立足基礎強化算理 突出能力提高素養
——以2021年高考數學全國乙卷第22題為例

安徽 張 剛

一、問題提出

2021年的全國高考已經落下帷幕，本文以2021年全國乙卷理科第22題的解法探究為例，通過對試題考查的背景溯源、知識梳理以及變式探究等進行深入分析，在立足基礎、強化算理、突出能力、平穩過渡的命題導向上，重點考查坐標系與參數方程.這類試題可以很好地考查我們的基本數學概念，普通方程與參數方程的互化、曲線方程及直角坐標方程與極坐標方程的互化知識，借助平面幾何圖形的呈現，較好地實現對考生化歸與轉化、數形結合、分類討論等數學思想方法的深度考查，體現考生理性思維水平和能力的區分功能.本文以2021年全國乙卷第22題為例，立足學生學情，強化算法算理的基礎之上，突出考查數學思維能力水平，從而提升學生核心素養，由此引發高三復習教學上的幾點思考.以期為高考備考提供參考和啟發.

二、原題呈現

【題目】(2021·全國乙卷·22)在直角坐標系xOy中，⊙C的圓心為C(2,1)，半徑為1.

(1)寫出⊙C的一個參數方程；

(2)過點F(4,1)作⊙C的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程.

評注：本題主要考查圓的普通方程和參數方程的互化、圓的切線方程及直角坐標方程和極坐標方程的互化等.通過求圓的切線方程，考查基本的運算能力，數形結合思想，化歸與轉化思想等，落實邏輯思維與數學運算核心素養.

三、試題探究

1.總體評價

2021年全國乙卷第22題基本上保持了全國卷Ⅰ的出卷風格，在試卷中仍然是第22題考查選修4-4教材中的坐標系與參數方程部分.該題設計分值都是10分，試題一題兩問，層層遞進，過渡自然，既考查了極坐標與參數方程的主干知識，又考查了解析幾何、函數與方程(或方程組)、化歸與轉化、數形結合、分類討論等重要的數學思想，通過運用多種坐標系解決數學問題，體會坐標思想的重要作用.這類試題在近幾年的全國卷中主要考查的方向就是不同坐標系下的兩種方程的相互轉化，進而適當結合平面解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關系(特別是交點問題、距離問題)考查相關參數問題、最值問題等.

2.知識探源

2017年-2021年全國乙卷(或全國卷Ⅰ)文理第22題的考查方向，列表如下：

高考年份2017年2018年2019年2020年2021年考查主要知識點 橢圓的普通方程與參數方程互化,直線與橢圓的位置關系 直線與圓的極坐標方程與直角坐標方程互化,直線與圓的位置關系 橢圓的參數方程與普通方程互化,直線的極坐標方程與直角坐標方程互化圓的參數方程與普通方程互化,直線的參數方程與普通方程互化 圓的普通方程與參數方程互化,直線的直角坐標方程與極坐標方程互化

從上表我們可以得到一些結論：(1)從命題的方向來看，試題方向越來越穩定.例如只有2017年與2019年考查了橢圓的參數方程與普通方程的互化問題，其余年份都是考查圓的普通方程與極坐標方程、參數方程的互化問題；(2)從考查的重點來看，試題越來越重視坐標系與參數方程這部分的基礎知識考查.例如,近五年試題的第一小問都考查直線方程與曲線方程的普通形式、極坐標形式以及參數形式之間相互轉化的問題；(3)從涉及的知識點來看，試題越來越綜合，強化關鍵能力，注重學生的綜合運用多個知識點解決數學問題的能力.例如，2017年、2019年、2021年第二小問都是借助點到直線的距離公式轉化，進而考查最值問題，參數求解問題，滲透化歸與轉化，數形結合，分類討論等數學思想，但總體難度不大.

