著眼數(shù)據(jù)分析 回歸概率本源

廣東 武 靜 韓 鵬

在教學(xué)過程中，我們從大量的實(shí)際背景中抽象出了兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布的模型，也抽象出了古典概型和幾何概型等概率模型，但如何在具體的實(shí)際背景中求解概率、判斷相互獨(dú)立事件，分辨這些概率分布模型，對(duì)學(xué)生而言既是易錯(cuò)點(diǎn)，也是難點(diǎn).學(xué)生因?yàn)閷?duì)概率分布的規(guī)律性與隨機(jī)性認(rèn)識(shí)不到位，容易陷入“經(jīng)驗(yàn)為主”的誤區(qū)，忽略對(duì)數(shù)據(jù)的提取加工.

1 引例

【例1】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立

1.1 易錯(cuò)分析

本題中的易錯(cuò)點(diǎn)在于學(xué)生單憑“經(jīng)驗(yàn)”，判斷兩事件是否相互獨(dú)立.例如，感覺事件甲“第一次取出的球的數(shù)字是1”的發(fā)生并不影響事件丙“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”的發(fā)生而選A.

兩個(gè)事件之間是否相互獨(dú)立有時(shí)可根據(jù)實(shí)際含義做出判斷，但有時(shí)僅根據(jù)實(shí)際含義是不能判斷的，需要用獨(dú)立性的定義判斷.因此，判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，憑借經(jīng)驗(yàn)并不可靠，應(yīng)該學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說話，用定義來判定相互獨(dú)立事件.

1.2 解答過程

【分析】判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，脫離對(duì)概率的數(shù)據(jù)分析，單憑經(jīng)驗(yàn)有可能會(huì)出錯(cuò)，因此利用定義P(AB)=P(A)P(B)來判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立是最行之有效的方法.

因?yàn)镻(甲丙)=0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，所以甲與丙不相互獨(dú)立；

因?yàn)镻(丙丁)=0，P(丙丁)≠P(丙)P(丁)，所以甲與丁不相互獨(dú)立，故選B.

2 概率分布易錯(cuò)點(diǎn)拓展

離散型隨機(jī)變量及其分布一直是高考命題的必考知識(shí)點(diǎn)，試題的背景在不斷創(chuàng)新，但對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查是亙古不變的.2021年新高考Ⅰ卷隨機(jī)變量及其分布的試題注重雙基，著眼數(shù)據(jù)分析，回歸概率概念本源，如第8題的相互獨(dú)立事件，第18題的分布列等，這為一線教師的教學(xué)與備考指明了方向.概率分布模型的研究原則都是從直觀到抽象，先定性后定量，但是，由具體實(shí)例如何建立概率分布模型，對(duì)初步接觸概率分布模型的學(xué)生來說存在認(rèn)知上的困難.筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，針對(duì)這一章節(jié)內(nèi)容，學(xué)生經(jīng)常忽略數(shù)據(jù)帶來的信息，出現(xiàn)概念混淆、方法選擇障礙、概率分布模型錯(cuò)位等問題.

2.1 條件概率

【例2】一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，已知其中有一個(gè)是女孩，則這時(shí)另一個(gè)是女孩的概率是

( )

【分析】本題學(xué)生出錯(cuò)的地方在于忽略了已知其中有一個(gè)是女孩的樣本點(diǎn)(女男)，(男女)的順序，造成事件A包含的樣本點(diǎn)只有兩個(gè)：一男一女和兩女.本題的一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩對(duì)應(yīng)的樣本空間Ω={(男男)，(女男)，(男女)，(女女)}，每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的，屬于古典概型的范疇.在古典概型中，我們還可以用如下公式求解：

在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生探討：如何把上述計(jì)算條件概率的思想應(yīng)用于其他的概率模型中，以得到更為一般的與計(jì)數(shù)無關(guān)的公式：

另外，在教學(xué)中我們還可以設(shè)置問題：事件A的發(fā)生會(huì)不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，我們可以用P(B|A)與P(B)是否相等來驗(yàn)證，為后面相互獨(dú)立事件的定義的推導(dǎo)埋下伏筆.

2.2 古典概型與幾何概型

【例3】已知方程x2+2ax+b2=0，若a是從[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)整數(shù)，b是從[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)整數(shù)，求此一元二次方程有實(shí)根的概率.

【錯(cuò)解】a是從[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)整數(shù)，b是從[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)整數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的樣本空間：

設(shè)一元二次方程有實(shí)根為事件A，由Δ=4a2-4b2≥0，化簡得a≥b，事件A的樣本空間：

【正解】由題意知，a∈{0,1,2,3}，b∈{0,1,2}，則所有的基本事件：

(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共12種.

