立足基礎(chǔ)強(qiáng)化算理 突出能力提高素養(yǎng)
——以2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷第22題為例

安徽 張 剛

一、問題提出

2021年的全國(guó)高考已經(jīng)落下帷幕，本文以2021年全國(guó)乙卷理科第22題的解法探究為例，通過對(duì)試題考查的背景溯源、知識(shí)梳理以及變式探究等進(jìn)行深入分析，在立足基礎(chǔ)、強(qiáng)化算理、突出能力、平穩(wěn)過渡的命題導(dǎo)向上，重點(diǎn)考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程.這類試題可以很好地考查我們的基本數(shù)學(xué)概念，普通方程與參數(shù)方程的互化、曲線方程及直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化知識(shí)，借助平面幾何圖形的呈現(xiàn)，較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)考生化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的深度考查，體現(xiàn)考生理性思維水平和能力的區(qū)分功能.本文以2021年全國(guó)乙卷第22題為例，立足學(xué)生學(xué)情，強(qiáng)化算法算理的基礎(chǔ)之上，突出考查數(shù)學(xué)思維能力水平，從而提升學(xué)生核心素養(yǎng)，由此引發(fā)高三復(fù)習(xí)教學(xué)上的幾點(diǎn)思考.以期為高考備考提供參考和啟發(fā).

二、原題呈現(xiàn)

【題目】(2021·全國(guó)乙卷·22)在直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的圓心為C(2,1)，半徑為1.

(1)寫出⊙C的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過點(diǎn)F(4,1)作⊙C的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程.

評(píng)注：本題主要考查圓的普通方程和參數(shù)方程的互化、圓的切線方程及直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化等.通過求圓的切線方程，考查基本的運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想等，落實(shí)邏輯思維與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

三、試題探究

1.總體評(píng)價(jià)

2021年全國(guó)乙卷第22題基本上保持了全國(guó)卷Ⅰ的出卷風(fēng)格，在試卷中仍然是第22題考查選修4-4教材中的坐標(biāo)系與參數(shù)方程部分.該題設(shè)計(jì)分值都是10分，試題一題兩問，層層遞進(jìn)，過渡自然，既考查了極坐標(biāo)與參數(shù)方程的主干知識(shí)，又考查了解析幾何、函數(shù)與方程(或方程組)、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想，通過運(yùn)用多種坐標(biāo)系解決數(shù)學(xué)問題，體會(huì)坐標(biāo)思想的重要作用.這類試題在近幾年的全國(guó)卷中主要考查的方向就是不同坐標(biāo)系下的兩種方程的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而適當(dāng)結(jié)合平面解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(特別是交點(diǎn)問題、距離問題)考查相關(guān)參數(shù)問題、最值問題等.

2.知識(shí)探源

2017年-2021年全國(guó)乙卷(或全國(guó)卷Ⅰ)文理第22題的考查方向，列表如下：

高考年份2017年2018年2019年2020年2021年考查主要知識(shí)點(diǎn) 橢圓的普通方程與參數(shù)方程互化,直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化,直線與圓的位置關(guān)系 橢圓的參數(shù)方程與普通方程互化,直線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化圓的參數(shù)方程與普通方程互化,直線的參數(shù)方程與普通方程互化 圓的普通方程與參數(shù)方程互化,直線的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化

從上表我們可以得到一些結(jié)論：(1)從命題的方向來(lái)看，試題方向越來(lái)越穩(wěn)定.例如只有2017年與2019年考查了橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化問題，其余年份都是考查圓的普通方程與極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化問題；(2)從考查的重點(diǎn)來(lái)看，試題越來(lái)越重視坐標(biāo)系與參數(shù)方程這部分的基礎(chǔ)知識(shí)考查.例如,近五年試題的第一小問都考查直線方程與曲線方程的普通形式、極坐標(biāo)形式以及參數(shù)形式之間相互轉(zhuǎn)化的問題；(3)從涉及的知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，試題越來(lái)越綜合，強(qiáng)化關(guān)鍵能力，注重學(xué)生的綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題的能力.例如，2017年、2019年、2021年第二小問都是借助點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化，進(jìn)而考查最值問題，參數(shù)求解問題，滲透化歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學(xué)思想，但總體難度不大.

