必要厘清這種解題方法的來龍去脈.

2.考題鏈接

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范圍.

德氏乳桿菌（Lactobacillus delbrueckii）亞種保加利亞乳桿菌是使用D-乳酸脫氫酶（DLDH）將丙酮酸鹽主要轉(zhuǎn)化為D-乳酸的非均勻乳酸菌，其功能特性仍然不佳，進一步的研究表明，乳酸脫氫酶活性受氧下調(diào)，因此在厭氧條件下達到最高的D-乳酸滴度為1.94 g/L[29]。D-乳酸是德氏乳桿菌的主要乳酸產(chǎn)物，但不能被人體腸道代謝，Zhang J等[30]進一步研究了氨基酸水平上D-LDH和L-LDH基因的進化，發(fā)現(xiàn)德氏乳桿菌D-LDH基因是正向選擇的，可能是長期馴化的結(jié)果。Viana R[31]發(fā)現(xiàn)干酪乳桿菌有兩種特征基因編碼乳酸脫氫酶活性，它特別催化了L-乳酸的形成。

(1)答案略；

評析：構(gòu)造差函數(shù)和必要性探路最終都得到滿足題設(shè)的必要條件，但利用必要性探路得到參數(shù)取值范圍的過程要簡潔得多；最后對充分性進行驗證，本題采用的是反證法.另外，對于必要性探路為什么取0而不是其他值，分析思路依然是利用公切線求切點.

3.推廣引申

命題：若f(x)在開區(qū)間D上一階可導(dǎo)，f(x)≥0，且存在x0∈D，使得f(x0)=0，則f′(x0)=0.

(2)f(x)≥g(x)在x>0時恒成立，求a的取值范圍.

圖1

圖2

評析：在聯(lián)立方程組求公切線的切點過程中，如果出現(xiàn)多組解，我們的探路點并不是隨便選取一個，往往還需要進行更深入地分析找到合適的探路點，如果從圖象上來描述，則是公切線兩側(cè)的曲線具有相反的凹凸性.

4.反思感悟

綜上所述，必要性探路在解決含參不等式恒成立問題上是一個有力的武器，我們也明白了其原理和適用范圍.現(xiàn)在我們已經(jīng)知道探路點的獲取并不是碰運氣，而是通過嚴密的邏輯推理所得到的，教師在進行解題時，不僅要教會學(xué)生解題方法，更要讓學(xué)生知道如何合理地選擇方法，同時對于方法的原理要知其然還要知其所以然，否則就真的成為了“碰運氣”.