設(shè)一元二次方程有實(shí)根為事件A，由Δ=4a2-4b2≥0，化簡得a≥b，事件A包含的基本事件：

(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共9種,

【分析】本題中學(xué)生誤以為a是[0,3]內(nèi)的連續(xù)型隨機(jī)變量，b是[0,2]內(nèi)的連續(xù)型隨機(jī)變量，因而將古典概型錯(cuò)判為幾何概型.

在本題的教學(xué)中，我們可以針對(duì)離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)置有效問題，如第一問中的a，b取區(qū)間的整數(shù)，第二問中的a，b取區(qū)間的實(shí)數(shù)，通過兩個(gè)設(shè)問的鮮明對(duì)比，使學(xué)生明晰古典概型與幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系.

2.3 兩點(diǎn)分布

X12P4959

【分析】本題中學(xué)生對(duì)于兩點(diǎn)分布的概念不清晰，只取兩個(gè)不同取值的隨機(jī)變量并不一定服從兩點(diǎn)分布.兩點(diǎn)分布的定義如下：

若隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布(0-1分布)：

X01P1-pp

概率分布模型比較抽象，在實(shí)際教學(xué)過程中，我們可以從大量的具體案例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從大量案例的數(shù)據(jù)中分析歸納出兩點(diǎn)分布模型的特點(diǎn)和含義，并結(jié)合學(xué)生自己實(shí)際舉例.若學(xué)生舉例的時(shí)候出現(xiàn)錯(cuò)誤，例如本題中的分布模型，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生：雖然隨機(jī)變量X并不服從兩點(diǎn)分布,但是可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q把它變成兩點(diǎn)分布：

在多個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)中，如果我們只關(guān)心某一個(gè)隨機(jī)事件是否發(fā)生，就可以利用兩點(diǎn)分布研究它.總之，兩點(diǎn)分布不僅可以用來研究只有兩個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布規(guī)律，也可以用于研究某一隨機(jī)事件是否發(fā)生的概率分布現(xiàn)象.這些看似無用的教學(xué)過程，實(shí)則幫助學(xué)生理解兩點(diǎn)分布的內(nèi)涵和外延.

2.4 二項(xiàng)分布與超幾何分布

【例5】為提高全民身體素質(zhì)，加強(qiáng)體育運(yùn)動(dòng)意識(shí)，某校體育部從全校隨機(jī)抽取了男生、女生各100人進(jìn)行問卷調(diào)查，以了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的積極性是否與性別有關(guān)，得到如下列聯(lián)表(單位：人)：

經(jīng)常運(yùn)動(dòng)偶爾運(yùn)動(dòng)或不運(yùn)動(dòng)合計(jì)男生7030100女生6040100合計(jì)13070200

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過10%的情況下認(rèn)為該校參加體育運(yùn)動(dòng)的積極性與性別有關(guān)；

(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校所有女生中隨機(jī)抽取3人.記被抽取的3人中“偶爾運(yùn)動(dòng)或不運(yùn)動(dòng)”的人數(shù)為X，求X的分布列.

【錯(cuò)解】(1)略 (2)X的所有可能取值為0,1,2,3，

【正解】(1)略;

所以X的分布列為

X0123P2712554125361258125

【分析】本題第二問中題設(shè)“用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校所有女生中隨機(jī)抽取3人”學(xué)生理解為從樣本所有女生中抽取，錯(cuò)以為X服從超幾何分布.當(dāng)女生人數(shù)很大而抽取的女生人數(shù)較少時(shí)，每次抽取女生后，“偶爾運(yùn)動(dòng)或不運(yùn)動(dòng)”的概率近似不變，從而服從二項(xiàng)分布.

3 概率分布的教學(xué)策略

學(xué)生對(duì)篇幅較長的概率分布實(shí)際背景的閱讀理解能力不足，對(duì)于概率分布模型的屬性判斷和轉(zhuǎn)化能力不足，對(duì)相關(guān)的數(shù)據(jù)分析能力不足而導(dǎo)致易錯(cuò)，因此，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)過程中，應(yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，回歸概念核心，著眼數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)閱讀指導(dǎo)，設(shè)置有效問題，突破概率分布的易錯(cuò)點(diǎn).