3.知識(shí)梳理

有關(guān)不同坐標(biāo)系下的直線方程與曲線方程的互化，都是源于教材4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程這部分內(nèi)容，教材給出了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，以及直線、曲線普通方程與參數(shù)方程的互化公式，這些都在近幾年全國(guó)各地高考(或模擬)試題中頻繁出現(xiàn)，因此，值得我們引起高度重視.列表如下：

3.1 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化

設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y)，它的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，

互化的使用條件互化公式①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合②極軸與x軸非負(fù)半軸重合③取相同的單位長(zhǎng)度x=ρcosθ,y=ρsinθ,{ρ2=x2+y2,tanθ=yx{

3.2 直線、圓錐曲線普通方程與參數(shù)方程的相互轉(zhuǎn)化

軌跡普通方程參數(shù)方程直線y-y0=tanα(x-x0)α≠π2,點(diǎn)斜式()x=x0+tcosα,y=y0+tsinα{(t為參數(shù))圓(x-a)2+(y-b)2=r2x=a+rcosθ,y=b+rsinθ{(θ為參數(shù))

續(xù)表

4.解法探究

5.變式鏈接與簡(jiǎn)評(píng)

5.1 條件結(jié)論互換位置

(1)當(dāng)k=1時(shí)，C1是什么曲線？

(2)當(dāng)k=4時(shí)，求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

評(píng)注:本題第一小問考查的就是圓的普通方程與參數(shù)方程的逆向轉(zhuǎn)化，第二小問求公共點(diǎn)問題也可以類比第一小問將k=4代入C1，消去參數(shù)后得方程組，聯(lián)立解決問題.這類問題，消去參數(shù)是關(guān)鍵.

5.2 曲線方程變?yōu)橹本€方程

實(shí)際上，我們對(duì)2021年全國(guó)乙卷第22題還可以再改編一些變式，比如，將題中已知條件中的曲線方程變成直線方程，又該如何求它的參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程？如何求直線與曲線間相關(guān)距離呢？這都涉及直線的普通方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化問題.下面，我們通過實(shí)例來(lái)說明這一轉(zhuǎn)化策略.

(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

評(píng)注:第一小問中采用三角函數(shù)兩角和與兩角差的公式展開后，進(jìn)而使用直線的普通方程與極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的逆向轉(zhuǎn)化即可解決，第二小問結(jié)合直線參數(shù)方程中t的幾何意義得出t1+t2,t1t2的值，代入計(jì)算即可求出，而理解直線方程中參數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵.

5.3 直線與曲線間最值問題

點(diǎn)到直線的距離公式是很多求直線與曲線最值問題的必備利器，也是高考必考的熱點(diǎn)之一，大部分都是和其他知識(shí)點(diǎn)交匯綜合運(yùn)用，很多問題最后都會(huì)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、三角函數(shù)或基本不等式模型中的最值問題來(lái)解決的.近幾年高考題均有所考查，下面舉一例說明其運(yùn)用的情況.

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

評(píng)注:第二小問設(shè)出C的參數(shù)方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式與輔助角公式以及三角函數(shù)的有界性，即可求出C上的點(diǎn)到l距離的最小值，因此三角函數(shù)的有界性是求解最值問題的關(guān)鍵.

四、教學(xué)思考

1.立足課本考綱范圍，強(qiáng)化題根研究

坐標(biāo)系與參數(shù)方程這類高考試題，很多都是來(lái)源于課本，這類試題都能在課本中找到試題的“影子”，課本給出了很好地例習(xí)題的示范與引領(lǐng)功能，這些都是近幾年高考(或模擬)試題的“題根”所在.

2.厘清基本概念原理，明確算法算理

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020修訂)》指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決問題的必備手段，通過高三階段的強(qiáng)化復(fù)習(xí)，我們要厘清高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)概念、公式及原理，明白算法算理，能夠自我建構(gòu)前后知識(shí)間的邏輯體系，不至于造成概念模糊，公式亂用的現(xiàn)象.

例如，高考試卷第22題中涉及的圓的方程、圓的切線、直線與圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等問題都是課本中的最基礎(chǔ)、最重要的核心概念、公式，教師應(yīng)立足學(xué)情、課標(biāo)和考綱要求，對(duì)這類問題進(jìn)行分解式的專題復(fù)習(xí)，分解問題分層訓(xùn)練，降低學(xué)生思維切入點(diǎn)，螺旋式上升設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考，從而明確每一步的原理和依據(jù)是什么，解題思考的方向可能有哪些.例如，本文中過點(diǎn)F(4,1)作⊙C的兩條切線是否存在，如果存在，都在哪里，能畫出草圖嗎，這些都是具有深度和思考性的問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生將思維推向深處，學(xué)會(huì)有條理地思考和表達(dá)問題，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生“心中有理，算法有據(jù)”的規(guī)范數(shù)學(xué)答題格式.

3.加強(qiáng)方法技能訓(xùn)練，提升核心素養(yǎng)

波利亞曾在《怎樣解題》中強(qiáng)調(diào)：“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”因此掌握高中數(shù)學(xué)中必要的常規(guī)解法、基本技巧，落實(shí)重要的一類問題的普遍解法是十分有必要的，數(shù)學(xué)是思維性很強(qiáng)的學(xué)科，在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中，解題教學(xué)應(yīng)從重視“一課一練”向“一題一課”“一課多變”“多題化一”的方向轉(zhuǎn)變，應(yīng)從重視“刷題訓(xùn)練”向思維遷移與發(fā)散的方向轉(zhuǎn)變，提煉數(shù)學(xué)問題的核心與本質(zhì).