輔助角公式模型的幾何解釋及應用

天津 高成龍

輔助角公式模型是三角函數中的重要公式模型，它是兩角和與差的正、余弦公式的逆用，它是將函數y=asinωx+bcosωx轉化成y=Asin(ωx+θ)的唯一橋梁，它為研究這一類函數的性質提供了思路和方法.本文先給出輔助角公式的模型及證明，然后構造幾何圖形，從“形”的角度來解釋“輔助角公式模型”，通過形與數的結合，讓學生感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解，進一步認識和理解輔助角公式模型的本質，最后運用輔助角公式模型對教材中的例題進行深入探究.

一、輔助角公式模型及其證明

分析：由三角函數和差公式可以知道Asin(α+θ)=Acosθsinα+Asinθcosα，那么利用等式的性質可以知道asinα+bcosα必然也可以轉化為Asin(α+θ)，因此輔助角公式模型是可行的.對于輔助角公式的證明方法比較多，下面利用待定系數法的原理給出輔助角公式的證明：

模型證明：

y=asinα+bcosα=Asin(α+θ)=Acosθsinα+Asinθcosα，

通過對輔助角公式模型的推導探究，引導學生把y=asinωx+bcosωx轉化為Asin(ωx+θ)的形式，在變換過程中對變換現象和變換目標進行對比、分析，促使學生對解題過程中如何根據問題的條件進行變形，從而提高學生的邏輯推理、數學運算核心素養.

二、輔助角公式模型的幾何解釋

為了讓學生更好地理解和應用輔助角公式，我們在實際教學中應該構造幾何圖形.從“形”的角度給出輔助角公式模型的幾何解釋.下面構造幾何圖形來解釋輔助角公式模型.

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=b,CB=a，直角頂點C在直線l上，設AC與直線l的夾角為α.由圖可知，asinα+bcosα=DC+CE=DE，

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=b,CB=a,直角頂點C在直線l上，設AC與直線l的夾角為α.由圖可知，asinα-bcosα=CE-CD=DE，

點評：構造學生初中就熟悉的“直角三角形遇到直線”這一幾何模型，從“形”的角度來解釋“數”有助于學生更好地認識和理解輔助角公式的結構和本質.同時這樣的設計也能突出代數運算與幾何直觀之間的融合，通過形與數的結合，能讓學生感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解，這也是《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)對代數與幾何主題的要求.

三、輔助角公式模型的應用

1.例題呈現

分析：可先建立矩形ABCD的面積S與α之間的函數關系f(α)，再求函數S=f(α)的最大值.

2.例題再探究

《普通高中教科書·教師用書》(以下簡稱《教參》)提出：對于例1，還可以去掉“記∠POC=α”，將設問改成“求矩形ABCD的最大面積”，現將例1改編呈現如下：

分析：將“∠POC=α”這一條件去掉增加了問題的難度，問題的改編可以培養學生在綜合情境中提出運算問題和確定運算對象的能力，進一步培養學生的數學運算核心素養.另外學生在建立函數模型解決上述問題時對自變量又多一種思路,可以選擇從“角”出發，也可以選擇從“線段”出發.

思路1：從“角”出發

學生可以選擇∠COB,∠OCB,∠COQ三個角中的一個作為變量α，進一步建立矩形ABCD的面積S與α之間的函數模型，即為教材中的例題，這里不再贅述.

思路2：從“邊”出發

學生可以選擇AD,OA,AB三條線段中的一個作為變量x，下面設AD=x，建立面積S與x的函數模型：

解法1：圖象法

解法2：換元法

3.方法總結

當我們重新回顧、品味例2時，發現例2的求解可以很好地培養和提升學生的數學運算與數學建模核心素養.主要表現：

①以實際問題為例題，可以建立數學與生活的關聯，進一步培養學生在綜合情境中提出運算問題和確定運算對象的能力，進一步提升數學運算核心素養；

②通過思路1和思路2的解法比較，讓學生感受到以角為自變量的優點，兩種解法能讓學生從不同角度入手去研究，培養學生能根據問題特點及運算的條件合理選擇運算方法的能力；

③建立矩形ABCD的面積S與兩種變量之間的關系可以培養學生的“數學建模核心素養”，另外在建立函數模型時，有兩種自變量可供選擇，可以促進學生對函數模型多樣性的理解.