3.1 激活數(shù)學(xué)教材，回歸概念核心

高考試題是復(fù)習(xí)備考的風(fēng)向標(biāo)，2021年新高考Ⅰ卷試題中對(duì)概率分布的考查回歸到基本的概念，如第8題的相互獨(dú)立事件，為復(fù)習(xí)備考指明了方向.以往復(fù)習(xí)備考時(shí)，學(xué)生會(huì)買很多學(xué)習(xí)資料，陷入題海戰(zhàn)術(shù)，反而忽略了手邊最重要學(xué)習(xí)資料——教材.那么如何使用教材，夯實(shí)基礎(chǔ)是擺在我們面前的最重要的問題.首先，落實(shí)教材，列知識(shí)點(diǎn)，畫思維導(dǎo)圖，找出教材中概率分布的主線——知識(shí)線、方法線；其次，整合教材，包括例題和課后習(xí)題，理清考核項(xiàng)、分析考核點(diǎn)，找出教材中概率分布的暗線——思想線、能力線，從而激活教材，創(chuàng)造性地使用教材，回歸概念核心.

【例6】(2007版高中數(shù)學(xué)選修2-3習(xí)題2.2B組)某批n件產(chǎn)品的次品率為2%，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，問：

(1)當(dāng)n=500,5000,50 000時(shí)，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？

(2)根據(jù)(1)，你對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系有何認(rèn)識(shí)？

本題通過產(chǎn)品數(shù)量500,5000,50 000以及放回與不放回的抽取方式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說話，通過不同的數(shù)據(jù)信息幫助學(xué)生理解超幾何分布和二項(xiàng)分布之間的關(guān)系.

【答案】(1)當(dāng)n=500時(shí)，

如果放回，這是二項(xiàng)分布，P=0.057 624，

如果不放回，這是超幾何分布，P≈0.057 853;

當(dāng)n=5 000時(shí)，

如果放回，這是二項(xiàng)分布，P=0.057 624，

如果不放回，這是超幾何分布，P≈0.057 647;

當(dāng)n=50 000時(shí)，

如果放回，這是二項(xiàng)分布，P=0.057 624，

如果不放回，這是超幾何分布，P≈0.057 626.

(2)共同點(diǎn)：每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.

不同點(diǎn)：①超幾何分布是不放回抽取，二項(xiàng)分布是有放回抽取；

②超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”；

聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.

3.2 設(shè)置有效問題，經(jīng)歷概念形成

兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布的概率分布模型的概念的教學(xué)需要通過具體實(shí)例概括其共性而得出.大量且豐富的生活實(shí)例，有助于學(xué)生理解這些抽象的概率分布模型.但如何在一節(jié)課的時(shí)限內(nèi)融入生活實(shí)際，設(shè)置有效問題，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程便顯得尤為重要.筆者建議先從簡單的、可操作的背景入手，以設(shè)置有效問題串的形式讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，激發(fā)學(xué)生把經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為能力.

例如，在學(xué)習(xí)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的時(shí)候，筆者設(shè)計(jì)了如下問題串：

拋一枚均勻的骰子，設(shè)事件A=“3點(diǎn)向上”.

問題1：拋骰子1次，事件A發(fā)生的概率.

問題2：拋骰子2次，事件A發(fā)生1次的概率.

問題3：拋骰子3次，事件A發(fā)生2次的概率.

問題4：拋骰子n次，事件A發(fā)生2次的概率.

問題5：拋骰子n次，事件A發(fā)生k次的概率.

教學(xué)過程中讓一名學(xué)生做拋骰子試驗(yàn)，通過有效問題串引導(dǎo)學(xué)生通過不同次數(shù)的數(shù)據(jù)信息，分析多次試驗(yàn)結(jié)果之間的關(guān)系，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生概括出n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的概念.

3.3 著眼數(shù)據(jù)分析，提高轉(zhuǎn)化能力

針對(duì)概率分布這一章節(jié)，學(xué)生出錯(cuò)的原因之一就是缺乏數(shù)據(jù)分析意識(shí)，捕捉不到題目中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)信息，圖表轉(zhuǎn)化能力欠缺.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定理分析的意識(shí)和能力.因此，在概率分布的概念教學(xué)過程中，留給學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐的時(shí)間，讓學(xué)生在已有的隨機(jī)事件的概念基礎(chǔ)上，提取數(shù)據(jù)→分析數(shù)據(jù)→建立數(shù)學(xué)模型→習(xí)得概念→應(yīng)用模型，完成新知識(shí)的構(gòu)建.學(xué)生經(jīng)歷了從已知到未知，從宏觀到微觀，從定性到定量，從理論知識(shí)到動(dòng)手實(shí)踐再到新知識(shí)的習(xí)得，使學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)按照新知識(shí)的生成過程重新組合.在這個(gè)過程中，除了概率分布的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到完善和發(fā)展，學(xué)生的動(dòng)手能力、數(shù)據(jù)分析能力及知識(shí)的正向遷移能力和逆向思維能力等也得到提升.

3.4 加強(qiáng)閱讀指導(dǎo)，提升應(yīng)用能力