3.知識梳理

有關不同坐標系下的直線方程與曲線方程的互化，都是源于教材4-4坐標系與參數方程這部分內容，教材給出了極坐標與直角坐標的互化公式，以及直線、曲線普通方程與參數方程的互化公式，這些都在近幾年全國各地高考(或模擬)試題中頻繁出現，因此，值得我們引起高度重視.列表如下：

3.1 直角坐標與極坐標的相互轉化

設點P的直角坐標為(x,y)，它的極坐標為(ρ，θ)，

互化的使用條件互化公式①極點與原點重合②極軸與x軸非負半軸重合③取相同的單位長度x=ρcosθ,y=ρsinθ,{ρ2=x2+y2,tanθ=yx{

3.2 直線、圓錐曲線普通方程與參數方程的相互轉化

軌跡普通方程參數方程直線y-y0=tanα(x-x0)α≠π2,點斜式()x=x0+tcosα,y=y0+tsinα{(t為參數)圓(x-a)2+(y-b)2=r2x=a+rcosθ,y=b+rsinθ{(θ為參數)

續表

4.解法探究

5.變式鏈接與簡評

5.1 條件結論互換位置

(1)當k=1時，C1是什么曲線？

(2)當k=4時，求C1與C2的公共點的直角坐標.

評注:本題第一小問考查的就是圓的普通方程與參數方程的逆向轉化，第二小問求公共點問題也可以類比第一小問將k=4代入C1，消去參數后得方程組，聯立解決問題.這類問題，消去參數是關鍵.

5.2 曲線方程變為直線方程

實際上，我們對2021年全國乙卷第22題還可以再改編一些變式，比如，將題中已知條件中的曲線方程變成直線方程，又該如何求它的參數方程或極坐標方程？如何求直線與曲線間相關距離呢？這都涉及直線的普通方程與參數方程、極坐標方程的相互轉化問題.下面，我們通過實例來說明這一轉化策略.

(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；

評注:第一小問中采用三角函數兩角和與兩角差的公式展開后，進而使用直線的普通方程與極坐標方程、參數方程的逆向轉化即可解決，第二小問結合直線參數方程中t的幾何意義得出t1+t2,t1t2的值，代入計算即可求出，而理解直線方程中參數的幾何意義是解題關鍵.

5.3 直線與曲線間最值問題

點到直線的距離公式是很多求直線與曲線最值問題的必備利器，也是高考必考的熱點之一，大部分都是和其他知識點交匯綜合運用，很多問題最后都會轉化為二次函數、三角函數或基本不等式模型中的最值問題來解決的.近幾年高考題均有所考查，下面舉一例說明其運用的情況.

(1)求C和l的直角坐標方程；

(2)求C上的點到l距離的最小值.

評注:第二小問設出C的參數方程，再利用點到直線的距離公式與輔助角公式以及三角函數的有界性，即可求出C上的點到l距離的最小值，因此三角函數的有界性是求解最值問題的關鍵.

四、教學思考

1.立足課本考綱范圍，強化題根研究

坐標系與參數方程這類高考試題，很多都是來源于課本，這類試題都能在課本中找到試題的“影子”，課本給出了很好地例習題的示范與引領功能，這些都是近幾年高考(或模擬)試題的“題根”所在.

2.厘清基本概念原理，明確算法算理

《普通高中數學課程標準(2017年版2020修訂)》指出：數學運算是數學學科的六大核心素養之一.數學運算是解決問題的必備手段，通過高三階段的強化復習，我們要厘清高中數學重要的數學概念、公式及原理，明白算法算理，能夠自我建構前后知識間的邏輯體系，不至于造成概念模糊，公式亂用的現象.

例如，高考試卷第22題中涉及的圓的方程、圓的切線、直線與圓的參數方程、極坐標方程等問題都是課本中的最基礎、最重要的核心概念、公式，教師應立足學情、課標和考綱要求，對這類問題進行分解式的專題復習，分解問題分層訓練，降低學生思維切入點，螺旋式上升設置問題，引發學生主動思考，從而明確每一步的原理和依據是什么，解題思考的方向可能有哪些.例如，本文中過點F(4,1)作⊙C的兩條切線是否存在，如果存在，都在哪里，能畫出草圖嗎，這些都是具有深度和思考性的問題，逐步引導學生將思維推向深處，學會有條理地思考和表達問題，從而實現學生“心中有理，算法有據”的規范數學答題格式.

3.加強方法技能訓練，提升核心素養

波利亞曾在《怎樣解題》中強調：“中學數學的首要任務就是加強解題訓練，掌握數學就意味著善于解題.”因此掌握高中數學中必要的常規解法、基本技巧，落實重要的一類問題的普遍解法是十分有必要的，數學是思維性很強的學科，在高考數學復習的過程中，解題教學應從重視“一課一練”向“一題一課”“一課多變”“多題化一”的方向轉變，應從重視“刷題訓練”向思維遷移與發散的方向轉變，提煉數學問題的核心與本質.