巧用凹凸性 妙解數學題

江蘇 戚有建

函數的凹凸性是高等數學中的一個重要的數學概念，雖然在高中數學教材中沒有明確出現凹凸性這個概念，但是在高考題中卻經常可以看到凹凸性的蹤影，實際上凹凸性是高等數學和初等數學的一個銜接點，在研究函數的凹凸性時，可以用導數作為工具，這樣就將凹凸性與高中數學中的導數知識聯系起來．凹凸性在研究函數最值、證明不等式等方面有著廣泛的應用，近年來，以凹凸性為背景的試題已多次出現在高考中.筆者認為,在進行函數性質的教學時，教師可以適當補充一下函數凹凸性的相關內容,這樣能夠幫助學生全面深刻地理解函數的概念和性質.本文以幾道高考題為例，剖析其中的凹凸性蹤影,以期拋磚引玉.

1.凹凸性的定義

設函數f(x)是在區間I內的函數，若對任意x1，x2∈I(x1≠x2),

2.凹凸性的幾何特征

(1)形狀特征

凹函數(或下凸函數)的形狀特征：曲線任意兩點A1與A2之間的部分位于弦A1A2的下方；

凸函數(或上凸函數)的形狀特征：曲線任意兩點A1與A2之間的部分位于弦A1A2的上方.

(凹函數)

(凸函數)

(2)切線斜率特征

凹函數(或下凸函數)：切線的斜率隨x增大而增大;

凸函數(或上凸函數)：切線的斜率隨x增大而減小.

(凹函數)

(凸函數)

3.凹凸性的推廣：琴生不等式

4.凹凸性的判斷

設函數f(x)在區間I上二階可導，

(1)若對任意x∈I,都有f″(x)>0，則f(x)在區間I上為凹函數(或下凸函數).

(2)若對任意x∈I,都有f″(x)<0，則f(x)在區間I上為凸函數(或上凸函數).

5.凹凸性的應用

由于凹凸性與導數密切聯系，而導數是高考考查的重點、熱點和難點，這就為高考命題提供更多的素材和視角．借助凹凸性，可以解決很多最值問題和不等式問題.

【例1】已知函數f(x)=(1-x2)ex,當x≥0時，f(x)≤ax+1恒成立，求a的取值范圍.

解析：由題意得?x∈[0,+∞)，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立.

方法1：研究差函數g(x)=(1-x2)ex-ax-1的最值

令g(x)=(1-x2)ex-ax-1，x∈[0,+∞)，則g′(x)=(1-2x-x2)ex-a，故g″(x)=-(x2+4x+1)ex<0，

所以g′(x)在[0,+∞)上單調遞減，而g′(0)=1-a，所以可得：

①當a≥1時，g′(x)≤g′(0)=1-a≤0，所以g(x)在[0,+∞)上單調遞減，所以g(x)≤g(0)=0，符合要求；

②當0≤a<1時，g′(0)=1-a>0，g′(1)=-2e-a<0，又g′(x)在[0,+∞)上單調遞減，

所以由零點存在性定理得?x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0，當x∈(0,x0)時，g′(x)>0，所以g(x)在(0,x0)上單調遞增，所以g(x)>g(0)=0，不符合要求；

綜上，a的取值范圍是[1,+∞).

點評：方法1是處理含參不等式恒成立問題常用的方法，也就是將不等式恒成立問題轉化為求差函數最值問題，然后研究不等式“g(x)max≤0”，此種解法通俗易懂，學生容易想到.但由于本小題中引入了參數a，故需要對參數a分情況討論處理，這對學生的思維能力提出了較高要求，另外其中0≤a<1的情形中還會遇到“g′(x)=(1-2x-x2)·ex-a，x∈[0,+∞)的零點不方便求出”的困難，這里需要“設而不求”來處理，這對學生來說有一定難度.

方法2：借助凹凸性，研究不等式

因為當x≥0時,f″(x)=-(1+4x+x2)ex<0，所以f(x)在[0,+∞)上是上凸函數，

函數y=f(x),y=ax+1都過(0,1)，要使得當x≥0時都有f(x)≤ax+1，則需直線y=ax+1的斜率大于等于f(x)在(0,1)處的斜率，即a≥f′(0)=1.

點評：方法2是借助函數的凹凸性研究參數的取值范圍.在高考中，可以借助一階導數研究函數的單調性，畫出函數的大致圖象，再借助二階導數來研究函數的凹凸性，這樣就給我們處理切線的斜率問題、不等式恒成立問題提供了新視角、新方法.

(1)求a,b；(2)證明：f(x)>1.

解析：(1)a=1,b=2(過程略)；

方法1：借助重要不等式證明函數不等式

先證ex≥ex，x∈R設d(x)=ex-ex，則d′(x)=ex-e，令d′(x)=0，則x=1，

當x∈(-∞,1)時d′(x)<0，,故d(x)在(-∞,1)上單調遞減；

當x∈(1,+∞)時，d′(x)>0,故d(x)在(1,+∞)上單調遞增，

所以d(x)min=d(1)=0，故d(x)≥0，即ex≥ex,x∈R(當且僅當x=1時取等號).

方法2：構建兩個函數，借助凹凸性處理

故g(x)在(0,1)上單調遞增；在(1,+∞)上單調遞減；

點評：方法2構建了兩個函數g(x),h(x)，加強為證明g(x)min>h(x)max，這里需要特別指出的是，g(x)min>h(x)max實際上是g(x)>h(x)的充分條件，而非充要條件.因為函數y=g(x),y=h(x)的凹凸性不同，其中y=g(x)是下凸函數，y=h(x)是上凸函數，所以也稱為凹凸反轉法，凹凸反轉的關鍵是如何分離函數，分離的要求是什么呢？通常是指、對分離，即將指數函數與多項式函數的組合放在一邊，將對數函數與多項式函數的組合放在一邊.

6.反思感悟

首先，高考是選拔性考試，命題專家喜歡在初等數學和高等數學的交匯點處命題，這樣設計的試題,立意高遠、角度新穎，既能考查學生當前的數學素養，又能考查學生將來的學習潛能，既能實現高考的選拔功能，又能對中學教學起到良好的導向作用，而凹凸性就是這樣的一個典型素材.